劉樹勇，位秀雷，王 基，楊慶超

（海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢，430033）

對(duì)非線性隔振系統(tǒng)進(jìn)行反饋控制的目的是通過實(shí)時(shí)調(diào)整參數(shù)改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征，從而使系統(tǒng)處于所需要達(dá)到的工作狀態(tài)，目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開展了大量的研究。Ji等研究了參數(shù)激勵(lì)Duffing系統(tǒng)在反饋控制時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)果表明系統(tǒng)平凡解對(duì)應(yīng)的參數(shù)區(qū)可以擴(kuò)大，當(dāng)采用合適反饋控制時(shí)，可以使系統(tǒng)的不連續(xù)分岔轉(zhuǎn)換為連續(xù)分岔，并消除系統(tǒng)中的突跳現(xiàn)象[1]。Xu等研究了Duffing系統(tǒng)在位移延遲反饋控制條件下，通向混沌的兩種途徑，即倍周期分岔和環(huán)面破裂[2]。Attilio Maccari研究了Van der Pol-Duffing系統(tǒng)在位移和速度延時(shí)反饋條件下的主共振響應(yīng)[3]，應(yīng)用漸進(jìn)攝動(dòng)（asymptotic perturbation）法推導(dǎo)了系統(tǒng)主共振響應(yīng)時(shí)的幅值和相位解析表達(dá)式。Kakmeni等則研究了雙頻激勵(lì)時(shí)的Duffing-Van der Pol振子中的混沌控制[4]；Li等在研究中，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)耦合的非線性反饋控制可以通過解耦的非線性反饋控制來代替[5]。此外，還有一些研究表明合理的延時(shí)反饋將使得系統(tǒng)產(chǎn)生有效阻尼并被大量應(yīng)用于各種懸掛系統(tǒng)的主動(dòng)控制。S.Chatterjee等研究了非線性機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中的加速度延遲反饋控制方法，發(fā)現(xiàn)具有延時(shí)的加速度反饋可能影響被控制系統(tǒng)的阻尼特性[6]。該方法可用于控制受迫Duffing振子的主共振和1/3次諧波共振。在連續(xù)系統(tǒng)控制方面，Khaled等對(duì)于系統(tǒng)在參數(shù)激勵(lì)條件下梁的延遲主動(dòng)控制進(jìn)行了研究，包括三種非線性延遲反饋控制即位移、速度和加速度的三次方延遲反饋。同時(shí)，應(yīng)用多尺度方法推導(dǎo)了控制梁的具有非線性動(dòng)力學(xué)特性的運(yùn)動(dòng)方程，并應(yīng)用這些方程研究了延遲對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性、幅值和頻響特性的影響。結(jié)果表明，即使是非常小的延遲，也能改變參數(shù)激勵(lì)梁的穩(wěn)定性并產(chǎn)生一些奇怪的動(dòng)力學(xué)行為[7]。

然而，由于高維非線性系統(tǒng)中既存在各自由度之間的耦合，又存在非線性模態(tài)之間能量的傳遞，因而分析和計(jì)算的難度比低維系統(tǒng)急劇增加[8-10]。從研究的文獻(xiàn)來看，目前對(duì)多自由度非線性隔振系統(tǒng)在反饋控制條件下幅頻特性以及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征的控制規(guī)律研究很鮮見。本文建立了兩自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)的無量綱動(dòng)力學(xué)模型，并推導(dǎo)了系統(tǒng)幅頻特性曲線近似解析表達(dá)式，得到系統(tǒng)在不同反饋控制增益條件下幅頻特性曲線的變化特征，從而為非線性振動(dòng)的控制奠定基礎(chǔ)。

1 非線性隔振系統(tǒng)反饋控制模型

非線性隔振系統(tǒng)的模型如圖1所示，包括上下層質(zhì)量塊M1和M2、加速度傳感器、上層彈簧元件，其線性剛度為K1，非線性剛度為U1，下層彈簧元件剛度為K2；上下層質(zhì)量塊的振動(dòng)位移分別為X1、X2，激勵(lì)力的幅值為F，激勵(lì)頻率為Ω。作動(dòng)器安裝在上下層質(zhì)量塊之間。在主動(dòng)控制過程中采用上層速度反饋控制，因此有

