摘 要：本文依據(jù)《對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)0和1的新認(rèn)識(shí)》的‘均分形式法淺簡(jiǎn)而徹底的解決了‘莊子切棒悖論、‘調(diào)和級(jí)數(shù)悖論等著名重大悖論。

關(guān)鍵詞：‘悖論；‘假悖論；‘均分形式；‘分?jǐn)?shù)形式等

首先，‘莊子切棒悖論是公認(rèn)未解決的最著名悖論。這悖論與現(xiàn)行教科書(shū)因沒(méi)有○n 與n之分等而把公共編號(hào)○n-○∞錯(cuò)成n→○∞，進(jìn)而錯(cuò)寫(xiě)成n …有關(guān)（n和○n 的不同與○∞和∞的不同直接有關(guān)，其原始原理請(qǐng)參看[3]）。

但近年來(lái)，由中科院士張景中主編的第二版《數(shù)學(xué)聊齋》[1]對(duì)‘悖論的概念作出荒謬無(wú)理的解釋?zhuān)乖谄?75頁(yè)說(shuō)【悖論不是壞東西……悖論不但有趣，而且有用】，并在他作序的《話說(shuō)極限》[2]的第3頁(yè)說(shuō)出低劣錯(cuò)誤的【無(wú)限段路程之和可以是有限量】（應(yīng)該‘有限段路程之和是有限量才正確——請(qǐng)看下面證實(shí)。）是在掩蓋‘悖論。理學(xué)界掩蓋‘悖論的概念，使之變成誰(shuí)也搞不懂的‘疑難的實(shí)例很多；但像張景中教授們這種低劣錯(cuò)誤卻是絕無(wú)僅有的。展示在下面的[1]，是[2]中‘莊子切棒悖論產(chǎn)生的錯(cuò)誤的級(jí)數(shù)式子。[3]之實(shí)例6對(duì)這個(gè)悖論雖已作出邏輯上的否定，但還沒(méi)有給出新式子來(lái)取代解決，所以本文下面用運(yùn)算推導(dǎo)出正確的新式子如下：

‘莊子切棒悖論的表述實(shí)質(zhì)意為‘任一條線段，每次切取其半，可無(wú)限次的切取。

要解決‘莊子切棒悖論及其級(jí)數(shù)式子的錯(cuò)誤，首先須知，‘無(wú)限多的數(shù)學(xué)記號(hào)是○∞，而○n 表示‘有限多，但現(xiàn)行教科書(shū)因沒(méi)有○n 與n之分，從而把錯(cuò)誤的寫(xiě)成n …，當(dāng)成無(wú)限了，這是一錯(cuò)；第二個(gè)錯(cuò)是其沒(méi)有把未切取的部分算進(jìn)去。

所以，‘莊子切棒悖論的真正解決的具體運(yùn)算推導(dǎo)步驟須為

設(shè)○n ′為切的次數(shù)，則有1/②○n ′=1/○n ≡1，此式可稱(chēng)為‘莊子切棒公式（注意，依據(jù)[3]，‘總段1不是數(shù)，表示一物質(zhì)線段，所以‘莊子切棒公式不是分?jǐn)?shù)形式，即其分?jǐn)?shù)線/等于除號(hào)，表示確定的線段1被○n均分，是均分形式）；○n為已切取的‘積段n的編號(hào)；還有恒未切取的‘分段1；由于○n>○n '，所以○n '必有限。

莊子作為哲學(xué)家，提出了‘莊子切棒悖論問(wèn)題讓人們?nèi)ソ鉀Q，解決了就是知識(shí)，解決不了就成了悖論；而悖論必須要解決〔‘一個(gè)命題的自我否定，即既表述為A又表述為非A簡(jiǎn)稱(chēng)為‘悖論。請(qǐng)?zhí)貏e注意，形式邏輯學(xué)的‘矛盾律表述為‘兩個(gè)互相矛盾或者互相反對(duì)的命題，不可能同時(shí)真，必有一假。；‘悖論與‘矛盾律的區(qū)別的關(guān)鍵在‘一個(gè)命題和‘兩個(gè)命題。也就是說(shuō)‘形式邏輯學(xué)的‘同一律、‘矛盾律、‘排中律三大律合起來(lái)的總旨就是防止產(chǎn)生‘悖論。

‘哲學(xué)只是‘聰明的觀點(diǎn)而已，事實(shí)是，從古至今哲學(xué)流派眾多，表明‘聰明的觀點(diǎn)眾多，而‘辯證邏輯僅是高級(jí)的‘哲學(xué)；所以，人們把沒(méi)有推理規(guī)則的‘辯證邏輯當(dāng)作高級(jí)的‘形式邏輯學(xué)是錯(cuò)誤的，會(huì)把‘非邏輯（即悖論）詭辯為‘辯證邏輯（‘辯證意即‘既對(duì)立又統(tǒng)一），這就使‘邏輯學(xué)與‘哲學(xué)混同了；事實(shí)是，‘邏輯學(xué)是‘形式邏輯學(xué)的簡(jiǎn)稱(chēng)，起始于亞里士多德，具有嚴(yán)格的推理規(guī)則，是理學(xué)研究的唯一推理工具。〕

‘莊子切棒悖論被‘莊子切棒公式徹底解決的道理在物理事實(shí)方面：因未切取的‘分段恒為1，是有長(zhǎng)度單位的，當(dāng)1的長(zhǎng)度小于刀鋒的厚度就不能切了；即使假想刀鋒的厚度可任意微細(xì)，但已切取的‘分段也恒為1，也表明必○n是‘有限多，即○n≠○∞。

