徐曉梅

沒(méi)有核心素養(yǎng)作為導(dǎo)向的課堂是沒(méi)有靈魂的課堂，那么在課堂中如何更好地滲透學(xué)科素養(yǎng)進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生潛在的能力呢？有效的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)必須定位于“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的增強(qiáng)、思維品質(zhì)的提高、學(xué)習(xí)策略運(yùn)用水平的提升，而不僅僅是知識(shí)的傳遞；教學(xué)過(guò)程中還要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，打破思維的封閉性，可以借助創(chuàng)設(shè)情境、變式訓(xùn)練等活動(dòng)喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)動(dòng)力。本節(jié)課是基于“自覺(jué)數(shù)學(xué)教育思想”的教學(xué)，“自覺(jué)數(shù)學(xué)教育思想”獲2017年江蘇省教學(xué)成果一等獎(jiǎng)，重在關(guān)注主導(dǎo)自覺(jué)、主體自覺(jué)和支持自覺(jué)。

一、 創(chuàng)設(shè)有效情景，奠基知識(shí)回顧

俄國(guó)教育學(xué)家烏申斯基說(shuō)：“沒(méi)有絲毫興趣的強(qiáng)制學(xué)習(xí)，將會(huì)扼殺學(xué)生探求真理的欲望?！迸d趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要?jiǎng)恿Α?chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，能激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲，喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知，從而引發(fā)思維活動(dòng)。

復(fù)習(xí)引入環(huán)節(jié)教學(xué)片斷：

圖中兩條小路互相垂直，教師提問(wèn)：（1） 小明帶著他的小狗來(lái)到郊外點(diǎn)A處時(shí)，不小心松了牽狗的繩子，你認(rèn)為小狗會(huì)沿著小路跑向長(zhǎng)椅嗎？（2） 小明會(huì)怎樣走呢？（3） 若假設(shè)小狗行走的路線(xiàn)是直的，則為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？（4） 口答這個(gè)問(wèn)題：小明從點(diǎn)A處走到長(zhǎng)椅要比小狗多走_(dá)___米？（5） 在這道題目中，用到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？滲透了哪些數(shù)學(xué)思想呢？

學(xué)生在進(jìn)行新知學(xué)習(xí)時(shí)，需要他們?cè)械闹R(shí)和心智發(fā)展水平對(duì)新知學(xué)習(xí)的適合性。這里創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，尋找與本節(jié)課有關(guān)聯(lián)的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，建立上下位知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)行同化和順應(yīng)新知。只有引發(fā)學(xué)生深度思考，學(xué)生才會(huì)產(chǎn)生對(duì)新知的疑問(wèn)，才會(huì)有自己的想法、思維碰撞的火花、高層次對(duì)話(huà)的基礎(chǔ)和智慧生成的基礎(chǔ)。

“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞”。創(chuàng)設(shè)有效情境并將復(fù)習(xí)舊知滲透其中是一種教學(xué)藝術(shù)，合理安排引入環(huán)節(jié)可以在最短時(shí)間內(nèi)吸引學(xué)生注意力，有利于活躍課堂氛圍，提高課堂教學(xué)有效性。

二、 注重生成過(guò)程，培養(yǎng)思維能力

數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出了“四基四能”，這些能力目標(biāo)是依靠基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、活動(dòng)過(guò)程的感悟提升思維品質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)的?；顒?dòng)設(shè)計(jì)要有梯度，注重知識(shí)的生成過(guò)程，便于引發(fā)學(xué)生積極思考，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的合理構(gòu)建。另外，教學(xué)設(shè)計(jì)在揭露數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程中要讓學(xué)生有所感、有所得，能學(xué)以致用。

“自覺(jué)體悟”環(huán)節(jié)教學(xué)片段：

1. 體悟感知，同化新知。

例1. 圖1是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？

（1） 最優(yōu)化思想體驗(yàn)：①拿出折紙臺(tái)階，每人設(shè)計(jì)出一條最短路徑；②比較組內(nèi)最短路徑，找出比較最短的方法；③展示用數(shù)學(xué)知識(shí)比較最短路徑的過(guò)程；④立體圖形中的最短路徑就是展開(kāi)圖中的哪一部分呢？（直接用幾何畫(huà)板反復(fù)操作：如圖2展開(kāi)臺(tái)階表面，如圖3還原臺(tái)階）⑤如何畫(huà)立體圖形中的最短路徑？

（2） “臺(tái)階體驗(yàn)”求最短距離：①給出臺(tái)階的長(zhǎng)、寬、高，如何求臺(tái)階上從A到B的最短路程呢？②能總結(jié)解決此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟嗎？

