王大鵬，金星，周偉靜，李南雷

(1.航天工程大學(xué) 激光推進(jìn)及其應(yīng)用國家重點實驗室，北京 101416；2.西安衛(wèi)星測控中心，陜西 西安 710043)

0 引言

微小衛(wèi)星具有研制周期短、質(zhì)量小、發(fā)射方式靈活、成本低等優(yōu)點[1]，是未來衛(wèi)星技術(shù)發(fā)展的趨勢之一[2]。滿足微小衛(wèi)星指向與定位精度的推力通常在微牛至毫牛量級[3]，精確測量微小推力是星載推進(jìn)器進(jìn)入工程應(yīng)用的前提[4]。目前，國內(nèi)外較通用的測量方法多是基于力的動力效應(yīng)，將推力轉(zhuǎn)化為推力測量臺架的力學(xué)行為，如振動幅值或轉(zhuǎn)動位移，間接地測量推力[5]，測量精度通常在1～10 μN量級，有的甚至達(dá)到10 nN量級[6]。

在已有的測量結(jié)構(gòu)中，扭擺結(jié)構(gòu)可消除星載推進(jìn)器重力的影響，承重能力強、精度高，是普遍采用的測量系統(tǒng)[7-8]。測量時，推力通過扭擺系統(tǒng)橫梁的穩(wěn)態(tài)位移(轉(zhuǎn)角)與力(或力矩)和位移(轉(zhuǎn)角)的函數(shù)關(guān)系來計算。作為測量系統(tǒng)最關(guān)鍵的直接輸出量，位移的測量誤差直接影響到推力的測量誤差。電容式位移傳感器具有結(jié)構(gòu)簡單、靈敏度高、信噪比大、響應(yīng)快、非接觸等優(yōu)點，同時精度可達(dá)到納米水平，是常用的位移傳感器之一[9]。電容式位移傳感器依據(jù)理想化平板式變極距電容原理設(shè)計，工作時探頭作為一個電極，被測導(dǎo)電對象作為另一個相對電極[10]。測量時由于橫梁的轉(zhuǎn)動，橫梁與探頭之間存在一定的夾角，由此會產(chǎn)生極板不平行位移測量誤差，進(jìn)而導(dǎo)致推力測量誤差。為提高推力測量的精度，需要對極板不平行誤差進(jìn)行分析研究。目前已有的文獻(xiàn)主要研究電容位移傳感器的線性度、重復(fù)性、分辨率等參數(shù)的標(biāo)定方法[11-12]，缺少對極板不平行誤差分析及標(biāo)定方法的相關(guān)研究。

本文針對以上問題，首先基于電容位移傳感器的工作原理，從理論上分析了不同極板間距及夾角下傳感器的輸出特性。然后分析了橫梁轉(zhuǎn)動時極板不平行誤差隨扭轉(zhuǎn)角變化的規(guī)律，確定了標(biāo)定原理。最后進(jìn)行了標(biāo)定實驗，對極板不平行誤差標(biāo)定結(jié)果與推力測量誤差的關(guān)系進(jìn)行了分析。

1 扭擺系統(tǒng)推力測量原理

典型扭擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示[13]。圖1中，橫梁為執(zhí)行部件，通過撓性樞軸(用于提供回復(fù)力)與支撐梁相連。當(dāng)推力作用于橫梁上時，橫梁在水平面由初始平衡位置開始轉(zhuǎn)動，推力轉(zhuǎn)化為橫梁的位移(轉(zhuǎn)角)，隨著位移(轉(zhuǎn)角)的增大，推力與橫梁力逐漸趨于平衡。因此，通過測量穩(wěn)態(tài)位移(轉(zhuǎn)角)，由力(或力矩)與位移(轉(zhuǎn)角)的函數(shù)關(guān)系來計算推力。

扭擺系統(tǒng)是典型的2階質(zhì)量- 彈簧- 阻尼系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時推力與樞軸回復(fù)力實現(xiàn)力矩平衡，穩(wěn)態(tài)扭轉(zhuǎn)角均值α與平均推力F呈如下線性關(guān)系[5,14]：

(1)

式中：k為樞軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；l為推力的作用力臂。由于α的大小通常為微弧度至毫弧度量級，實際中通常以穩(wěn)態(tài)線位移ΔD與位移測量臂長L的比值ΔD/L來間接計算α(由此產(chǎn)生的相對誤差在10-13～10-7量級，大小可忽略不計)：

