陸明明

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數(shù)學(xué)教科書例題的分類及其教學(xué)建議

陸明明1，2

（1．南京市玄武區(qū)教研室，江蘇 南京 210016；2．南京市高中數(shù)學(xué)渠東劍名師工作室，江蘇 南京 210016）

數(shù)學(xué)教科書中的例題具有基礎(chǔ)性、典型性、層次性、發(fā)展性和系統(tǒng)性，可分為Q型和P型兩類．Q型例題是直接利用規(guī)則并按照一定程序去完成解答的例題，其功能是使學(xué)生形成自動化技能；教學(xué)分為3個階段：形成產(chǎn)生式、產(chǎn)生式自動化和形成產(chǎn)生式系統(tǒng)．P型例題是通過建立數(shù)學(xué)模型完成解答的例題，其功能是獲得策略性知識，形成執(zhí)行復(fù)雜認(rèn)知操作的產(chǎn)生式系統(tǒng)；教學(xué)可以從“弄清問題、分析問題、回顧反思、變式學(xué)習(xí)”4個階段進(jìn)行．

例題分類；例題教學(xué)；產(chǎn)生式；變式

如何提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率是人們一直關(guān)注的重要課題．王光明教授指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)效率的高低不取決于教師打算教給學(xué)生什么，而取決于學(xué)生實際獲得了什么．”[1]可見，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵．而學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高主要是通過教師有效的教，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，促進(jìn)學(xué)生意義學(xué)習(xí)．例題是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的重要內(nèi)容，如何有效的教例題，嘗試作一些探討．

例題是數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分．李善良博士指出：“教材中的素材要堅持4個字：精、典、新、思．……尤其是數(shù)學(xué)教材中的例題、練習(xí)、習(xí)題，必須考慮學(xué)生學(xué)習(xí)心理規(guī)律，根據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)用的不同層次：辨認(rèn)識別、變式練習(xí)、解決簡單問題、解決復(fù)雜問題等，選配比較典型的題目，內(nèi)部自成系統(tǒng)，相互聯(lián)系，學(xué)生經(jīng)過這些基本的訓(xùn)練足可以掌握相關(guān)知識與技能，并且這些習(xí)題的量是最小的．”[2]可見，數(shù)學(xué)教科書中的例題是編者精心選配的，具有基礎(chǔ)性、典型性、層次性、發(fā)展性和系統(tǒng)性．

數(shù)學(xué)概念、原理和思想方法都比較抽象，例題就成了學(xué)生理解概念、原理，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的具體途徑，例題教學(xué)也就成為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本形式[3]．文[4]從宏觀層面提出數(shù)學(xué)教科書中的例題具有示范引領(lǐng)、揭示方法、介紹新知、鞏固新知、思維訓(xùn)練和文化育人等6個功能，具有普適性．例題教學(xué)中，有效的教的方式取決于教科書例題的功能定位．如何準(zhǔn)確定位教科書例題的功能，需要對教科書例題進(jìn)行分類．即根據(jù)教科書例題的分類，明確不同類型教科書例題的功能，據(jù)此確定有效的教的方式．

1 教科書例題及其分類

1.1 從例題的語義上理解

關(guān)于“例”．現(xiàn)代漢語詞典解釋如下：“【名詞】①從前有過，后來可以仿效或可作為依據(jù)或標(biāo)準(zhǔn)的事物．②用作依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)則．③例子．④調(diào)查或統(tǒng)計時指合于某種條件的事例．【動詞】比照；比類．【形容詞】按條例規(guī)定進(jìn)行的．【副詞】按規(guī)定．”古漢語詞典解釋如下：“①類別．②規(guī)則，條例．③照例．”

