黃泳聞

摘要：對于數學應用題的研究一直是認知心理學家和教育心理學家研究的熱點問題之一。本研究從小學生解數學應用題入手，對比不同年級、不同數學能力小學生應用題解題能力的差異，分析小學生解應用題中插圖的作用。本次研究共有一個實驗，選取小學四、五、六年級的小學生分別進行有無插圖的應用題測試，結果表明隨著年級的增高應用題解題能力增加，數學能力越高的學生應用題解題能力也越高，并表明含有插圖的應用題有利于小學生數學應用題的解決。

關鍵字：小學；數學；應用題；插圖

一、研究背景

數學一詞在西方源自于古希臘語的μ?θημα（máthēma），其有學習、學問、科學三重意義；我國古代把數學叫算術，又稱算學，最后改為數學。我國小學的年齡段為7—13周歲，認知發(fā)展水平處于具體運算階段與形式運算階段，處于具體運算階段的兒童能根據具體經驗思維解決問題，能使用具體物之操作來協助思考，能理解可逆性與守恒的道理；進入形式運算階段后開始會類推，有邏輯思維和抽像思維，并能按假設驗證的科學法則思考解決問題。小學階段正是一個人認知能力發(fā)展至關重要的階段，而數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面則有著獨特的作用，因此小學數學的學習與教學在小學教育中格外重要。

（一）研究意義

華羅庚曾說：“學數學不做題目，等于入寶山而空返。”因此在小學數學學習、教學中離不開解題，而數學應用題則是一種訓練學生實際解決問題能力的典型題型。小學數學應用題一般建立在數字運算的掌握基礎之上，并融合了學生的文字理解能力，通過應用題的解決，不僅能使學生認識到語言加工、數學加工和情境推理之間的關系，還可加深對數學規(guī)律的基本認識。因此，研究插圖對小學生數學應用題解題的影響，不僅可以深入了解小學生應用題解題的心理過程與機制。因此，小學數學應用題解題中插圖的影響的研究具有十分重要的理論和實踐意義。

（二）相關理論

現代認知心理學認為，人作為認識的主體，是主動地加工信息和獲得知識的，主體已有的知識結構在相當大的程度上決定著人對外界的反應過程和策略。近年來國內外關于小學生應用題解題策略的研究也提出了一些相關的理論：

1.心理模型表征

心理模型是對知識理解、推理后所預期的一些領域或情景的一種表征。心理模型研究有兩條路線，一條路線企圖尋找在知識豐富的領域中支持理解和推理的知識和過程的特征；另一條路線關注支持邏輯推理的作為工作記憶結構的心理模型。前者稱之為因果心理模型，后者稱為邏輯心理模型。應用題中插圖的存在，由于插圖已經將題目中各關鍵詞或其關系進行圖形建構，當學生在對題目閱讀以及插圖的掃描后將加快其心理模型的建構，方便對相關知識點的聯想與應用。

2.背景知識的激活

知覺是刺激在神經系統(tǒng)或腦中留下的烙印，自然界中刺激是完整的，可以提供非常豐富的信息，人可以利用這些信息，直接產生與作用于感官的刺激相對應的知覺。插圖在文中的作用類似于先行刺激，激活了讀者頭腦中已有的背景知識，可以使每個句子有意義，促進所有的信息都成為一個有意義的整體，使讀者可以更有效、更深入地加工題目中的信息，從而產生了對題目的更有意義的解釋。

3.單一編碼理論

單一編碼理論認為只存在命題表征，命題可用句子來表述，但其本身不是句子，而是事物意義的抽象概括或反應事物情況的思想。在回憶時，某概念的意向形式或言語描述產生于同一個抽象的命題表征，是從命題表征中重新構造的過程。圖畫及語詞信息激活其意義碼及語音碼的順序是不同的：圖畫可直接接通其意義碼，而語音碼的接通是間接的，發(fā)生在意義碼接通之后。相反，語詞加工是直接接通其語音碼，而意義碼的接通多是在語音加工之后，因此詞語判斷要經過形一音一義轉碼，而圖畫卻是形一義一音。所以，在范疇判斷任務中，圖畫先到達命題。