(2)

式中：ΔD=DⅡ-DⅠ，DⅠ、DⅡ分別為傳感器在橫梁初始平衡位置Ⅰ、穩(wěn)態(tài)位置Ⅱ的輸出值。由此可見，位移的測量誤差大小直接影響推力的測量誤差大小。

2 極板不平行誤差產(chǎn)生及特性分析

測量位移時，傳感器探頭作為一個電極，橫梁作為另一個電極。橫梁在推力作用下產(chǎn)生角位移，引起傳感器極板間距及水平夾角的變化，進(jìn)而產(chǎn)生極板不平行誤差。下面具體分析極板不平行誤差的產(chǎn)生過程。

2.1 極板不平行誤差產(chǎn)生

假設(shè)初始時刻寬為w的扭擺橫梁在平衡位置Ⅰ與傳感器探頭平行，如圖2所示，在推力作用下橫梁轉(zhuǎn)動到穩(wěn)態(tài)位置Ⅱ，此時橫梁與傳感器中軸線的交點c轉(zhuǎn)動到m點，規(guī)定橫梁逆時針轉(zhuǎn)角為正方向，則圖中α>0°.

(3)

2.2 極板不平行誤差特性分析

傳感器探頭中的電場屏蔽環(huán)電極保證了測量電場具有較高的均勻穩(wěn)定性，計算時可忽略邊緣效應(yīng)的影響[11]。下面在分析電容位移傳感器工作原理的基礎(chǔ)上計算極板不平行誤差的大小。

如圖3所示，傳感器探頭的有效半徑為R，軸向中心與目標(biāo)的距離為d. 假設(shè)極板間電介質(zhì)的介電常數(shù)為ε0，S為有效面積。

首先，當(dāng)探頭與目標(biāo)平行(見圖3(a))時，極板間電容值Cd(0)為

(4)

在電容上施加一個頻率為f的交流電壓，通過穩(wěn)壓電路保持電流I恒定，電容上的電壓U與d呈線性關(guān)系：

(5)

式中：XC為電容容抗。測量得到U后，通過控制電路給U乘以一定的比例η，即可輸出數(shù)字形式位移值D(0)=d：

(6)

(6)式中，ηI/(2πf)為固定值，因此傳感器輸出值D(0)與電容值Cd(0)為一一對應(yīng)關(guān)系。

實際使用中，當(dāng)測量目標(biāo)與探頭相對夾角α≠0°時，如圖3(b)所示，此時極板間電容值Cd(α)可基于(4)式沿探頭水平方向進(jìn)行積分并作泰勒級數(shù)展開，省去高階項求得：

(7)

令k(d,α)=1+R2tan2α/(4d2)，(7)式可簡化表示為

Cd(α)=k(d,α)Cd(0).

(8)

(8)式中，k(d,α)>1，則Cd(α)>Cd(0)，結(jié)合(6)式可得D(α)

(9)

(9)式中，由于k(d,α)>1且為偶函數(shù)，則δ(d,α)<0且為偶函數(shù)，表明傳感器參數(shù)一定時，α引起的測量相對誤差大小由d及α決定，且相對誤差大小與α方向無關(guān)。

若以圖3(b)中的α方向為正方向，當(dāng)R=3.5 mm時，求得不同d下δ(d,α)隨α(計算步長為1′)的變化規(guī)律如圖4所示。

由圖4可見，當(dāng)d不變時，δ(d,α)隨|α|值的增大而逐步減小，且d越小，δ(d,α)減小的速度越快。表明極板間距越小，極板不平行誤差對極板夾角變化越敏感。

3 極板不平行誤差標(biāo)定方法

標(biāo)定前，首先根據(jù)標(biāo)定要求確定待標(biāo)定量。然后根據(jù)待標(biāo)定量確定標(biāo)定原理，設(shè)計標(biāo)定實驗裝置。

3.1 待標(biāo)定量

(10)

式中：w/2(1/cosα-1)為寬度余弦誤差。綜合(9)式和(10)式，DII可表示為

(11)

(12)

3.2 標(biāo)定原理

(13)

(14)

(15)