由以上解釋不難看出，例題應(yīng)該具備4點基本屬性．首先，是一個標(biāo)準(zhǔn)，具有基礎(chǔ)性，強(qiáng)化“近利”（即基本知識和基本技能），融入“遠(yuǎn)慮”（即基本思想和基本活動經(jīng)驗）．其次，是一個比類，具有代表性，代表一類問題．再其次，是一個例子，具有典型性，代表中的代表．最后，是一個照例，不僅具有示范性（模仿的榜樣），而且具有規(guī)范性（準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)）．

1.2 教科書例題的構(gòu)成要素

例題，現(xiàn)代漢語詞典解釋如下：“為說明某一定理、定律或原理而舉出來用作例子的問題或題目．有時附有具體的解釋．”不難看出，例題的本質(zhì)是問題（包括題目）．教科書是教與學(xué)雙邊活動的最重要媒體[2]，不僅是教師實施創(chuàng)造性教學(xué)的重要材料，也是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的重要線索．所以，教科書例題不僅包括對問題的陳述，還包括完整的、規(guī)范的解答；對于一些綜合性例題，還應(yīng)給出必要的分析過程．綜上，教科書例題應(yīng)具備兩個基本要素：問題和解；必要時，附分析過程．

1.3 教科書例題的分類

喻平教授提出了4種數(shù)學(xué)解題教學(xué)模式：“認(rèn)知建構(gòu)模式、自動化技能形成模式、模型建構(gòu)模式和問題開放模式．認(rèn)知建構(gòu)模式是指通過系列變式問題的解決，促使學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．自動化技能形成模式是指通過解決直接利用規(guī)則并按一定程序去完成解答的問題，促進(jìn)學(xué)生獲得自動化程序性知識．模型建構(gòu)模式是指通過建立數(shù)學(xué)模型解決問題，促使學(xué)生獲得策略性知識，提高分析問題和解決問題的能力．問題開放模式是指通過開放性問題的解決，促使學(xué)生鞏固陳述性知識，發(fā)展策略性知識．”[5]不難看出，自動化技能形成模式和模型構(gòu)建模式中所解決的問題是由本源的數(shù)學(xué)知識演化而來，而認(rèn)知建構(gòu)模式和問題開放模式中所解決的問題是由基本問題變化而來．即由本源的數(shù)學(xué)知識演化出基本問題，基本問題通過變式、組合可以再生豐富多樣的問題．綜上，基本問題可以分為兩類：一類是直接利用規(guī)則并按照一定的程序能完成解答的問題；一類是通過建立數(shù)學(xué)模型完成解答的問題．

依據(jù)上述對基本問題的分類標(biāo)準(zhǔn)，教科書例題可分為兩類：一類是直接利用規(guī)則并按照一定的程序去完成解答的例題，稱之為問題解答（Question）型例題，簡稱Q型例題；一類是通過建立數(shù)學(xué)模型完成解答的例題，稱之為問題解決（Problem）型例題，簡稱P型例題．

參考已有的研究成果[6-11]，兩類例題從時間序列看，Q型例題一般是學(xué)生剛剛習(xí)得新知后需要解決的例題，先于P型例題出現(xiàn)；從知識點數(shù)量看，Q型例題是單一知識點的直接陳述，P型例題是一定背景下多種知識融合的綜合性試題；從要求水平看，Q型例題：模仿、簡單運(yùn)用，P型例題：綜合運(yùn)用、探究；從難度看，P型例題的難度高于Q型例題．因此，從5個維度：背景、數(shù)學(xué)認(rèn)知、運(yùn)算、推理和知識綜合分別給出Q型、P型例題的內(nèi)涵特征，見表1．

表1 Q型和P型例題的內(nèi)涵特征

1.4 兩類例題的功能

Q型例題是直接利用規(guī)則并按照一定的程序去完成解答的例題，其功能是把剛剛習(xí)得的陳述性知識轉(zhuǎn)換為程序性知識，即以產(chǎn)生式表征，并發(fā)展為自動化的技能．