本道題通過(guò)自主探究、小組交流、全班“比較性”展示，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維、比較性思維等，在“做中學(xué)”和“協(xié)作學(xué)習(xí)”中讓學(xué)生深度感知立體圖形中求最短路程的“核心思路”，為學(xué)生舉一反三奠定基礎(chǔ)； 通過(guò)“觀(guān)察猜想—學(xué)生操作—數(shù)學(xué)抽象—演繹推理—數(shù)學(xué)直觀(guān)—數(shù)學(xué)本質(zhì)—數(shù)學(xué)建模—數(shù)學(xué)計(jì)算—學(xué)生體悟”等活動(dòng)的體驗(yàn)提升元認(rèn)知水平，這對(duì)學(xué)生思維的敏銳性、深刻性和批判性的培養(yǎng)很有幫助，豐富了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了思維品質(zhì)。

2. 經(jīng)驗(yàn)遷移，講練結(jié)合。

例2. 如圖4，有一個(gè)無(wú)蓋圓柱，底圓周長(zhǎng)6 cm，高4 cm，一只螞蟻沿側(cè)面爬行，要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則最短路程為多少？

（1） 圓柱體最優(yōu)化思想體驗(yàn)：①借助學(xué)具并利用幾何畫(huà)板直觀(guān)感受B的位置（展開(kāi)圓柱體的側(cè)面，如圖5；還原立體圖形，如圖4；再展開(kāi)，如圖6），啟發(fā)學(xué)生點(diǎn)B1不是點(diǎn)B的正確位置；②簡(jiǎn)述解題思路求最短距離；③體驗(yàn)在立體圖形中畫(huà)出最短路徑；④比較圖7、圖8、圖9中哪條路徑最短。（用幾何畫(huà)板展開(kāi)，再合并為圖10。）

（2） 數(shù)學(xué)本質(zhì)深層次探究：①如圖9，最短路徑是直線(xiàn)段嗎？②你能直接求出這條曲線(xiàn)的長(zhǎng)度嗎？③通過(guò)對(duì)臺(tái)階和圓柱體中最短路程問(wèn)題的研究，你認(rèn)為將立體圖形展開(kāi)的目的是什么？

我們知道數(shù)學(xué)教學(xué)并不能只關(guān)注活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單積累，應(yīng)更加重視如何幫助學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)的積累中實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的思維發(fā)展。這里選臺(tái)階作為第一題有兩個(gè)目的：1. 臺(tái)階更貼近生活； 2. 臺(tái)階的展開(kāi)更易操作，便于揭露出數(shù)學(xué)本質(zhì)。這樣做的目的是為了將一切核心學(xué)習(xí)內(nèi)容交還給學(xué)生，提升學(xué)生關(guān)鍵能力，改善學(xué)生思維品質(zhì)。

袁振國(guó)先生說(shuō)：“知識(shí)是啟發(fā)智慧的手段，過(guò)程是結(jié)果的動(dòng)態(tài)延伸。教學(xué)中能夠把結(jié)果變成過(guò)程，才能把知識(shí)變成智慧?！蔽覀円ㄟ^(guò)有效的、過(guò)程性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生自覺(jué)體悟，促進(jìn)學(xué)生的自我總結(jié)、自覺(jué)運(yùn)用，不斷豐富和提升活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、 變式深化本質(zhì)， 培育核心素養(yǎng)

變式訓(xùn)練作為知識(shí)載體，可以打破學(xué)生的思維定式和認(rèn)識(shí)上的封閉性，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維。因此，我們要進(jìn)行有機(jī)的、靈活的變式教學(xué)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)會(huì)探究、分析、類(lèi)比、綜合和經(jīng)驗(yàn)遷移，將學(xué)生的發(fā)展作為數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)變能力、創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)向能力型、智力型、開(kāi)放型轉(zhuǎn)化。

“變式引領(lǐng)”環(huán)節(jié)教學(xué)片段：

變式1 如圖11，有一個(gè)圓柱，底圓周長(zhǎng)為12 cm，高AB為5 cm，一只螞蟻沿側(cè)面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，B點(diǎn)在A(yíng)點(diǎn)的正上方，螞蟻爬行的最短路程是多少？

學(xué)生利用學(xué)具講解。（幾何畫(huà)板同步演示略。）

師：比較變式1和例2，你發(fā)現(xiàn)有什么本質(zhì)區(qū)別？

生：展開(kāi)圖中點(diǎn)B的位置不同。

變式2 如圖12，無(wú)蓋圓柱體底面圓周長(zhǎng)為18 cm，高為12 cm，當(dāng)螞蟻在外壁爬到距離上底3 cm的點(diǎn)A時(shí)，瓶子內(nèi)壁距離下底3 cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，螞蟻從A到達(dá)點(diǎn)B處吃蜂蜜的最短路程是多少？

