郭新艷

本文運用當(dāng)今金融領(lǐng)域描述條件方差最典型的GARCH族模型及其衍生模型PARCH和EGARCH模型，分別在正態(tài)分布及能刻畫其尖峰厚尾特征的分布（GED分布和t分布）假定下，對道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率的波動性進(jìn)行實證分析，并將結(jié)果做了對比分析，最終選定了在t、GED、正態(tài)分布下的擬合最有效的EGAECH模型進(jìn)行VaR值的計算，采用失敗頻率檢驗法對基于EGARCH-GED、EGARCH-t 、EGARCH-n分布模型的VaR 方法作出評價。

一、研究背景

道瓊斯指數(shù)是在歷史上最先發(fā)明的股票指數(shù)，早在1884年，道瓊斯公司的創(chuàng)辦人查爾斯.亨利.道就開始編制它，它是一種算數(shù)平均數(shù)股價指數(shù)。在金融市場中，股票的價格會出現(xiàn)一定程度的波動，而且顯現(xiàn)出波動集群的特點，即在一段時間內(nèi)波動幅度非常之大，但在一段時間內(nèi)幾乎沒有變化，呈現(xiàn)出明顯的異方差性。因此，精確地度量道瓊斯指數(shù)投資的風(fēng)險、收益對投資者決策具有十分重要的現(xiàn)實意義。

二、實證分析

（一）數(shù)據(jù)來源

通過登錄investing.com網(wǎng)站獲取2008年1月2日到2017年12月15日的道瓊斯指數(shù)每個交易日的收盤價，數(shù)據(jù)單位為美元，共有2580個觀測數(shù)據(jù)。

（二）數(shù)據(jù)處理

道瓊斯指數(shù)的收益率形式。道瓊斯指數(shù)收益率采取自然對數(shù)收益率的形式，即：

rt=lnpt-lnpt-1

其中，pt道瓊斯指數(shù)每日收盤價；pt-1為道瓊斯指數(shù)前一日收盤價。

（三）數(shù)據(jù)基本分析

1.道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率的基本統(tǒng)計特征。利用Eviews7.0可以做出道瓊斯對數(shù)日收益率的對數(shù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗，檢驗結(jié)果見下圖，可以得到樣本期收益率的期望為0.0237%，偏度為0.251671， 峰度為19.96258，JB 檢驗值為30946.11，概率p值為0.000，表明樣本期內(nèi)收益率序列分布在極的的置信水平下異于正態(tài)分布，而且表現(xiàn)出明顯的尖峰和肥尾特征。

2.數(shù)據(jù)的其他特征分析。

（1）道瓊斯指數(shù)對數(shù)收益率的時間序列特征分析。從圖中能夠看出收益率序列存在波動集群效應(yīng)（一次大的變動后往往伴隨著大的變動，而一次小的變動后對應(yīng)小的變動）。

（2）道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率的時間序列的平穩(wěn)性檢驗。

從檢驗結(jié)果來看，道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率在95%的置信水平下是非常平穩(wěn)的。

（3）道瓊斯對數(shù)日收益率序列的自相關(guān)檢驗（Q檢驗）。

對道瓊斯指數(shù)對數(shù)收益率滯后5階進(jìn)行檢驗，從自相關(guān)檢驗結(jié)果來看，道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率有明顯的自相關(guān)。

（4）道瓊斯對數(shù)日收益率序列的異方差檢驗（道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率的平方序列的Q檢驗）。

對道瓊斯對數(shù)日收益率的平方序列就進(jìn)行Q檢驗，即對道瓊斯指數(shù)日對數(shù)收益率進(jìn)行異方差檢驗，發(fā)現(xiàn)道瓊斯對數(shù)收益率序列存在顯著的異方差，而且是存在高階的異方差。

