花文華，張擁軍，張金鵬,2，孔 石

（1. 中國空空導彈研究院，洛陽 471009；2. 航空制導武器航空科技重點實驗室，洛陽 471009）

當前大多作戰(zhàn)艦船或重要軍事設施目標都安裝或布置有近程防御系統(tǒng)用于偵查或摧毀來襲導彈，傳統(tǒng)的比例導引制導律已越發(fā)難以勝任攻擊該型目標的任務，因此具有碰撞角度[1-4]和碰撞時間[5-11]控制的先進制導律也變得越發(fā)必要。同時，面對目標的防御系統(tǒng)，多導彈同時攻擊顯然比一對一的攻擊情形更容易提高導彈的生存幾率和目標毀傷概率[12]。文獻[5]針對攻擊固定目標的情況，提出了一種次優(yōu)制導律用于多枚反艦導彈的攻擊時間協(xié)同，該次優(yōu)制導律是比例導引律和碰撞時間誤差反饋控制的組合形式。文獻[6]在比例導引的基礎(chǔ)上，設計了一種多對一的時間協(xié)同比例導引，用于艦船攻擊，該制導律通過引入與多枚導彈相關(guān)的剩余飛行時間變化量，并在目標攻擊過程中逐漸消除這一變化量，直到完成目標攻擊。文獻[7]給出了一種適用于固定目標的攻擊角度和攻擊時間同時可控的制導律，該制導律由減少脫靶量和碰撞角度誤差的最優(yōu)制導律和一個控制攻擊時間的附加項構(gòu)成。基于微分對策理論，考慮碰撞角度和攻擊時間控制，文獻[8]推導了一種適用于固定目標攻擊的微分對策制導律，類似于文獻[7]，該制導律首先進行碰撞角度控制最優(yōu)形式的推導，在此基礎(chǔ)上，利用對剩余飛行時間的估算將制導律擴展到同時適用于碰撞角度和攻擊時間控制的形式。文獻[9]提出了一種具有碰撞角度和時間控制的多項式制導律，多項式函數(shù)由具有三項可調(diào)系數(shù)的剩余下距變量構(gòu)成，三項系數(shù)分別對應攻擊時間、碰撞角度和脫靶量的控制。文獻[5-9]的推導都基于彈目相對關(guān)系線性化近似和小角度假設，與其不同，考慮非線性彈目相對關(guān)系。文獻[10]設計了一種具有碰撞角度和碰撞時間控制的滑模制導律，通過對期望視線角和視線角速度的控制間接實現(xiàn)對碰撞角度和碰撞時間的控制。文獻[11]給出了一種攻擊時間控制的滑模制導律，滑模面定義為碰撞時間誤差和視線角速度的組合，以滿足對碰撞時間誤差和脫靶量的要求，與文獻[5-10]類似，該制導律的推導同樣基于目標固定的假設，但將結(jié)果擴展到了適用于非機動目標（目標運動但非機動）的情況。

本文提出一種非奇異的滑模制導律，并完成適用于機動目標的剩余飛行時間估計方法的推導和擴展，以用于多導彈的攻擊時間協(xié)同。設計結(jié)果不僅適用于固定目標和非機動目標，同樣適用于機動目標的攻擊情形。

1 相對運動關(guān)系

導彈和目標的平面相對運動關(guān)系如圖1所示，假設目標靜止，導彈飛行速度基本保持不變，x軸沿初始彈目視線方向。圖1中VM、aM和γM分別為導彈的飛行速度、加速度和航向角，λ為視線角，r表示彈目距離。

導彈運動方程可表示為

彈目相對運動方程如式(2)所示：

圖1 平面相對運動關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry

2 比例導引剩余飛行時間估計

假設導彈采用比例導引，首先完成導彈攻擊固定目標的剩余飛行時間估計。

由式(1)和式(2)可以得到：

進一步結(jié)合式(2)，得：

導彈所采用的經(jīng)典比例導引形式為：

式(5)中N為視線角速度和導彈航向角速度之間的比例系數(shù)。將式(2)(5)代入式(4)，并經(jīng)進一步整理，可以得到：

求解式(6)所示的一階微分方程，得：

對式(2)第一式進行積分，并進行泰勒級數(shù)展開，可以得到：

式(8)中tf為導彈的飛行時間。僅取式(8)泰勒級數(shù)展開后的前兩項，并帶入式(7)進行求解，可以得到：

式(10)與文獻[6]的剩余飛行時間推導結(jié)果類似，但如果選取式(8)泰勒級數(shù)展開后的更多項用于導彈飛行時間的計算，結(jié)果將更為精確，因此可認為文獻[6]的結(jié)果是本文的一種特殊形式。

3 攻擊時間協(xié)同的滑模制導律

3.1 制導律推導

為實現(xiàn)多導彈攻擊時間上的協(xié)同，考慮導彈飛行時間約束，定義滑模面為

基于式(11)所定義的滑模面，所設計的制導律包括等效控制和切換控制兩部分：

式(13)～(15)中：κ、ε、ρ為設計參數(shù)，κ,ε＞0，ρ＞ 1 ；等效控制用于消除視線角速度實現(xiàn)目標攻擊，并保持切換控制部分用于保證滑模面s→0，滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件，同時保證所推導的滑模制導律(13)是非奇異的。

將式(13)～(15)帶入式(12)可以得到：

定義式(17)所示的Lyapunov函數(shù)進行穩(wěn)定性的分析：

對式(17)兩邊求導，并代入式(16)，可以得到：

因此采用所設計的滑模制導律式(15)可以保證系統(tǒng)是Lyapunov穩(wěn)定的。

3.2 制導律的非奇異性分析

制導律式(15)具有目標攻擊和飛行時間控制兩項功能。制導律是非奇異的主要是為了保證在導彈彈道收斂的情況下，即時，制導律式(13)仍是可執(zhí)行的，以及仍能夠滿足s→0的設計要求，即導彈飛行時間總是可控的。

