胡 建，白瑜亮，王小剛，耿云海，崔乃剛

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

高精度姿態(tài)控制是航天器系統(tǒng)的重要關(guān)鍵技術(shù)之一，在對地定向與觀測、交會(huì)對接、航天器編隊(duì)飛行等多種空間任務(wù)中起到十分重要的作用。近年來，隨著航天器技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了多種低成本、模塊化、可快速發(fā)射的新型航天器，如美國的TacSat系列衛(wèi)星和ORS Sat-1等；同時(shí)，各國正在爭相發(fā)展結(jié)構(gòu)和功能均比較簡單的微小型航天器。這些新型航天器質(zhì)量輕，結(jié)構(gòu)簡單，具有較少的冗余和備份，一旦姿態(tài)控制執(zhí)行器發(fā)生故障或部分失效，將會(huì)對航天器的姿態(tài)控制性能造成很大影響，甚至導(dǎo)致任務(wù)失敗。此外，這些航天器大多在中低軌道運(yùn)行，受到氣動(dòng)干擾力矩的影響大，加之由于安裝偏差、燃料消耗、帆板展開等造成的系統(tǒng)參數(shù)不確定性，造成姿態(tài)控制器精度降低。因此，為保證航天器任務(wù)的順利實(shí)施，設(shè)計(jì)具有容錯(cuò)能力并能夠克服系統(tǒng)不確定性的高精度姿態(tài)控制方法是十分必要的。

針對上述問題，基于自適應(yīng)控制方法的姿態(tài)控制器因其良好的性能受到很多學(xué)者的關(guān)注。自適應(yīng)控制根據(jù)實(shí)際情況自動(dòng)調(diào)整控制參數(shù)，能夠保證系統(tǒng)存在參數(shù)、結(jié)構(gòu)、環(huán)境參數(shù)等不確定性時(shí)仍然能夠得到期望的控制效果。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]利用自適應(yīng)控制理論對存在執(zhí)行器故障條件下的航天器姿態(tài)控制問題進(jìn)行研究，分別設(shè)計(jì)了四元數(shù)反饋?zhàn)赃m應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制器[1]和基于輸入狀態(tài)穩(wěn)定性的自適應(yīng)姿態(tài)控制器[2]。自適應(yīng)控制還可與滑?？刂芠3-4]、魯棒控制[5-6]、自抗擾控制[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]、反步控制[9-10]等方法相結(jié)合，通過對系統(tǒng)不確定性或不確定性上界進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)了考慮系統(tǒng)不確定性補(bǔ)償?shù)男滦妥赃m應(yīng)姿態(tài)控制器。在考慮系統(tǒng)外部干擾的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[11]利用雙曲正切函數(shù)設(shè)計(jì)了考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和特性的有限時(shí)間姿態(tài)控制器，而文獻(xiàn)[5]則重點(diǎn)考慮了未知的飛輪摩擦力矩的影響。文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[3]對角速度不可測時(shí)的航天器姿態(tài)控制問題進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[12]提出了由修正的Rodrigues參數(shù)描述的單航天器輸出反饋?zhàn)藨B(tài)控制方法和多航天器分布式輸出反饋?zhàn)藨B(tài)控制器；文獻(xiàn)[3]提出一種自適應(yīng)有限時(shí)間狀態(tài)觀測器對姿態(tài)四元數(shù)時(shí)間變化率進(jìn)行估計(jì)，僅需姿態(tài)角信息即可進(jìn)行航天器姿態(tài)控制。針對航天器姿態(tài)控制中可能存在的執(zhí)行器故障、外部擾動(dòng)力矩、系統(tǒng)不確定性等問題，現(xiàn)有方法大多只考慮了其中某一因素的影響，所設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制器存在普適性差的缺點(diǎn)。此外，現(xiàn)有方法對執(zhí)行器的能力約束考慮較少，不少控制方法在初始階段產(chǎn)生的需求控制力矩遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出執(zhí)行器的能力范圍，這在實(shí)際中是無法實(shí)現(xiàn)的。