（四）GARCH族模型的建立

該金融時間序列既存在自相關(guān)也存在異方差，由于異方差特征更為明顯，其自相關(guān)可能是由于異方差引起的，故考慮先對異方差進(jìn)行處理。（注：嘗試先對序列建立AR（3）消除自相關(guān)后再對異方差進(jìn)行處理建立GARCH族模型，然而發(fā)現(xiàn)GARCH族模型中AR（3）的參數(shù)檢驗均未通過，參數(shù)均不顯著，故最終選擇直接建立收益方程后建立GARCH族模型）。由Q檢驗可以看出道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率平方項序列存在高階自相關(guān)，為了避免產(chǎn)生更高的移動平均階數(shù)并保證模型的擬合精度，直接開始構(gòu)建低階的GARCH族模型。

（1）基于正態(tài)分布的GARCH族模型的建立。

先對收益率序列建立收益方程，假定殘差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，再對建立GARCH族模型，得到參數(shù)值和顯著性水平如下圖：

從模型估計的參數(shù)結(jié)果中可以看出，在95%的置信水平下，GARCH和EGARCH模型的各個參數(shù)均顯著。再對模型殘差序列做Q自相關(guān)檢驗和殘差平方序列做自相關(guān)Q檢驗，即異方差檢驗，檢驗結(jié)果略去，發(fā)現(xiàn)模型已經(jīng)顯著消除了自相關(guān)和異方差效應(yīng)，模型擬合良好。

GARCH 模型的系數(shù)在1% 顯著性水平上不為零 ，表明存在道瓊斯指數(shù)對數(shù)收益率具有長期記憶性 ，道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率的相應(yīng)系數(shù)β_1為0.821679，小于 1，表示收益率波動率前期波動對本期波動的影響呈衰減趨勢。從長期效應(yīng)來說，ARCH和GARCH各系數(shù)小于1，說明條件異方差平穩(wěn)自身能保持平穩(wěn) ，不需要外力的干擾 。

綜合參數(shù)顯著性水平和比較AIC值的大小，發(fā)現(xiàn)EGARCH模型參數(shù)顯著，且擬合最優(yōu)。寫出EGARCH模型的表達(dá)式如下：

rt=0.000327+εt

EGARCH模型中的γ1=-0.15312，小于0，當(dāng)出現(xiàn)正新息時，則方差會變小，波動會變小，當(dāng)出現(xiàn)負(fù)新息時，波動會變大，相同單位的正新息沖擊的波動影響比負(fù)新息

的沖擊要大，說明新息對道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率的變動具有不對稱性。而PARCH模型，γ_1不為0，表明系統(tǒng)中有杠桿效應(yīng)，與EGARCH模型結(jié)果相互印證。

（2）基于t分布的GARCH族模型的建立。

先建立收益率序列的收益方程，假定殘差服從t分布，再對建立GARCH族模型，得到參數(shù)值和顯著性水平如下圖：

從模型估計的參數(shù)結(jié)果中可以看出，在1%的顯著水平上，GARCH和EGARCH模型的各個參數(shù)均顯著。再對殘差做Q自相關(guān)檢驗和殘差平方序列做自相關(guān)Q檢驗，即異方差檢驗，檢驗結(jié)果略去，發(fā)現(xiàn)模型已經(jīng)顯著消除了自相關(guān)和異方差效應(yīng)，模型擬合良好。綜合參數(shù)顯著性水平和比較AIC值的大小，發(fā)現(xiàn)EGARCH模型參數(shù)顯著，且擬合最優(yōu)。同上，EGARCH和PARCH說明系統(tǒng)存在杠桿效應(yīng)。

（3）基于GED分布的GARCH族模型的建立。

先對收益率序列建立收益方程，假定殘差服從GED分布，再對建立GARCH族模型，得到參數(shù)值和顯著性水平如下圖：

從模型估計的參數(shù)結(jié)果中可以看出，在5%的顯著水平上，GARCH和EGARCH模型的各個參數(shù)均顯著。再對殘差做Q自相關(guān)檢驗和殘差平方序列做自相關(guān)Q檢驗，即異方差檢驗，檢驗結(jié)果略去，發(fā)現(xiàn)模型已經(jīng)顯著消除了自相關(guān)和異方差效應(yīng)，模型擬合良好。可以看到GED中自由度顯著小于2，印證了假定殘差序列服從GED分布的合理性。綜合參數(shù)顯著性水平和比較AIC值的大小，發(fā)現(xiàn)EGARCH模型參數(shù)通過檢驗，且擬合最優(yōu)。同上，EGARCH和PARCH表明系統(tǒng)存在杠桿效應(yīng)。

