徐澤遠(yuǎn)，伊國(guó)興，謝陽(yáng)光，魏振楠

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司西安自動(dòng)飛行控制研究所，西安 710065）

半球諧振陀螺由于具有高精度、高可靠性、抗干擾能力強(qiáng)以及長(zhǎng)壽命的優(yōu)點(diǎn)，非常適合應(yīng)用在長(zhǎng)時(shí)間工作的場(chǎng)合[1-2]。因此，高精度半球諧振陀螺的研究對(duì)于慣性技術(shù)的發(fā)展，特別是長(zhǎng)壽命高精度陀螺的發(fā)展是尤為重要的。半球諧振陀螺有很多應(yīng)用，比如用于航空導(dǎo)航、衛(wèi)星導(dǎo)航定位、精密定位、石油勘探、深海探測(cè)等等。作為載體導(dǎo)航系統(tǒng)的重要慣性元器件之一，半球諧振陀螺的性能將直接影響慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的性能，甚至影響載體的性能和使用。所以研究哪些因素影響半球諧振陀螺的性能和精度具有重要意義。

對(duì)于半球諧振陀螺的研究，主要集中在它的隨機(jī)誤差[3-5]、溫度漂移[6-7]、有限元分析[8]和壽命預(yù)測(cè)[9]等方面。而在陀螺的實(shí)際應(yīng)用中，環(huán)境因素的影響也是不容忽略的，如溫度場(chǎng)、磁場(chǎng)、外載荷等，其中外載荷中重力加速度以及載體運(yùn)動(dòng)加速度不可避免地作用到陀螺本身[10]，實(shí)際測(cè)試結(jié)果表明，這樣亦能使陀螺產(chǎn)生漂移。而半球諧振陀螺是一種高精度陀螺，所以對(duì)于加速度造成的影響是不能被忽略的。近幾年，越來(lái)越多的研究集中在半球諧振陀螺的控制方式上，這些控制方式又很難去實(shí)現(xiàn)，甚至?xí)?lái)新的更為復(fù)雜的問(wèn)題，而半球諧振陀螺的振幅和速率控制系統(tǒng)會(huì)直接影響到陀螺精度。加速度對(duì)于半球諧振陀螺性能的影響可以直接反映在陀螺內(nèi)部的振幅控制系統(tǒng)和速率控制系統(tǒng)上，為此開(kāi)展加速度對(duì)半球諧振陀螺控制系統(tǒng)的影響分析具有十分重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

半球諧振陀螺主要是通過(guò)控制系統(tǒng)的激勵(lì)電極施加電壓使諧振子諧振起來(lái)達(dá)到其固有頻率。從動(dòng)力學(xué)的角度分析，外界加速度的作用下會(huì)使得諧振子產(chǎn)生變形，與正常工作的諧振子形變相比，這是有害變形。加速度造成的變形會(huì)使得諧振子與外基座激勵(lì)電極的相對(duì)位置發(fā)生變化，這就使得諧振子的電極板與激勵(lì)電極的電極板之間的相對(duì)位置和相對(duì)距離產(chǎn)生變化，使得激振力和反饋力產(chǎn)生偏差，從而造成振幅和速率激勵(lì)電極的控制電壓誤差，由此帶來(lái)陀螺輸出的漂移。為此本文分析了加速度對(duì)振幅控制系統(tǒng)和速率控制系統(tǒng)的影響。

1 諧振子的變形方程

在建模過(guò)程中，將中面半徑為R、厚度為h的傘形的諧振子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為半球形進(jìn)行建模，則半球諧振子上電極的邊界方向θ和φ構(gòu)成中面的主坐標(biāo)系，如圖1所示。取激勵(lì)電極面積范圍內(nèi)任意一點(diǎn)B，直線OB與變形后的諧振子中面相交于點(diǎn)A′，此處OB=Rf，假設(shè)OA′=Rd，則電容間隙表達(dá)式為[10]：

為求出式(1)中Rd，需要了解諧振子變形后的曲面方程。諧振子中面上物質(zhì)點(diǎn)A變形后，移動(dòng)到A′點(diǎn)，則點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的位移矢量q′與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的位移矢量q和變形矢量W的關(guān)系如圖1所示。