圖1 非線性隔振系統(tǒng)反饋控制圖

應(yīng)用力學(xué)分析方法，得到系統(tǒng)的振動(dòng)方程為

為了便于分析，進(jìn)行如下坐標(biāo)變換

其中X1、X2為自由伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的振動(dòng)位移；Y1、Y2為彈簧壓縮后相對(duì)系統(tǒng)平衡位置狀態(tài)的振動(dòng)位移；Δi是位移差（i=1,2）。代入式（1）得到

2 系統(tǒng)非線性幅頻特性

為了計(jì)算方便，令式（3）中y1-y2=x1，因此得到

設(shè)系統(tǒng)的解分別為

將式(5)代入式（4）后，出現(xiàn)了 cosωt和 sinωt的高次項(xiàng)，由于在消除永年項(xiàng)的過程中，通常針對(duì)于cosωt和sinωt的一次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，因此略去高階項(xiàng)的運(yùn)算，得到

將系統(tǒng)的響應(yīng)向正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的基上進(jìn)行投影，可以得到

令式(9)中的三角函數(shù)項(xiàng)系數(shù)為零以消除永期項(xiàng)

將式(12)、式(13)代入式(8)后消除永年項(xiàng)得到

為了使式(8)恒成立，令式中常數(shù)項(xiàng)為零，并略去系數(shù)c10的高階項(xiàng)得到

為了便于計(jì)算幅頻關(guān)系，令

a1,1=cos[ρ]A1,b1,1=sin[ρ]A1，其中ρ為振動(dòng)響應(yīng)中的相位角，將上述公式代入式(14)和式(15)中，結(jié)合三角函數(shù)恒等式關(guān)系，可求得A1-ω幅頻關(guān)系。

3 仿真結(jié)果

3.1 無反饋時(shí)的兩自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)的取值為μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12 ，反饋控制參數(shù)較小時(shí)k=0，得到兩自由度非線性隔振系統(tǒng)的幅頻特性曲線，如圖2所示。

圖2 反饋控制增益對(duì)系統(tǒng)幅頻特性曲線的影響

從圖中可以看出，在兩自由度條件下，系統(tǒng)的幅頻特性曲線具有兩個(gè)峰值。第二個(gè)共振峰發(fā)生明顯的彎曲，即發(fā)生共振頻率轉(zhuǎn)移現(xiàn)象。幅值和頻率之間不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系。這種系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是可以主動(dòng)避開共振，一旦由于共振使振幅增大時(shí)，系統(tǒng)的共振頻率就發(fā)生轉(zhuǎn)移，使得共振減弱。

3.2 反饋增益變化時(shí)的幅頻曲線

當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)取值為μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12，反饋控制參數(shù)較小時(shí)k=0.5，系統(tǒng)的幅頻曲線如圖2所示。和系統(tǒng)無反饋控制情況相比較，可以看出曲線的外部輪廓沒有發(fā)生變化；但振動(dòng)峰值已經(jīng)明顯降低。由原來11.6降低為5.5。振動(dòng)的反饋控制已效果明顯。當(dāng)反饋控制增益增加為1.0時(shí)，系統(tǒng)的第二共振峰進(jìn)一步減小，而第一共振峰保持不變，如圖3所示。當(dāng)反饋控制增益為2.0時(shí)，第二共振峰開始消失。從物理意義上來說，速度反饋將使得大幅值振動(dòng)現(xiàn)象得到抑制。

3.3 系統(tǒng)的混沌振動(dòng)

(1)反饋控制參數(shù)不同時(shí)的Lyapunov指數(shù)曲線

根據(jù)前面的分析可知，系統(tǒng)呈現(xiàn)出明顯的非線性特征。如果系統(tǒng)處于非線性混沌參數(shù)區(qū)域，將產(chǎn)生混沌振動(dòng)。由于Lyapunov指數(shù)是判斷系統(tǒng)是否處于混沌的重要指標(biāo)，根據(jù)不同的參數(shù)可以計(jì)算出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜，從而為混沌識(shí)別提供依據(jù)。