由式(14)，可以得到：

由式(20)可以發(fā)現(xiàn)，當s→0時，而當時，，表明即使在彈道趨于收斂的情況下，只要用于攻擊時間控制的滑模面制導律式(13)就會存在相應的控制部分用于協(xié)同攻擊時間，因此所設計的制導律式(13)是非奇異的。

3.3 與比例導引的等價分析

所推導的滑模制導律式(13)可轉(zhuǎn)換成比例導引的等價形式。在s→0時，經(jīng)進一步推導，可以得到：

圖2給出了Ns隨Mθ變化的曲線，從中可以發(fā)現(xiàn)，隨著Mθ的增加，Ns逐漸增加，但變化范圍較小，在Mθ可觀性較差的情況下，工程上可采用比例導引替換式(14)。因此，可近似認為制導律式(15)是由比例導引和剩余飛行時間控制項兩部分構(gòu)成，前者用于目標攻擊，后者可用于多彈攻擊時間的協(xié)同。

圖2 Ns和Mθ之間的關(guān)系曲線Fig.2 Relationship betweenNsandMθ

4 機動目標剩余飛行時間估計

式(10)所給出的比例導引剩余飛行時間估計僅適用于固定目標，在目標運動或機動的情況下，則會產(chǎn)生較大的誤差，從而影響控制效果，甚至帶來較大的脫靶量。在式(10)的基礎(chǔ)上，本文進一步給出一種適用于機動目標的擴展形式?；舅悸窞閷⒛繕怂俣韧队暗綇椖恳暰€方向上，同時考慮剩余飛行時間內(nèi)由目標機動和運動所帶來的目標航向和視線角的影響，以保持目標的相對靜止或虛擬靜止。

剩余飛行時間內(nèi)目標機動所帶來的航向變化和目標運動所帶來的視線角變化分別為

將目標當作虛擬靜止目標對待進而估計剩余飛行時間是對式(10)所示形式的進一步擴展。

5 仿真結(jié)果及分析

仿真主要針對所設計的剩余飛行時間估計方法和適用于多導彈攻擊時間協(xié)同的滑模制導律進行驗證，驗證條件主要包括多導彈攻擊固定目標、非機動目標和機動目標三種情況。所設計的攻擊時間協(xié)同滑模制導律適用于任意多枚導彈協(xié)同攻擊的情況，具體仿真中取為三枚導彈。取導彈飛行速度160 m/s，初始航向相同γM0=60°，目標飛行速度最大機動能力1g，初始航向γM0=135°，三種情況下設定的導彈攻擊時間都為仿真終止條件為脫靶量小于0.3 m，結(jié)果如圖3～5所示。

圖 3(a)為三枚導彈以設定的攻擊時間攻擊固定目標的飛行彈道。導彈1飛行彈道較為平滑，設定的飛行時間與采用經(jīng)典比例導引的飛行時間tPN較為接近，而導彈2與導彈3的飛行時間則小于tPN。為滿足設定的飛行時間tfd的要求，飛行彈道按照所設計的制導律式(13)進行了自適應調(diào)整，彈道曲率較大，所需的加速度也較大，如圖3(b)所示。受限于最大加速度，三枚導彈在初始轉(zhuǎn)彎段，為調(diào)整初始飛行航向，控制指令都出現(xiàn)了飽和，如圖3(b)所示，但隨著導彈飛行彈道的逐漸收斂，控制量逐漸減少，并趨近于零。圖3(c)為三枚導彈剩余飛行時間的估計值，在彈道開始收斂后，與真實剩余飛行時間幾乎重合，估計誤差較小。

三枚導彈攻擊非機動目標的飛行彈道、導彈加速度和剩余飛行時間估計值如圖4所示。

圖3 多彈協(xié)同攻擊固定目標Fig.3 Cooperation attack for stationary target of multi-missiles

圖4 多彈協(xié)同攻擊運動目標Fig.4 Cooperation attack for non-maneuvering target of multi-missiles

圖 5為三枚導彈攻擊機動目標的飛行彈道、導彈加速度和剩余飛行時間估計值。

仿真結(jié)果與攻擊固定目標的情況是類似的，表明了所給出的適用于機動目標的剩余飛行時間估計形式是正確的，且攻擊時間協(xié)同滑模制導律可以實現(xiàn)機動目標的有效攔截，滿足攻擊時間協(xié)同的要求。

圖5 多彈協(xié)同攻擊機動目標Fig.5 Cooperation attack for maneuvering target of multi-missiles

6 結(jié) 論

1）為實現(xiàn)多枚導彈對目標攻擊時間上的協(xié)同，設計了一種非奇異的滑模制導律，并給出了一種適用于機動目標的剩余飛行時間估計方法，據(jù)此多枚導彈能夠以設定的攻擊時間完成對目標的攻擊；

2）通過對滑模制導律切換控制指令的合理設計，避免了所設計的滑模面的收斂和保持受到彈道收斂的影響，且總是可達的；

3）適用于機動目標的剩余飛行時間估計方法是在所推導的固定目標的剩余飛行時間估計方法基礎(chǔ)上的擴展，采用虛擬目標的設計思路，將目標加速度和速度對彈目相對運動關(guān)系的影響投影到彈目視線方向上，從而實現(xiàn)目標的虛擬靜止；

4）針對三枚導彈攻擊固定目標、非機動目標和機動目標三種情況進行了數(shù)字仿真，結(jié)果表明了本文所設計的滑模制導律的有效性和剩余飛行時間估計方法的正確性。

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