圖1 激勵(lì)電極結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of the actuator

直線與諧振子中面相交滿足如下方程[10]：

式中：A2為振幅，?為振型角[10]，U2、V2、W2振型方程為瑞利-里茨函數(shù)，其中，

式中，p(t)、q(t)為與時(shí)間相關(guān)的待定量。

加速度作用下諧振子變形方程形式如下[10]：

式中：A1為加速度作用下諧振子變形幅值，ψ為加速度作用的方位，U1、V1、W1為瑞利函數(shù)。瑞利里茨函數(shù)通用形式如下：

2 振幅和速率反饋控制系統(tǒng)

2.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

外基座上均勻分布的 16個(gè)激勵(lì)電極，間隔為22.5°，如圖2所示。此處用于振幅控制的激勵(lì)電極有4個(gè)，用于速率反饋的激勵(lì)電極有4個(gè)，其余8個(gè)電極用于頻率控制和正交控制。根據(jù)諧振子二階諧振狀態(tài)的對(duì)稱性，組建振幅、速率反饋控制系統(tǒng)。結(jié)合實(shí)際工程設(shè)計(jì)，8個(gè)激勵(lì)電極的雙差分方式結(jié)構(gòu)復(fù)雜[10]，在加工制造上會(huì)帶來(lái)很多問(wèn)題，在工程實(shí)踐上不具有可行性，由此設(shè)計(jì)了以下三種控制方式：

1）將0°激勵(lì)電極F1作為振幅激勵(lì)電極，與0°檢測(cè)電極P1共同構(gòu)成了振幅反饋控制系統(tǒng)；將45°激勵(lì)電極F2作為速率激勵(lì)電極，與45°檢測(cè)電極P2共同構(gòu)成了速率反饋控制系統(tǒng)。如圖2所示。這是最基本的振幅和速率反饋控制系統(tǒng)。

圖2 反饋控制系統(tǒng)控制方式IFig.2 Scheme I of feedback control system

2）將F1、F5信號(hào)差分作為振幅激勵(lì)電極，將P1、P3信號(hào)差分作為振幅檢測(cè)電極，共同構(gòu)成了振幅反饋控制系統(tǒng)；將激勵(lì)電極F2、F6信號(hào)差分作為速率激勵(lì)電極，將P2、P4信號(hào)差分作為振型角檢測(cè)電極，共同構(gòu)成了速率反饋控制系統(tǒng)。如3圖所示。

圖3 反饋控制系統(tǒng)控制方式IIFig.3 Scheme II of feedback control system

3）將激勵(lì)電極 F1、F3并聯(lián)作為振幅激勵(lì)電極，將P1、P5并聯(lián)作為振幅檢測(cè)電極，共同構(gòu)成了振幅反饋控制系統(tǒng)；將激勵(lì)電極F2、F4并聯(lián)作為速率控制電極，將P2、P6并聯(lián)作為振型角檢測(cè)電極，共同構(gòu)成了速率反饋控制系統(tǒng)。如4圖所示。

圖4 反饋控制系統(tǒng)控制方式IIIFig.4 Scheme III of feedback control system

2.2 多電極激勵(lì)諧振子的動(dòng)力學(xué)特性

由諧振子的變形方程解析解形式已知，建立了多激勵(lì)電極作用下諧振子的動(dòng)力學(xué)方程：

其中，0ε為真空介電常數(shù)，動(dòng)力學(xué)參數(shù)m0=-0.0027。

當(dāng)諧振子進(jìn)入二階諧振穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，

其中，2ω為諧振子二階諧振頻率，t為時(shí)間。

當(dāng)采用控制方式I時(shí)，

當(dāng)采用控制方式II時(shí)，

當(dāng)采用控制方式III時(shí)，

進(jìn)一步，

為進(jìn)一步討論控制特性，以方案I為例進(jìn)行說(shuō)明，當(dāng)表頭不存在結(jié)構(gòu)誤差時(shí)，將表1中數(shù)據(jù)代入式(16)得：