即當(dāng)L=0 mm時，保持極板間距不變，傳感器測量值的減小量與旋轉(zhuǎn)角方向無關(guān)，減小量的大小為寬度余弦誤差與極板不平行誤差之和；當(dāng)L≠0 mm時，ΔD不是α的偶函數(shù)。

基于以上特性，通過ΔD關(guān)于α的對稱性可調(diào)節(jié)L到零位置，從而避免了L難以精確測量的問題，同時還可以據(jù)此將極板調(diào)節(jié)到平行狀態(tài)，解決極板的初始平行問題。

3.3 實驗裝置及實驗步驟

設(shè)計的標(biāo)定實驗裝置如圖6所示，整個標(biāo)定實驗在光學(xué)平臺上進(jìn)行。該裝置的原理為：通過調(diào)節(jié)模塊改變測量目標(biāo)與傳感器探頭之間的相對位置后，傳感器探頭與測量目標(biāo)之間的電容值便發(fā)生變化。電容信號先經(jīng)過前置放大器放大，再經(jīng)過控制器處理形成數(shù)字位移信號輸入計算機中，計算機接收、顯示并存儲位移數(shù)據(jù)。實驗中計算機置于光學(xué)平臺外，以減小操作計算機引入的干擾噪聲。

調(diào)節(jié)模塊由光學(xué)調(diào)整元件組成，直線位移臺(分辨力10 μm)用于極板間距及位移測量臂長的調(diào)節(jié)，旋轉(zhuǎn)位移臺(分辨力2′)用于極板夾角的調(diào)節(jié)，傾斜位移臺(分辨力2′)用于初始俯仰角歸零調(diào)節(jié)。測量目標(biāo)(鋁塊，寬度w=20 mm)與探頭通過光學(xué)連桿固定在位移臺上。待標(biāo)定傳感器量程Dr=1 mm，動態(tài)分辨力30 nm，極板半徑RS=5 mm(包括電場屏蔽環(huán))，有效測量半徑R=3.5 mm.

4 標(biāo)定實驗結(jié)果及分析

由于α的調(diào)節(jié)步長越小，得到(α,D(α))數(shù)據(jù)點越多，標(biāo)定精度越高，但調(diào)節(jié)步長過小，α調(diào)節(jié)精度受限且調(diào)節(jié)時間較長，綜合考慮標(biāo)定精度及α調(diào)節(jié)精度后，本文選擇0.5°為調(diào)節(jié)步長。

4.1 實驗結(jié)果

細(xì)調(diào)L，最終得到如圖9所示具有對稱性的傳感器輸出值，圖中|D(α)-D(-α)|≤0.24 μm，可見D(α)=D(-α)，表明此時完成了L=0 mm的調(diào)節(jié)。

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表時傳感器極板不平行相對誤差標(biāo)定值與理論值比較Tab.1 Comparison of theoretical and calibrated values of plate non-parallelism error for

表2 不同下極板不平行誤差標(biāo)定值與理論值的相對偏差Tab.2 Relative deviation of theoretical and calibrated values of plate non-parallelism error for different

標(biāo)定得到η(d,α)后，即可進(jìn)行極板不平行誤差分析。

4.2 極板不平行誤差分析

(16)

根據(jù)標(biāo)定結(jié)果η(d,α)=(1±17.4%)δ(d,α)對圖11進(jìn)行修正。η(d,α)=(1+17.4%)δ(d,α)時，整個α范圍內(nèi)極板不平行誤差最大，對應(yīng)的γp值分布如圖12所示。由圖11可得，α<0時γp>0，α>0°時γp<0，表明極板不平行誤差的存在使得位移測量值在扭轉(zhuǎn)角為負(fù)向時偏大，而在扭轉(zhuǎn)角為正向時偏小。對比圖11可知：當(dāng)α接近最小值時，γp的最大值增大到3.25%，但未超過4%；當(dāng)α接近最大值時，|γp|值逐步增大到0.04%，與傳感器的線性度誤差達(dá)到相同量級[11]，表明極板不平行誤差是電容位移傳感器響應(yīng)位移測量精度的主要因素之一。

根據(jù)標(biāo)定結(jié)果得到極板不平行誤差與扭轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律后，下面進(jìn)一步分析極板不平行誤差對推力測量精度的影響。

4.3 極板不平行誤差對推力測量精度的影響

根據(jù)(2)式，位移測量誤差EΔD對應(yīng)的推力測量誤差EF為

(17)

結(jié)合(2)式，可得極板不平行誤差對應(yīng)的推力測量相對誤差γF為

(18)

(18)式表明，極板不平行相對誤差與其對應(yīng)的推力相對誤差大小相等，減小極板不平行誤差能夠直接提高推力測量精度。根據(jù)圖12的結(jié)果，γp在橫梁接近正向最大轉(zhuǎn)角時最小，因此在測量位移時應(yīng)選擇與圖2相同的位移測量方向，使得橫梁穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)角在遠(yuǎn)離傳感器探頭以減小γp，在該測量方向，|γp|<0.04%，結(jié)合(18)式，對應(yīng)有|γF|<0.04%.

