付 裕

（陜西國防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，西安 710300）

許多實(shí)際問題都可以用一函數(shù)f（x）來表示其內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。這種函數(shù)中相當(dāng)?shù)囊徊糠质峭ㄟ^試驗(yàn)或觀測得到的。插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，它來自生產(chǎn)實(shí)踐。其核心思想就是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)做一個(gè)即能反映函數(shù)f（x）的變化特性，又便于計(jì)算的簡單函數(shù)P（X），用P（X）近似f（x）。常用的插值方法有拉格朗日插值法、牛頓插值法、埃爾米特插值法、分段線性插值法、三次樣條插值法。文中用一未知函數(shù)f（x）來反映某學(xué)校畢業(yè)生人數(shù)的變換規(guī)律，并根據(jù)2006年到2012年畢業(yè)生人數(shù)的原始數(shù)據(jù)建立多項(xiàng)式插值函數(shù)，借助MATLAB軟件計(jì)算出2013、2014年的畢業(yè)生人數(shù)。并對(duì)這兩種插值法進(jìn)行了對(duì)比分析。得到拉格朗日插值法在這一問題較之三次樣條插值法具有更高的精度。

1 插值法的定義

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，x0，x1，…，xn是[a，b]上n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，φ是給定的某一函數(shù)類。若 φ 上有函數(shù) φ（x），滿足 φ（xi）=f（xi），i=0，1，…，n則稱φ（x）為f（x）關(guān)于點(diǎn)x0，x1，…，xn在φ上的插值函數(shù)；x0，x1，…，xn為插值節(jié)點(diǎn)；稱f（x）為被插值函數(shù)。

2 拉格朗日插值多項(xiàng)式

給定（xi，f（xi））（i=0，1，…，n）其中 xi互不相同，構(gòu)造次數(shù)至多為n的插值多項(xiàng)式Ln（x）：

關(guān)于x0，x1，…，xn的n次拉格朗日插值多項(xiàng)式，它滿足Ln（xi）=f（xi），i=0，1，…，n。

3 三次樣條函數(shù)

給定區(qū)間[a，b]上n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a=x0

4 示例

將拉個(gè)朗日插值與三次樣條插值應(yīng)用于實(shí)例分析。表1為某學(xué)校2006年到2014年畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)。從表1中可以觀察到畢業(yè)生人數(shù)與年份存在某種非線性關(guān)系。本文用一未知函數(shù)f（x）來表示這種非線性關(guān)系，以自變量x表示年份，函數(shù)值表示畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)。將2006年到2013年這8組數(shù)據(jù)作為插值節(jié)點(diǎn)，分別運(yùn)用拉格朗日插值法與三次樣條插值法進(jìn)行擬合，得到畢業(yè)生人數(shù)隨年份的變化曲線。并將預(yù)測值與真實(shí)值進(jìn)行比較。

表1 某學(xué)校年畢業(yè)總?cè)藬?shù)

以2006年到2012年的畢業(yè)生人數(shù)為7組數(shù)據(jù)對(duì)使用拉格朗日插值法進(jìn)行插值，得到一個(gè)六次多項(xiàng)式函數(shù)Ln（x），以該函數(shù)表示畢業(yè)生人數(shù)與年份的非線性關(guān)系，具體函數(shù)曲線如圖1所示。運(yùn)用該函數(shù)對(duì)2013年的畢業(yè)生人數(shù)進(jìn)行預(yù)測，得到2013年的畢業(yè)生人數(shù)為3875人，2014年的人數(shù)為4122人同樣以2006年到2012年的畢業(yè)生人數(shù)為7組數(shù)據(jù)對(duì)使用三次樣條插值法進(jìn)行擬合，得到一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)Sn（x），具體函數(shù)曲線如圖1所示，對(duì)2013年的畢業(yè)生人數(shù)預(yù)測得到7951人，2014年人數(shù)為14762人。2013、2014年畢業(yè)生真實(shí)數(shù)據(jù)與插值數(shù)據(jù)見表2。

圖1 畢業(yè)生人數(shù)與年份關(guān)系曲線

5 結(jié)束語

由圖1可以觀察出拉格朗日插值數(shù)據(jù)比三次樣條插值更接近真實(shí)值，三次樣條插值表現(xiàn)出了龍格現(xiàn)象，用插值法對(duì)畢業(yè)生人數(shù)與年份的數(shù)據(jù)對(duì)進(jìn)行插值時(shí)，拉格朗日插值法比三次樣條插值法有更高的可靠性與準(zhǔn)確性。

[1] 李慶揚(yáng)，王能超等.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.12.