從式(18)可以看出，通過(guò)調(diào)整fm、fa的比值可以使?= 0 ，此時(shí)式(15)中b=0，式(15)化簡(jiǎn)為

當(dāng)諧振子振型角被鎖定在零位時(shí)，式(19)(20)代表了振幅控制及速率控制系統(tǒng)的規(guī)律?？梢钥闯?，兩個(gè)控制系統(tǒng)沒(méi)有耦合，但實(shí)際上兩個(gè)系統(tǒng)是存在耦合的。

3 加速度對(duì)激勵(lì)電極的影響分析

3.1 誤差分析

在陀螺正常工作狀態(tài)，振幅控制及速率控制保證了a=constant，b=0，此時(shí)式(15)簡(jiǎn)化為

進(jìn)一步推導(dǎo)：

也可推導(dǎo)成：

對(duì)比式(20)與式(22)可以發(fā)現(xiàn)，激勵(lì)系數(shù)Sc0、Ss0、Sc45、Ss45會(huì)導(dǎo)致陀螺常值漂移及標(biāo)度因數(shù)誤差。對(duì)比式(19)與式(23)可以看出，Sc0、Ss0、Sc45、Ss45會(huì)影響振幅激勵(lì)電極的控制精度，導(dǎo)致振幅的漂移。

在加速度作用下，諧振子與外基座的激勵(lì)電極發(fā)生相對(duì)位移，使得式(10)中積分域θ、φ以及初始電容間隙d的變化導(dǎo)致激勵(lì)系數(shù)Sc0、Ss0、Sc45、Ss45發(fā)生改變，產(chǎn)生陀螺角速率常值漂移和振幅漂移以及標(biāo)度因數(shù)誤差。由式(1)(3)(10)可以看出，分析加速度對(duì)振幅、速率控制系統(tǒng)的影響就是分析加速度參數(shù)1A、ψ與激勵(lì)系數(shù)Sc0、Ss0、Sc45、Ss45的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

采用數(shù)值分析計(jì)算的方法建立仿真系統(tǒng)，研究加速度導(dǎo)致的激勵(lì)電極誤差，仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

3.2 振幅控制系統(tǒng)誤差

首先研究了加速度導(dǎo)致激勵(lì)系數(shù)的改變，激勵(lì)系數(shù)的改變直接導(dǎo)致了振幅控制因數(shù)誤差，根據(jù)力反饋陀螺工作原理，振幅控制電壓的改變表現(xiàn)為振幅的漂移。從式(23)可以看出，fa是與電壓有關(guān)的變量，而其它量都是受加速度影響的量，定義為振幅控制因數(shù)式(19)中的系數(shù)定義為Kac0，振幅控制因數(shù)誤差率為 δKac。

圖5 控制方式I振幅控制因數(shù)誤差率Fig.5 Amplitude control factor error rate of scheme I

圖6 控制方式II振幅控制因數(shù)誤差率Fig.6 Amplitude control factor error rate of scheme II

圖7 控制方式III振幅控制因數(shù)誤差率Fig.7 Amplitude control factor error rate of scheme III

解算出振幅控制因數(shù)，將其與諧振子未變形時(shí)的理想值對(duì)比即可得到控制方式I、II、III的振幅控制因數(shù)誤差率。

從圖5～7中可以看出，控制方式I的振幅控制因數(shù)誤差率最大為 0.3926%。這是最基本的控制方式，控制精度比較低，但是加速度引起的振幅控制誤差不到 4‰?？刂品绞?II的振幅控制因數(shù)誤差率為0.2779%?？刂品绞?III的振幅控制因數(shù)誤差率為6.692×10-4%。從以上三種控制方式的仿真結(jié)果來(lái)看，控制方式 III中加速度引起的振幅激勵(lì)電極誤差幾乎為零，選用控制方式III則認(rèn)為加速度對(duì)振幅控制系統(tǒng)沒(méi)有影響?？梢哉J(rèn)為，諧振子的振幅是穩(wěn)定的。

3.3 速率控制系統(tǒng)誤差

加速度導(dǎo)致激勵(lì)系數(shù)的改變，激勵(lì)系數(shù)的改變導(dǎo)致了速率控制因數(shù)改變，根據(jù)力反饋陀螺工作原理，控制電壓改變，表現(xiàn)為輸出角速率的漂移。