本文將自適應(yīng)控制與滑?？刂评碚撓嘟Y(jié)合，并考慮系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性，提出一種新型的有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制方法。首先，基于四元數(shù)建立了航天器姿態(tài)數(shù)學(xué)模型，考慮執(zhí)行器故障及飽和特性，以及航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量偏差、外部干擾力矩等系統(tǒng)不確定性。然后，設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)參數(shù)更新方法，對系統(tǒng)不確定性上界進(jìn)行估計(jì)，并在利用滑模和有限時(shí)間理論進(jìn)行姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)時(shí)對其進(jìn)行補(bǔ)償，保證系統(tǒng)的容錯(cuò)能力和魯棒性。該控制方法不僅能保證系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，而且是有限時(shí)間穩(wěn)定的，文中利用Lyapunov穩(wěn)定性理論進(jìn)行了證明。最后，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出控制方法的有效性。

1 航天器姿態(tài)數(shù)學(xué)模型

采用姿態(tài)四元數(shù)建立航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：

其中：J是航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；是航天器相對于慣性系的姿態(tài)角速度在本體系下的投影；是作用于航天器本體的控制力矩；是航天器受到的干擾力矩；是航天器本體系和慣性系間的姿態(tài)四元數(shù)，滿足

×ω為反對稱矩陣，表示為

根據(jù)上述關(guān)系，得到航天器姿態(tài)跟蹤誤差模型為

在航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用中，由于安裝誤差等原因，航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣存在不確定性，可寫為其中J0為標(biāo)稱值，ΔJ為不確定量。此外，當(dāng)執(zhí)行器飽和或產(chǎn)生故障時(shí)，無法有效實(shí)現(xiàn)控制輸入信號(hào)，這將嚴(yán)重影響航天器的姿態(tài)控制性能。

考慮航天器執(zhí)行器故障，主要包括乘性故障和加性故障，建立航天器執(zhí)行器的故障模型：

考慮航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣偏差和執(zhí)行器故障，航天器姿態(tài)跟蹤誤差模型可表示為

本文進(jìn)行航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，在全局范圍內(nèi)進(jìn)行以下假設(shè)。

假設(shè) 1 航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣J是正定對稱的，且滿足

其中，Jmax為正常數(shù)，表示向量的2范數(shù)。

假設(shè) 2 控制過程中，外部干擾d有界，滿足執(zhí)行器參數(shù)Fd和有界，滿足其中為未知上界且均為正常數(shù)。

本文的主要目的可概括為：在考慮執(zhí)行器故障、航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定、干擾力矩等條件下，設(shè)計(jì)有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制器，實(shí)現(xiàn)姿態(tài)誤差系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

2 有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)

（i）V(t)為正定函數(shù)；

本文將滑模面選取為：

將式(19)中不含不確定項(xiàng)的標(biāo)稱表達(dá)式用N(t)表示，將所有不確定項(xiàng)用Δ(t)表示。

于是，航天器的姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)模型表示為

假設(shè)3 根據(jù)假設(shè)1和假設(shè)2，式(21)表示的系統(tǒng)總的不確定性Δ(t)有界，且滿足其中為未知上界且均為正常數(shù)。

引理 1 考慮式(18)中的滑模面，如果任意s(t)滿足則式(10)和(13)滿足和

根據(jù)上述模型和假設(shè)，給出考慮系統(tǒng)不確定性條件下的自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制律：

其中，ε為小量正常數(shù)。

定理1 考慮式(8)～(10)中的航天器姿態(tài)跟蹤模型和式(18)中的滑模面，利用式(23)給出的姿態(tài)控制器和式(24)中的自適應(yīng)變量更新，可使誤差姿態(tài)四元數(shù)qe和誤差姿態(tài)角速度eω在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0的小鄰域。

證明：定義如下Lyapunov函數(shù)：

根據(jù)式(22)～(24)，式(29)整理成：

根據(jù)式(16)，式(30)右邊第一項(xiàng)滿足：

考慮假設(shè)1，可得：

將式(31)(32)代入式(30)得：

寫為

根據(jù)有限時(shí)間穩(wěn)定定理，當(dāng)