對于標(biāo)定實驗中的傳感器，若推力作用力臂l=300 mm、樞軸剛度系數(shù)k=0.16 N/rad，則由(2)式及圖12中的結(jié)果可得不同|γF|及對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)角α值，如表3所示(計算步長2′)。

表3 不同穩(wěn)態(tài)扭轉(zhuǎn)角下推力值及極板不平行相對誤差Tab.3 Relative errors of thrust and relative non-parallelism at different steady-state torsion angles

表3只是傳感器有效半徑R=3.5 mm時α與|γF|的對應(yīng)關(guān)系，實際中常會根據(jù)測量位移的大小選擇不同R值的傳感器。在扭擺參數(shù)不變時，同樣測量689.8 μN對應(yīng)的0.074°穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)角，不同R值的傳感器得到的|γF|理論值如表4所示。

由表4可知，傳感器R越大，|γF|越大，且|γF|的增大倍數(shù)約為R增大倍數(shù)的2倍，表明在滿足扭轉(zhuǎn)角量程的前提下，應(yīng)盡量選取R較小的傳感器。根據(jù)(18)式可進(jìn)一步推斷出：對于689.8 μN大小的推力，若要推力測量精度達(dá)到微牛以下量級水平，要求|γF|<0.15%，R<7 mm.

表4 不同傳感器有效半徑下推力測量相對誤差對比Tab.4 Comparison of relative error of measured thrust for different active measuring radii

以上分析均基于扭擺測量系統(tǒng)，對于其他測量系統(tǒng)，測量原理基本都是由測量裝置中的彈性元件提供回復(fù)力與推力平衡，推力與彈性元件形變量也是線性關(guān)系，因此(18)式中的γF=γp仍然成立。對于部分由測量元件重力提供回復(fù)力的系統(tǒng)，如吊擺結(jié)構(gòu)，測量原理[15]為

FLF=mgLmsinα，

(19)

式中：F、LF分別為推力及推力力臂；m、g、Lm分別為測量元件質(zhì)量、重力加速度及重力力臂；α為扭轉(zhuǎn)角。由于α取值為10-3rad，sinα/α-1的數(shù)值為10-7量級，可認(rèn)為sinα=α，進(jìn)而有FLF=mgLmα，同樣有γF=γp. 綜上所述，本文關(guān)于基于扭擺系統(tǒng)的分析結(jié)果也適用于其他結(jié)構(gòu)測量。

5 結(jié)論

1)極板不平行誤差與極板夾角及極板的間距大小有關(guān)，夾角值越大，間距越小，誤差越大。極板不平行誤差實際值與理論值的相對偏差與極板間距及極板傾角無關(guān)。

2)當(dāng)橫梁轉(zhuǎn)動到接近傳感器最大角度時，極板不平行誤差顯著增大。在遠(yuǎn)離傳感器的最大角度時，極板不平行的相對誤差逐步增大，數(shù)值上比遠(yuǎn)離傳感器最大角度位置的相對誤差小2個數(shù)量級。因此測量時應(yīng)使傳感器與橫梁的穩(wěn)態(tài)位置位于初始位置的對稱位置。

3)極板不平行相對誤差與其對應(yīng)的推力相對誤差大小相等。推力相對誤差的增大倍數(shù)是有效極板面積增大倍數(shù)的2倍。因此，在滿足量程的前提下，應(yīng)選擇有效極板面積較小的傳感器。

本文的研究結(jié)果為測量結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計、傳感器參數(shù)及位移測量位置的選擇進(jìn)而提高推力測量精度提供了一定的依據(jù)。提高標(biāo)定精度并采用擬合等方法處理標(biāo)定結(jié)果，是下一步需要改進(jìn)的地方。

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