當(dāng)系統(tǒng)中μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12 ，反饋控制參數(shù)k=0.2，1.0，2.0和2.5時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)曲線如圖3所示。

從圖中可以看出，當(dāng)反饋控制增益參數(shù)值較小時(shí)，隨著激勵(lì)頻率在0.1～14范圍內(nèi)變化，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)曲線大于零的區(qū)間比較密集，如圖3(a)所示，表明系統(tǒng)存在較寬的混沌振動(dòng)參數(shù)區(qū)。隨著反饋控制增益的增加，最大Lyapunov指數(shù)大于零的區(qū)間逐漸稀疏，特別是在圖3(d)中，由于反饋控制的作用，系統(tǒng)在大部分參數(shù)區(qū)間中最大Lyapunov指數(shù)小于零，表明系統(tǒng)從混沌態(tài)被控制到周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(2)系統(tǒng)的混沌吸引子

根據(jù)圖3的計(jì)算結(jié)果，選取系統(tǒng)的參數(shù)為：μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12反饋控制參數(shù)為k=0.2和2.5，激勵(lì)頻率為3.85時(shí)，系統(tǒng)的相圖如圖4所示。

從圖4(a)、圖4(b)中可以看出，系統(tǒng)處于混沌振動(dòng)狀態(tài)，相圖為奇怪吸引子；從圖4(c)、圖4(d)中可以看出系統(tǒng)處于周期振動(dòng)狀態(tài)，相圖為極限環(huán)。因此，在不同控制條件下，系統(tǒng)將呈現(xiàn)出不同的非線性動(dòng)力學(xué)行為。

4 實(shí)驗(yàn)研究

4.1 試驗(yàn)臺(tái)組成

試驗(yàn)裝置主要包括帶偏心質(zhì)量塊的電機(jī)、電源控制柜、作動(dòng)器、雙層隔振平臺(tái)、光滑導(dǎo)軌、加速度傳感器、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、數(shù)據(jù)輸出系統(tǒng)、功率放大器；軟件部分包括LabVIEW信號(hào)采集程序、MATLAB數(shù)據(jù)分析處理程序。主要儀器如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)儀器

4.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

調(diào)整控制箱右電機(jī)旋扭使得偏心塊產(chǎn)生的激勵(lì)頻率為13.67時(shí)，未施加主動(dòng)控制的系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)和頻譜特征如圖5所示。可以看到基頻、2倍和3倍頻峰值。實(shí)施主動(dòng)控制后系統(tǒng)的響應(yīng)特征如圖6所示。

從圖5(b)、圖6(b)中可以看出，下層振動(dòng)加速度幅值有顯著降低。從圖5(d)、圖6(d)的頻譜圖來看，有控制時(shí)的頻譜峰值比無控制時(shí)下降27.5 dB，證明了控制方法的有效性。

圖3 不同反饋控制參數(shù)條件下Lyapunov指數(shù)譜曲線

圖4 NVIS系統(tǒng)的混沌和周期吸引子

5 結(jié)語

圖5 主動(dòng)控制前系統(tǒng)的響應(yīng)特征

圖6 主動(dòng)控制后系統(tǒng)的響應(yīng)特征

通過建立兩自由度速度反饋控制非線性振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)系統(tǒng)在反饋控制條件下幅頻特性近似解析表達(dá)式，得到振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性曲線。研究了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和反饋增益對(duì)幅頻特性曲線的影響，觀察到幅頻特性曲線上的共振峰及其舌狀結(jié)構(gòu)，這體現(xiàn)了系統(tǒng)中的共振頻率轉(zhuǎn)移現(xiàn)象和多幅值特性。隨著反饋增益增加，共振峰骨架曲線左移，幅值降低直至消失。這反映了在該控制過程反饋對(duì)大幅值響應(yīng)的抑制。計(jì)算了系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜隨結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的曲線，得到系統(tǒng)混沌控制的參數(shù)范圍。實(shí)驗(yàn)研究表明，系統(tǒng)出現(xiàn)基頻和超諧波響應(yīng)，通過控制可以使得線譜成分得到有效降低，從而為非線性振動(dòng)系統(tǒng)控制提供有益參考。

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