（1） 轉(zhuǎn)化思想體驗(yàn)活動(dòng)：

①螞蟻怎樣才能從外壁的點(diǎn)A爬向內(nèi)壁的點(diǎn)B呢？（學(xué)生歸納：先要經(jīng)過(guò)上底面圓周上某點(diǎn)，才能從外壁爬到內(nèi)壁。）

②手中的半透明折紙對(duì)折后，將一面當(dāng)成外壁，將另一面當(dāng)成內(nèi)壁，標(biāo)記出A、B兩點(diǎn)的相對(duì)位置，設(shè)計(jì)一條從A到B的路徑，如圖13，還原立體圖形后就是圖14。

③比較組內(nèi)最短路徑，（如圖13、圖15、圖16。）找出比較最短路徑的方法。

④發(fā)現(xiàn)螞蟻的爬行路徑都是線(xiàn)段AP與線(xiàn)段BP的和，那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了什么？（學(xué)生總結(jié)：?jiǎn)栴}化為當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段a的什么位置時(shí)，AP+BP和最短。并在幾何畫(huà)板上演示點(diǎn)P的動(dòng)態(tài)過(guò)程。）

⑤畫(huà)出點(diǎn)P的位置使PA+PB和最短。（學(xué)生的完成圖不一樣，如圖17、圖18、圖19。）

⑥小組合作探究上述三種找點(diǎn)P的方法，哪種才能使PA+PB和最短？

⑦找點(diǎn)P的過(guò)程實(shí)際上用到了“將軍飲馬問(wèn)題模型”，將軍飲馬問(wèn)題模型的本質(zhì)做法是什么？（直線(xiàn)上找點(diǎn)P使AP+PB最小，講解過(guò)程略。）

⑧做出找點(diǎn)P的正確圖形，并求出螞蟻爬行最短距離。（展示學(xué)生作品，如圖20、圖21。）

（2） 揭露數(shù)學(xué)本質(zhì)體驗(yàn)：

①通過(guò)對(duì)本道題的探究，你有什么感悟？

②“將軍飲馬問(wèn)題”核心手段是通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換實(shí)現(xiàn)將直線(xiàn)同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)異側(cè)兩點(diǎn)；本題中螞蟻在異面兩點(diǎn)間爬行問(wèn)題可否也有類(lèi)似轉(zhuǎn)化呢？（借助學(xué)生的學(xué)具，直接將折紙展開(kāi)，幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示如圖22、圖23。）

變式2的綜合性很強(qiáng)，教學(xué)設(shè)計(jì)意在喚醒學(xué)生用已有的知識(shí)、方法、能力和心智水平去同化或順應(yīng)新知識(shí)。教學(xué)的關(guān)鍵是引領(lǐng)學(xué)生想明白，而不是教師講明白。筆者基于這個(gè)理念加了一個(gè)“先行組織者”——設(shè)計(jì)路徑， 借助幾何畫(huà)板和學(xué)具豐富了學(xué)生頭腦中的“數(shù)學(xué)世界圖景”， 加強(qiáng)直觀(guān)教學(xué)的同時(shí)，也讓學(xué)生看到了問(wèn)題的本質(zhì)，提升了學(xué)生解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。以問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生完成核心學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，這種“兵導(dǎo)兵”的“專(zhuān)業(yè)引領(lǐng)”要?jiǎng)儆诮處煹闹v解，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“嚴(yán)密表達(dá)”能力，也增加了幾何作圖的邏輯性。最后不能讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)停留在“經(jīng)驗(yàn)”層面，而是要讓學(xué)生感悟，從而得到提升。

在教學(xué)中，“關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維”是我們嘗試探究并實(shí)踐的根本目標(biāo)。教學(xué)的一切要以學(xué)生的發(fā)展為本，要關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)情境讓數(shù)學(xué)生活化、現(xiàn)實(shí)生活數(shù)字化，設(shè)計(jì)有效學(xué)習(xí)活動(dòng)不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)要讓學(xué)生在系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中通過(guò)體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)與內(nèi)化等過(guò)程，逐步形成相對(duì)穩(wěn)定的思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維方法和價(jià)值觀(guān)，讓學(xué)生關(guān)注對(duì)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的全方位的體驗(yàn)，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平。通過(guò)一題多變等有效的思維訓(xùn)練讓學(xué)生不僅能見(jiàn)數(shù)學(xué)表象，而且能抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)鄂爾多斯市伊金霍洛旗第四中學(xué)）

【參考文獻(xiàn)】

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