（五）VaR值的計算

綜合上面9個模型，可以發(fā)現(xiàn)模型中殘差服從GED、t和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的EGARCH模型擬合最優(yōu)，且參數(shù)全部顯著，故使用從GED、t和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的EGARCH模型進(jìn)行VaR值的計算，從公式可知，要計算日VaR_t值，還需求出均值u，條件方差標(biāo)準(zhǔn)差和給定置信水平下GED 分布、t和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)。在EGARCH（1，1）-GED模型，可以直接得到均值u；標(biāo)準(zhǔn)差（T = 2，3，4，…2580，）序列，可利用Eviews7.0 生成GARCH 方差序列，得到條件方差σ_t^2后，再對其開方獲得條件標(biāo)準(zhǔn)差；分別給定置信水平為95%，運用Eviews7.0的逆累積分布函數(shù)，通過執(zhí)行語句scalar s=@qged（0.05，1.236233）可獲得自由度為1.236233的GED 分布的置信水平為95%的分位數(shù)，同理可得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布以及t分布的分位數(shù)。再通過公式計算可以得到2008年1月3日到2017年12月05日的每日VaR值序列，共有2579個數(shù)據(jù)。其中VaR值基本信息如下圖所示。

（六）模型的檢驗

在95%置信水平下，比較估計的VaR值和 對數(shù)日收益率在第t 天的實際損失值，若實際損失值大于VaR 值，則計作失??；對2579天的失敗數(shù)加總，可得到道瓊斯指數(shù)收益率返回檢驗的失敗個數(shù)，檢驗結(jié)果下圖 所示。

直觀上可以觀察到GED分布和正態(tài)分布假定下的失敗率均接近5%，擬合良好。通過失敗頻率檢驗法來進(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ偷挠行?，GED分布通過計算置信水平為95%的LR統(tǒng)計量為3.4446，小于自由度為1的x2統(tǒng)計量3.841，不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為失敗率等于預(yù)先設(shè)定的VaR 置信度5%，認(rèn)為該檢驗有效。t分布LR 統(tǒng)計量為7.334883，大于自由度為1的x2統(tǒng)計量3.841拒絕原假設(shè)，認(rèn)為失敗率不等于預(yù)先設(shè)定的VaR 置信度5%，模型擬合無效。正態(tài)分布LR 統(tǒng)計量1.784545，不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為失敗率等于預(yù)先設(shè)定的VaR 顯著性水平5%，模型擬合良好。故最終認(rèn)為在本案例研究中，GED分布和正態(tài)分布對VaR值擬合較好。

三、結(jié)語

第一，本文的研究表明道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率具有波動集聚性。一次大的變動后面往往也會引致大的變動，一次小的變動后面則容易產(chǎn)生較小的波動，道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率呈現(xiàn)尖峰肥尾的特征。

第二，道瓊斯指數(shù)日對數(shù)收益率序列存在明顯的杠桿效應(yīng)，負(fù)新息引起的波動比同樣大小的正新息更大些。其中，在對杠桿效應(yīng)進(jìn)行擬合的模型中，EGARCH模型比PARCH模型更好。

第三，在不同分布假定中的對道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率的擬合中，比較模型的AIC值，可以發(fā)現(xiàn)，GED分布擬合優(yōu)于t分布擬合，t分布擬合比正態(tài)分布擬合更精準(zhǔn)，說明采用尖峰肥尾分布的模型能更好的刻畫道瓊斯指數(shù)對數(shù)日收益率。

第四，在對VaR值度量時，發(fā)現(xiàn)殘差序列在尖峰厚尾的分布下，用正態(tài)分布擬合的VaR值也有效，甚至比反映殘差的尖峰肥尾特征的t分布和GED分布還要好，可能與案例研究選取的樣本數(shù)據(jù)時間和道瓊斯指數(shù)日對數(shù)收益率風(fēng)險大小有關(guān)。總體上，EGARCH模型對VaR值的擬合最佳。（作者單位為鄭州大學(xué)新校區(qū)）