成立，則 Lyapunov函數(shù)V在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零附近，收斂精度滿足

收斂時(shí)間滿足

證畢。

本節(jié)針對存在系統(tǒng)不確定性和外部擾動(dòng)的姿態(tài)跟蹤模型，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制器?；谙到y(tǒng)不確定性有界條件設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制變量，保證系統(tǒng)在有限時(shí)間的穩(wěn)定性。為消除抖振，用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，即將式(25)中的替換成：

其中，δ是正常值小量。

3 仿真分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制器的有效性，本節(jié)進(jìn)行數(shù)值仿真。將所設(shè)計(jì)的控制器性能與經(jīng)典PD姿態(tài)控制器進(jìn)行對比，PD姿態(tài)控制器如下：

航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量標(biāo)稱值J0和偏差值ΔJ分別為：

執(zhí)行器故障參數(shù)如下：

外部干擾力矩如下：

航天器的初始姿態(tài)四元數(shù)和角速度為：

期望姿態(tài)為

為了驗(yàn)證控制方法的魯棒性，采用PD控制律結(jié)合無干擾的航天器動(dòng)力學(xué)模型產(chǎn)生期望軌跡。然后，對比分析有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)控制器和PD控制器在存在擾動(dòng)和執(zhí)行器故障條件下的姿態(tài)跟蹤精度。

有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制器參數(shù)取為：

式(40)中PD姿態(tài)控制器參數(shù)取為：

圖1 姿態(tài)四元數(shù)Fig.1 Quaternion

采用式(23)中的有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制器得到的姿態(tài)控制結(jié)果如圖1～2所示。圖1為航天器姿態(tài)四元數(shù)曲線，圖2為姿態(tài)角速度曲線。由圖1～2可知，本文提出的有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)存在執(zhí)行器故障和干擾條件下的高精度姿態(tài)穩(wěn)定跟蹤控制。圖3為航天器姿態(tài)控制力矩曲線；圖4為滑模面變化曲線，滑模面收斂精度可達(dá)10-6量級。圖5和圖6為有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制器作用下的姿態(tài)四元數(shù)跟蹤偏差與經(jīng)典 PD姿態(tài)控制器的對比。利用所提出的有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制方法，航天器的姿態(tài)跟蹤誤差可控制在10-4rad量級，滿足高精度姿態(tài)控制的要求。傳統(tǒng) PD控制器雖然也能實(shí)現(xiàn)對期望姿態(tài)的穩(wěn)定跟蹤，但姿態(tài)跟蹤精度遠(yuǎn)低于本文提出的有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制方法。仿真結(jié)果充分說明了本文提出的方法具備在存在執(zhí)行器故障和系統(tǒng)不確定條件下實(shí)現(xiàn)高精度姿態(tài)控制的良好性能。

圖2 姿態(tài)角速度Fig.2 Angular velocity

圖3 姿態(tài)控制力矩Fig.3 Control torque of proposed control

圖4 滑模面Fig.4 Sliding mode value

圖5 姿態(tài)四元數(shù) q 0 、 q1跟蹤偏差對比Fig.5 Quaternionq0andq1tracking error comparison

圖6 姿態(tài)四元數(shù) q 2 、 q3跟蹤偏差對比Fig.6 Quaternionq2andq3tracking error comparison

4 結(jié) 論

本文針對航天器存在執(zhí)行器故障、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量偏差及外部擾動(dòng)等不確定性條件下的姿態(tài)跟蹤問題，利用滑?？刂评碚摵陀邢迺r(shí)間控制思想，設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制器，可以使航天器在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)高精度姿態(tài)跟蹤控制。通過合理地設(shè)計(jì)自適應(yīng)變量實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)不確定性上界的估計(jì)和補(bǔ)償，確保了控制器在系統(tǒng)不確定條件下仍然具有較高的精度。本文利用 Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了所提出控制方法的收斂性和穩(wěn)定性。數(shù)值仿真進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的有效性和精度。

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