4.雙重編碼理論

雙重編碼理論認為除命題表征外還存在著類比表征，即不僅是對事物抽象的反應，還可能存在著與外部客體類似的形象的反應。這兩個系統(tǒng)既相互獨立，又相互聯系。在兩個系統(tǒng)中，存在三種加工水平。第一種水平是表征加工，指單詞激活言語表征，而實際物體及其圖畫激活意向表征。第二種水平是關聯水平，指一個系統(tǒng)的表征由另一系統(tǒng)的活動而激活。第三種水平是聯想水平，指在語言單位之間的聯想或者在意向之間的聯想。

二、問題的提出及假設

《數學課程標準》倡導從學生的生活經驗和已有的知識背景出發(fā)，促使他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本的數學知識技能、數學思想和方法，同時獲得廣泛的數學活動經驗。要實現此目標，一個很重要的教育環(huán)節(jié)就是應用題教學，通過解決這些題目，不僅能使學生認識到語言加工、數學加工和情境推理之間的關系，還可獲得對數學規(guī)律的基本認識?；诖?，本研究將描述小學數學應用題解題中插圖是否會產生影響、如何影響采用試題測試進行實驗。實驗為2（小學四年級、小學五年級）×2（有、無插圖）混合實驗設計。其中年級是被試間因素，有、無插圖是被試內因素。通過對前人相關研究的閱讀與總結，本研究假設在小學四年級、五年級學生在應用題解題過程中其解題能力隨著年齡增大而逐步提高，擁有優(yōu)異的數學能力的小學生對應用題的解決更加優(yōu)秀，并且插圖將促進小學生應用題的問題解決。

三、實驗

（一）實驗目的

通過小學四年級到五年級應用題解題能力的比較，探究小學生應用題解題能力的發(fā)展趨勢。研究插圖在小學生應用題解題過程中的影響。

（二）實驗方法

1.被試

本次試驗選取內蒙古自治區(qū)巴彥淖爾市烏拉特后旗某小學四年級（2）班、五年級（3）班、六年級（1）班全體同學。本次實驗選擇的三個班級均是普通平行班，根據最近一次期中考試的數學成績將被試的數學能力分為4等級：90分～100分為一級、76分～89分為一級、60分～75分為一級、60分以下為一級，并在每個班級中將根據此次期中考試成績以及數學老師的評價將被試分為兩組，兩組被試總體數學能力相同，被試樣本構成如表1所示。本次實驗共發(fā)放120份，其中四年級44份、五年級33份、六年級37份；共回收問卷120份，回收率為100%；有效問卷98份，問卷回收的有效率為81.67%。

2.試卷的制作

本試卷共有2套試題，每套試題共有6道應用題，均為小學數學中常見類型的應用題，每題只有一問且答案唯一。試卷A為含有插圖的試卷，插圖為題目內關鍵信息的圖形表示，并不提供解題思路。試卷B為不含有插圖的試卷，題目內容與試卷A一致。每套試卷共有5題，總成績?yōu)?分，答對一題計1分。試卷中的插圖均是應用題中關鍵信息點的圖示表示，并非圖像表示，這是由于在以往的許多研究中已經表明圖像信息對小學生應用題的解決并無影響，因此本次研究將只研究中所有插圖均為關鍵信息點的圖示表達。根據以往小學生試卷的排列特點，插圖均排列在題目右側。

3.試驗程序

（1）實驗中由本班數學老師擔任主試。并在主試的監(jiān)督下完成所有測驗。

（2）主試向被試介紹本次測驗，并宣讀統(tǒng)一的指導語：

本試卷僅用于研究，不是考試，它與你的學習成績無關，并不評價你學習的好壞，并且你的答案均嚴格保密，請放心。下面，你將有30分鐘完成試題，請獨立、認真作答！謝謝！

（3）發(fā)放測試題。其中一組被試中的被試完成試卷A即有插圖的試卷的內容，另外一組的被試完成試卷B即無插圖試卷的內容，發(fā)放完畢后開始計時作答。作答期間的被試如有疑慮，均告訴被試：“按照你所想的完成試卷就可以?！?/p>