P型例題是通過建立數(shù)學(xué)模型完成解答的例題，其核心功能是獲得問題解決的策略性知識，包括弄清問題的基本策略和解決問題的基本方法，形成執(zhí)行復(fù)雜認(rèn)知操作的產(chǎn)生式系統(tǒng)．同時，在求解過程中，促使學(xué)生多途徑地理解知識，豐富知識節(jié)點處的聯(lián)系性（這種聯(lián)系性是方法產(chǎn)生的源泉），進(jìn)而發(fā)展思維品質(zhì)．

2 例題學(xué)習(xí)的相關(guān)理論基礎(chǔ)

2.1 產(chǎn)生式遷移理論

產(chǎn)生式最早由Post提出，逐步發(fā)展成為一種以操作為中心的知識表征法，被描述為“條件—動作”對．如果行為產(chǎn)生的條件得到滿足，那么執(zhí)行相應(yīng)的動作，簡稱C—A規(guī)則[12]．產(chǎn)生式也是表征程序性知識的最小單位．之后，Newell和Simon把產(chǎn)生式描述為人類解決問題中的信息加工過程的形式化語言，其基本假設(shè)是：人類解決問題的知識可以表示為一系列產(chǎn)生式規(guī)則，人或計算機(jī)只要能獲得這些產(chǎn)生式規(guī)則，就能解決相應(yīng)的問題[12]．隨后，Anderson針對認(rèn)知技能的遷移提出產(chǎn)生式遷移理論，其基本思想是：先后兩項技能學(xué)習(xí)產(chǎn)生遷移的原因是兩項技能之間產(chǎn)生式的重疊，重疊越多，遷移量越大[5]．信息加工心理學(xué)用產(chǎn)生式和產(chǎn)生式系統(tǒng)表征人的技能，技能間的遷移由共有的產(chǎn)生式數(shù)量決定[5]．綜上，產(chǎn)生式是一種規(guī)則，可以用形式化語言表征；知識可以以產(chǎn)生式表征，一旦獲得這些產(chǎn)生式就可以解決相應(yīng)問題；形成一定數(shù)量且重疊的產(chǎn)生式越多是遷移學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．

如果準(zhǔn)備執(zhí)行一項復(fù)雜的認(rèn)知操作，但對其中部分技能尚未把握或未達(dá)到自動化的程度，那么要順利地完成整個操作顯然是不可能的[5]．比如，不具備有理數(shù)運(yùn)算技能，就不能解方程．因此，形成正確的產(chǎn)生式是執(zhí)行復(fù)雜認(rèn)知操作的基礎(chǔ)，產(chǎn)生式的自動化程度是順利完成復(fù)雜認(rèn)知操作的基礎(chǔ)．同時，在執(zhí)行復(fù)雜的認(rèn)知操作過程中，促使各種產(chǎn)生式聯(lián)結(jié)與組合，形成一組產(chǎn)生式，這組產(chǎn)生式包含在當(dāng)前復(fù)雜認(rèn)知操作中如何行動以達(dá)到目標(biāo)，便形成了一個產(chǎn)生式系統(tǒng)．

2.2 變式理論

問題變式的兩類結(jié)構(gòu)：水平變式和垂直變式．水平變式是指學(xué)生能區(qū)分問題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，不帶來認(rèn)知負(fù)荷的變化．垂直變式是指學(xué)生不能區(qū)分問題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，帶來認(rèn)知負(fù)荷的變化．按問題結(jié)構(gòu)的變化分成不同的層次（垂直變式），在同一結(jié)構(gòu)層次中，可以分成問題表面形式特征不同的變化（水平變式）[13]．變式可分為等價變式和不等價變式．等價變式指變式前后的問題本質(zhì)是相同的，即變化只發(fā)生在表面的形式部分[5]．