從式(22)可以看出，fm是與電壓有關(guān)的變量，而其它量都是受加速度影響的量，定義為速率控制因數(shù)速率控制因數(shù)誤差率δKrc、耦合因數(shù)Kcf、耦合因數(shù)誤差率δKcf、角速率輸出常值誤差Kce。式(20)中的系數(shù)定義為Krc0。

解算出加速度作用下的速率控制因數(shù)、耦合因數(shù)、常值誤差，將其與諧振子未變形時(shí)的理想值對(duì)比即可得到控制方式I、II、III的速率控制因數(shù)誤差率、耦合因數(shù)誤差率、常值誤差。

從圖8可以看出，控制方式I的速率激勵(lì)電極控制因數(shù)誤差率最大達(dá)到11.14%，說(shuō)明加速度對(duì)陀螺速率激勵(lì)電極影響較大。而耦合控制因數(shù)誤差率最大為4.17×10-6%，加速度導(dǎo)致的控制系統(tǒng)間的耦合誤差較小，可以忽略不計(jì)。加速度造成的陀螺常值誤差為1.20×10-4(°/h)，雖然較小但是需要加以控制。從圖中可以看出，隨著加速度的增大，所有的誤差項(xiàng)都增大，加速度的作用方向角ψ的變化使得誤差呈周期性變化?？刂品绞絀的控制精度最低，可以看出加速度導(dǎo)致的耦合誤差較小可以忽略不計(jì)。以下主要討論控制因數(shù)誤差和陀螺常值誤差。

圖8 控制方式I速率控制系統(tǒng)誤差率Fig.8 Rate control system error rate of scheme I

從圖9中可以看出，控制方式II可以使加速度導(dǎo)致的速率控制因數(shù)誤差率降到 7.91%，陀螺常值誤差下降到8.42×10-5(°/h)?？梢钥闯觯刂品绞絀I從一定程度上減小了加速度對(duì)速率激勵(lì)電極的影響，并不能將誤差抑制到?jīng)]有影響的程度，但是將陀螺的常值誤差控制在了10-4(°/h)的范圍內(nèi)，以下不用討論加速度導(dǎo)致的陀螺常值誤差。

圖9 控制方式II速率控制系統(tǒng)誤差率Fig.9 Rate control system error rate of scheme II

從圖10中可以看出，控制方式III使速率控制因數(shù)誤差率最大值減小到 0.0164%，說(shuō)明即使有加速度地影響，速率控制系統(tǒng)也能很好地控制陀螺的輸出?？刂品绞?III利用電極相對(duì)分布的互補(bǔ)優(yōu)勢(shì)比控制方式II的差分控制取得更好的控制效果，能更好地抑制加速度對(duì)速率激勵(lì)電極的影響。

圖10 控制方式III速率控制系統(tǒng)誤差率Fig.10 Rate control system error rate of scheme III

4 結(jié) 論

本文詳細(xì)研究了在多電極激勵(lì)條件下的HRG諧振子動(dòng)力學(xué)特性，分析了加速度對(duì)控制系統(tǒng)激勵(lì)電極的影響。設(shè)計(jì)了三種反饋控制系統(tǒng)，分析了加速度導(dǎo)致的諧振子變形對(duì)三種反饋控制系統(tǒng)的影響，進(jìn)而對(duì)陀螺輸出的影響。最終得出以下結(jié)論：

1）利用激勵(lì)電極作用下的諧振子動(dòng)力學(xué)方程說(shuō)明了控制方式III具有很好的反饋控制特性和魯棒性，加速度對(duì)振幅激勵(lì)電極影響很小。

2）加速度對(duì)控制方式I、II的速率激勵(lì)電極影響較大，在分析加速度導(dǎo)致HRG漂移時(shí)必須考慮對(duì)速率控制因數(shù)及陀螺常值誤差的影響。

3）通過(guò)合理配置激勵(lì)電極的方式，控制方式III較大程度上削弱了加速度對(duì)振幅、速率控制系統(tǒng)激勵(lì)電極的影響。相比于控制方式I、II，控制因數(shù)誤差減小為原來(lái)的10-3倍。

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