（4）回收測試題。從計時開始30分鐘后統(tǒng)一收回試卷。

（三）結果

利用SPSS 11.5對數據進行統(tǒng)計、分析，結果如下：

1.不同年級間應用題解題能力發(fā)展趨勢

以年級為自變量，測試卷的得分為因變量做單因素方差分析，結果發(fā)現隨著年級的增長被試的應用題解題能力也顯著增加（F=5.310，p=0.007）。為探討各年級間的具體差異，以年級為自變量，測試卷的得分為因變量做多重檢驗，各年級間具體差異如表2表示：

2.有無插圖對應用題解題的影響探究

不同試卷類型的得分結果如表3所示。以有無插圖為自變量，測試卷的得分為因變量做單因素方差分析發(fā)現：有插圖的試卷的得分顯著高于無插圖的試卷（F=7.389 p=0.08）

3.數學能力與測試成績相關性探究

不同等級數學能力的測試得分如表4所示。為研究數學能力與應用題解題能力的相關性，以數學能力為自變量、測試成績?yōu)橐蜃兞孔鱿嚓P分析，結果顯示數學能力與測試成績間相關系數為0.660，相關性較高。同時以數學能力為自變量、測試成績?yōu)橐蜃兞孔鰡我蛩胤讲罘治?，結果顯示高數學能力的測試成績顯著高于低數學能力的測試成績（F=21.617 p<0.001）。為探討不同不同數學能力間測試成績的差異，以數學能力為自變量、測試成績?yōu)橐蜃兞孔龆嘀貦z驗，結果如表5所示

四、討論

（一）不同年級間應用題解題能力

不同年級間的解題差異性較為顯著，表現出了隨著年級的增長學生應用題解題能力逐漸增長的趨勢，這也符合以往研究的實驗結果。但是四年級與五年級的解題成績差異較之五年級與六年級、四年級與六年級的解題能力的差異顯著性較低，這可能是由于四年級與五年級的小學生應用題解題發(fā)展水平仍然處于同一水平，直到六年級時解題能力才發(fā)展成熟。另外，也可能是由于本次測試的題目相對于六年級的小學生過于常見，經過多次考試、練習的不停反復做題，出現了練習效應。

（二）插圖對小學生應用題解題的影響

實驗結果表明含有插圖的被試組成績顯著高于不含插圖的被試組。本次試卷中插圖均是應用題內關鍵信息點的圖示表示，由于插圖具有簡單、直接的特點，能夠幫助小學生在大腦中建立表象，因此，在插圖的參照下，小學生借助插圖的視覺特征很容易對問題內在的聯系進行加工，使問題實質與解題方法的邏輯關系顯得較為清晰，這一認知過程本身就對插圖題目進行了比無插圖題目更為深入的信息加工。正是這一雙重的加工，導致有插圖題目的得分高于無插圖題目。這一結果支持了雙重編碼理論。

（三）不同數學能力的應用題解題能力

在同一年級內不同數學能力的小學生表現出不同的應用題解題能力，隨著數學能力的增高應用題解題能力也增大，并且表現出數學能力越高插圖對其應用題的解題影響越小的現象。小學數學應用題的解決建立在數字運算的掌握基礎之上，并需要一定的文字理解能力，融合了語言加工、數學加工和情境推理之間的關系，良好的數學能力代表小學生數學知識的儲存、提取的流暢，因此較好的數學能力可以促進學生對于應用題的良好理解，同時插圖的存在將會更加快速、有效的激發(fā)小學生腦中的相關知識的提取，表現出越好的數學能力對應用題的解決越好，這也符合了背景知識激活理論。

五、結論

本研究表明小學四、五、六年級的學生應用題解題能力存在顯著差異，表現為隨著年級的增加解題能力增加；同時證明了應用題中插圖的存在將有效促進小學生應用題的解決；此外，對于不同數學能力的小學生應用題的解題能力也不同，越好的數學能力表現出越好的應用題解決能力。

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