參考上述研究成果，例題變式是指圍繞核心軸（數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)結(jié)構(gòu)）不變，變更例題表面的形式特征或結(jié)構(gòu)特征．因此，例題變式分為3個層次．第一層次，平行變式：表面形式重復(fù)，學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷不變．第二層次，垂直變式：表面結(jié)構(gòu)變化，學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷增加．第三層次，螺旋變式：圍繞核心軸，平行變式和垂直變式不斷復(fù)合，學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷加重．3個層次的變式是層層遞進(jìn)的過程，平行變式是基礎(chǔ)，垂直變式是必然發(fā)展，二者互相依存，互相補(bǔ)充．螺旋變式是最高層，突出對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的意義建構(gòu)．

3 Q型例題的教學(xué)建議

從學(xué)習(xí)遷移的視角看，Q型例題的教學(xué)需要經(jīng)歷3個階段．第一階段，形成產(chǎn)生式．直接利用規(guī)則，按照一定的程序，慢慢地將陳述性知識指導(dǎo)下的一系列操作轉(zhuǎn)化為漸漸失去陳述性意識特征的一系列操作，形成以產(chǎn)生式表征的程序性知識．第二階段，產(chǎn)生式自動化．通過平行變式和垂直變式，共有的產(chǎn)生式得到很好的協(xié)調(diào)和精練，協(xié)調(diào)將導(dǎo)致意識控制特征的逐步消失，直至達(dá)到自動化水平．第三階段，形成產(chǎn)生式系統(tǒng)．通過螺旋變式，促使各種產(chǎn)生式聯(lián)結(jié)與組合，形成一組產(chǎn)生式，構(gòu)建新的產(chǎn)生式規(guī)則，形成一個產(chǎn)生式系統(tǒng)．下面結(jié)合案例1具體說明．

案例1：已知角的終邊經(jīng)過點(2,-3)，求的正弦、余弦、正切值[14]．

3.1 形成產(chǎn)生式

聯(lián)系三角函數(shù)的定義，從定義的陳述性表征形式中聯(lián)結(jié)到關(guān)鍵字詞（坐標(biāo)、距離和比值），執(zhí)行系列操作：寫出點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)、計算距離、計算比值．當(dāng)3個動作都被成功地執(zhí)行后，相互間的聯(lián)系將會得到加強(qiáng)，各個動作的聯(lián)系也會更多地依靠前后動作的匹配，進(jìn)而形成無意識的動作技能，即形成了以產(chǎn)生式表征的程序性知識．此時，陳述性意識特征將逐漸淡化．

另一方面，教師規(guī)范板書Q型例題的解答過程，其意義在于：①可視化“動作”的一步步分解演示，有利于形成正確的產(chǎn)生式；②規(guī)范表達(dá)的示范，是學(xué)生模仿的榜樣；③為P型例題的規(guī)范表達(dá)奠定基礎(chǔ)．解答過程規(guī)范表達(dá)的基本要求：①要有開始和結(jié)束的標(biāo)記．如：解或證明，給出結(jié)論．②推理過程具有邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，不僅符合學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知序，也要順應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯序．③書寫過程具有簡約性．形式上按照三段論書寫（大前提常常省略不寫），盡量運(yùn)用數(shù)學(xué)符號語言表征；格式上參照古詩詞，盡量使用短句子表述，標(biāo)點符號準(zhǔn)確使用．

3.2 產(chǎn)生式自動化

平行變式：改變點坐標(biāo)（靜態(tài)的），比如(-3, 4)，(0， 5)，等等．此時，變式問題表面形式重復(fù)，認(rèn)知負(fù)荷基本保持不變．通過對表面形式特征的重復(fù)，經(jīng)驗得到不斷重復(fù)．重復(fù)的意義在于始終保持了概念本質(zhì)關(guān)系特征（角終邊上一點的坐標(biāo)確定，三角函數(shù)值隨之確定）不變，至于“點坐標(biāo)的改變”會慢慢淡化，核心是突出了不變特征．第二次的經(jīng)歷豐富并加深了第一次經(jīng)歷的各個方面，產(chǎn)生式得到重復(fù)．

垂直變式：讓點運(yùn)動（動態(tài)的），比如“已知角的終邊落在直線＝3上，求的正弦、余弦、正切值”[14]．變式問題表面結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，融入策略性知識，學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷隨之增加．其表面形式變化：角的終邊落在確定直線上，點“消失”了！形式變化背后蘊(yùn)含深層特征：恰恰不是點消失，而是任意多個共線點，只要選取其中一個點作為代表；另一方面，正是由于點任意多，需要分類求解，滲透策略性知識．

通過兩次變式，學(xué)生逐步擺脫陳述性知識的提示的依賴，一旦技能具有程序化的特征時，學(xué)生就不再需要停頓下來考慮下一步做什么，相反，對下一個執(zhí)行動作的有意識的搜索將被自動的匹配過程所取代，即產(chǎn)生式達(dá)到自動化水平．

3.3 形成產(chǎn)生式系統(tǒng)

圖1 Q型例題的教學(xué)結(jié)構(gòu)

4 P型例題的教學(xué)建議

P型例題具有科學(xué)的或生活的背景知識，通過數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，意在揭示數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，即對問題產(chǎn)生的探究．同時，通過問題解決，促進(jìn)學(xué)生形成基于該數(shù)學(xué)模型的一個產(chǎn)生式系統(tǒng)．再通過例題變式，促使產(chǎn)生式系統(tǒng)得到進(jìn)一步協(xié)調(diào)和發(fā)展．參考波利亞的怎樣解題表和有關(guān)研究成果[15-19]，P型例題的教學(xué)需要經(jīng)歷4個階段：①弄清問題；②分析問題；③回顧反思；④變式學(xué)習(xí)．下面結(jié)合案例2具體說明．

案例2[14]：如圖2，一半徑為3 m的水輪，水輪圓心距離水面2 m，已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，如果當(dāng)水輪上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點0）開始計算時間．

（1）將點距離水面高度(m)表示為時間(s)的函數(shù)；

（2）點第一次到達(dá)最高點大約要多長時間？

4.1 弄清問題

對例題的信息進(jìn)行理解，將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，能用多種方式表征問題的初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)，形成問題空間．教學(xué)中，可以分3個步驟：第一步，讀一讀．讀題形式多樣：默讀、朗讀、領(lǐng)讀、齊讀，等等，必要時可以多讀幾遍，正如“書讀百遍其義自見”；要給學(xué)生一定的讀題時間和空間，初次讀題之前盡量不要啟發(fā)、暗示和干擾．第二步，說一說．讀到了什么？想到了什么？關(guān)鍵信息是什么？等等，引起學(xué)生思考、聯(lián)想．在學(xué)生初步理解題意時，要給學(xué)生一定的交流對話的時間和空間．特別地，生生對話是基于學(xué)生話語體系的思維碰撞，互相啟發(fā)，必要時師生對話，啟發(fā)點撥．第三步，寫一寫．關(guān)鍵信息的不同表征，如文字語言描述、畫圖標(biāo)數(shù)據(jù)的圖形語言表征、引入變量的數(shù)學(xué)符號表征，必要時算一算．

圖2 水輪運(yùn)動

4.2 分析問題

分析例題的數(shù)量結(jié)構(gòu)和情境結(jié)構(gòu)，對外部模式進(jìn)行識別，同時將外部信息與內(nèi)部已有模式作比較，即模式識別過程．接著，調(diào)動與外部信息相匹配的模式，即模式的遷移．分析外部信息，識別出圓周上一點的運(yùn)動，聯(lián)想到圓周運(yùn)動是最簡單的周期運(yùn)動，而三角函數(shù)是刻畫周期運(yùn)動的基本模型．于是，匹配到三角函數(shù)模型．再根據(jù)三角函數(shù)的解析定義，自然需要引入平面直角坐標(biāo)系．至于如何建立平面直角坐標(biāo)系，學(xué)生是有經(jīng)驗的，教學(xué)中再根據(jù)學(xué)生生成的不同坐標(biāo)系進(jìn)行比較、分析并加以選擇．最后，教師板書，規(guī)范表達(dá)（同上）．

4.3 回顧反思

回顧解題過程，檢驗解題過程的合理性和結(jié)果的準(zhǔn)確性．波利亞的敘述是“檢查每一步，你能清晰地看到每一步的正確性嗎？你能證明每一步的正確性嗎？”事實上，有了詳細(xì)、明確的解題計劃，解題的過程就是按計劃落實，而落實的關(guān)鍵是保證正確．

反思解題過程，提煉解題步驟，總結(jié)解題方法，追求一題多解，發(fā)現(xiàn)知識能力存在的缺陷．

4.4 變式學(xué)習(xí)

第一層次：平行變式．正如蘇教版教材必修4第一章章首語所說：周期現(xiàn)象一般與周期運(yùn)動有關(guān)，一個簡單又基本的例子便是“圓周上一點的運(yùn)動”．

例如[14]：如圖3，摩天輪的半徑為40 m，點距地面的高度為50 m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每3 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點的起始位置在最低點處．

（1）試確定在時刻(min)時點距離地面的高度；

（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點距離地面超過70 m？

圖3 摩天輪運(yùn)動

無論水輪運(yùn)動，還是摩天輪運(yùn)動，都在重復(fù)同一個運(yùn)動：圓周上一點的運(yùn)動．重復(fù)的意義在于：學(xué)生通過對表面形式特征的重復(fù)，加深并保持了深層關(guān)系特征（圓周運(yùn)動是簡單且樸素的周期運(yùn)動，而三角函數(shù)是刻畫周期運(yùn)動的基本數(shù)學(xué)模型）．

另一方面，在問題解決過程中，基于周期模型的產(chǎn)生式系統(tǒng)中各種自動化的產(chǎn)生式得到重復(fù)，如：坐標(biāo)系的選擇與建立，目標(biāo)函數(shù)的建立，實際問題的數(shù)學(xué)表征過程（如：在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點距離地面超過70 m→在一個周期內(nèi)使得函數(shù)值大于70時自變量的取值范圍→()＞70），不等式的求解等．重復(fù)的意義在于：各種產(chǎn)生式的自動化程度得到加強(qiáng)，促使基于周期模型的產(chǎn)生式系統(tǒng)得到精深加工．

第二層次：垂直變式．從周期背景視角，例如[14]：海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋．下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深．

時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m 0:005.0 9:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0

（1）選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點時的水深的近似數(shù)值；

（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4 m，該船何時能進(jìn)入港口？

（3）若船的吃水深度為4 m，安全間隙為1.5 m，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3 m的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

從水輪運(yùn)動→摩天輪運(yùn)動→潮汐運(yùn)動，變式問題表面形式特征發(fā)生變化，圓周運(yùn)動“不見”了！取而代之的是一張充滿數(shù)據(jù)的表格，學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷隨之增加．這些表面變化背后不變的深層關(guān)系特征是：隨著時間的變化都有唯一的水深與之對應(yīng)，具備函數(shù)關(guān)系；且自變量每增加12小時函數(shù)值（水深）不變，具有周期特征．再從表格中數(shù)據(jù)的離散性、有限性到選擇周期函數(shù)模型（三角函數(shù)）擬合數(shù)據(jù)．這就需要學(xué)生辨認(rèn)當(dāng)前新的情境中問題的類屬而對原有知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確的激活，多種知識介入．

對于問題（2）、（3），厘清“吃水深度、安全間隙和吃水深度以每小時0.3 m的速度減少”的內(nèi)涵，逐步數(shù)學(xué)化，實現(xiàn)數(shù)學(xué)符號表征；同時，能運(yùn)用函數(shù)觀念統(tǒng)領(lǐng)方程、不等式．正是由于函數(shù)具備多種表現(xiàn)形式（解析式、列表和圖象），從而為多途徑以及尋求最佳途徑解決問題提供可能．另一方面，重疊的產(chǎn)生式系統(tǒng)得到強(qiáng)化，同時新問題的解決促使產(chǎn)生式條件的改造，能解決范圍更大的問題或更有效地解決問題．

第三層次：螺旋變式．從問題解決視角，例如[14]：煙筒彎頭是由兩個圓柱形的煙筒焊在一起做成的，現(xiàn)在要用矩形鐵片做成一個直角煙筒彎頭（如圖4，單位：cm），不考慮焊接處需要，選用的矩形鐵片至少應(yīng)該滿足怎樣的尺寸？請你設(shè)計出一個最合理的裁剪方案．（在矩形鐵片上畫出的裁剪線應(yīng)是什么圖形？）

圖4 煙筒焊接示意圖

學(xué)生面對復(fù)雜的問題情境，運(yùn)用分析的方法，抽絲剝繭，逐步分解．首先，從平面圖形（矩形）到立體圖形（直角煙筒），在圖形的運(yùn)動變化過程中析取變中不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．其次，結(jié)合數(shù)據(jù)考慮到對稱性，只需研究一個立體圖形（“圓柱形”），再將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形（截面圓），引入變量（角），進(jìn)而尋求圓周上一點運(yùn)動變化過程中的不變關(guān)系，得到三角函數(shù)模型．

事實上，螺旋變式以內(nèi)隱的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)為核心，平行變式與垂直變式不斷復(fù)合，如圖5．這個變式問題的解決是一項復(fù)雜的認(rèn)知操作過程，將螺旋變式問題不斷分解為平行變式和垂直變式問題，通過遷移一定數(shù)量共有的、重疊的產(chǎn)生式實現(xiàn)問題解決．同時，在問題解決過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的深層特征（三角函數(shù)概念的結(jié)構(gòu)性理解和證明性理解），并能將本源的理解通過應(yīng)用獲得新的理解．因此，問題解決的過程就是一種學(xué)習(xí)過程，一種創(chuàng)新過程，促進(jìn)學(xué)生建立概念的創(chuàng)新性理解．如圖6是P型例題的教學(xué)結(jié)構(gòu)圖．

圖5 案例2的螺旋變式結(jié)構(gòu)圖

圖6 P型例題的教學(xué)結(jié)構(gòu)圖

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Classification and Teaching Suggestions of Examples of Mathematics Textbooks

LU Ming-ming1, 2

(1. Xuanwu Teaching Research Office, Jiangsu Nanjing 210016, China;2. Nanjing High School Mathematics QU Dong-jian Masters Studio, Jiangsu Nanjing 210016, China)

The examples in mathematics textbooksof basic, typical, gradation, developmental, and systemic, and could be divided Q-type and P-type. The Q-type was an example of direct use of the rules and a certain procedure to complete the solution, and the function of the Q-type was to make students form the automation of skills, and the teaching of Q-type was divided into three stages: the formed production, automated production and the formed production system.The P-type example was an example of solving the problem by establishing a mathematical model, and the function of the P-type example was to acquire the strategic knowledge of problem solving, form a production system that performs complex cognitive operations; The teaching of P-type example could fall into four stages: understanding the problems, analyzing the problems, retrospective reflection and varying the learning.

example classification; example teaching; production; variations

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2017–12–07

江蘇省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)改革重大研究項目——高中數(shù)學(xué)文化教育研究（2015jssjys-14）

陸明明（1980—），男，江蘇宿遷人，中學(xué)高級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

G633

A

1004–9894（2018）02–0054–05

陸明明．?dāng)?shù)學(xué)教科書例題的分類及其教學(xué)建議[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（2）：54-58．