所以由‘莊子切棒公式產(chǎn)生的數(shù)列和級(jí)數(shù)才正確，這就解決了‘莊子切棒悖論。

第二，千百年來(lái)百思不得其解的‘調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散而其數(shù)列卻收斂（其錯(cuò)誤式子的具體展示請(qǐng)看[2]之第6頁(yè)）的毛病在哪？此毛病實(shí)即‘悖論，也是現(xiàn)行教科書(shū)把n→∞的n當(dāng)成無(wú)限，即調(diào)和級(jí)數(shù)數(shù)列的1/n不是最末項(xiàng)，在其后還有表示無(wú)限項(xiàng)的‘…造成（注意，‘…可用在n或n項(xiàng)之前表示有限的省略，如用在n或n項(xiàng)之后，就會(huì)表示無(wú)限而產(chǎn)生悖論即錯(cuò)誤。）！

本文解決：已證實(shí)○n是不定的‘有限多，n表示不定的‘有限大，○∞表示‘無(wú)限多，∞表示‘無(wú)限大（n和○n的不同與○∞和∞的不同直接有關(guān)，其原始原理請(qǐng)參看[3]），所以調(diào)和級(jí)數(shù)應(yīng)改正為s○n=1 +1/②+1/③+…+1/○n。上面已交代過(guò)，這1/○n是均分形式（用直尺、圓規(guī)均分），還不是分?jǐn)?shù)形式，因?yàn)橹苯佑梅謹(jǐn)?shù)形式或化成小數(shù)形式，有限性的○n就徹底混淆成了無(wú)限性的n …了；而用均分形式就可看出其長(zhǎng)度（或稱(chēng)距離），不用并項(xiàng)也可直觀看出恒有s○n>○n （1/○n ），因?yàn)榭芍庇^看出1/○n是有限個(gè)點(diǎn)的第○n點(diǎn)到○0點(diǎn)的長(zhǎng)度，于是每條長(zhǎng)度是確定的且條數(shù)是有限的，從而總和長(zhǎng)度s○n也隨之趨微地增大而等于確定長(zhǎng)度——即有限量；如果把○n不盡的取，可直觀看出右○n （1/○n ）恒不變，而左s○n→∞，但○n ≠○∞，故s○n≠∞〔現(xiàn)行教科書(shū)就是把○n→○∞錯(cuò)誤的當(dāng)成n …后，○n就混淆成n ，從而1/○n也就混淆成1/n 隨之以無(wú)限小的小數(shù)形式以0為極限收斂， 而s就混淆成s○n會(huì)隨之無(wú)限趨微地增大而向∞發(fā)散，從而產(chǎn)生令人困惑的悖論?！?/p>

既已證實(shí)點(diǎn)為‘有限多，所以雖可任意選取，但不盡的選取是沒(méi)意義的。有限選取后，才再考慮還須完全用數(shù)計(jì)算表出，這才用到分?jǐn)?shù)形式的1/〔注意，另一分?jǐn)?shù)形式1/n，是‘分段1與‘積段n之比的結(jié)果寫(xiě)法，即1/的1就是1/n的‘積段n ，這也證實(shí)現(xiàn)行教科書(shū)把混淆成n的錯(cuò)誤；而由本文，須寫(xiě)成‘分段為1/，與‘積段為1之比的比值是（1/）：1=①/才對(duì)?！常瑥亩懦霈F(xiàn)了無(wú)限小數(shù)的近似〔如選取=（11）則s≈3，如選取=（200）則s≈5.8，如選取=（227）則s≈6，如選取=（1835421）則s≈15等等。還須注意，1還是‘量數(shù)（請(qǐng)看[3]），帶上量綱單位就成為具體的‘?dāng)?shù)量了，就更具有限性；從而1/、s都是‘?dāng)?shù)量?！?，于是此悖論也解決了（注意，‘總段1必須要有長(zhǎng)度量綱，才被徹底確定，否則‘總段1還是無(wú)限的?。?。

為了讓人看得更清晰、踏實(shí)，用實(shí)例試把上面=（1835421）的數(shù)據(jù)應(yīng)用起來(lái)，就知上述不謬：如設(shè)‘總段1為1納米長(zhǎng)=10^9米（注意，10^9本應(yīng)寫(xiě)為10^⑨，為簡(jiǎn)，不強(qiáng)改；下同。），如這1納米長(zhǎng)分別被①、②、…至最后=（1835421）個(gè)分點(diǎn)均分，這分點(diǎn)雖趨多但必有限即必≠，則與各均分形式的1/相應(yīng)的各分?jǐn)?shù)形式分別為1/①、1/②、…、至最后的1/=1/（1835421）≈5.4×10^16米，這與質(zhì)子半徑8×10^16米相當(dāng)，這雖很小但必≠0，于是其s≈1.5×10^8米，必是有限大即必≠∞?？傊厥怯邢薅啵瑥亩?/必不收斂于0而s必不會(huì)發(fā)散趨向∞形成悖論。

至于‘芝諾悖論，對(duì)照‘莊子切棒悖論、‘調(diào)和級(jí)數(shù)悖論的真正解決，就可知其是芝諾冒充搞成的假悖論。

‘莊子切棒悖論、‘調(diào)和級(jí)數(shù)悖論是有產(chǎn)生數(shù)列的通項(xiàng)式的，而‘芝諾悖論沒(méi)有其通項(xiàng)式，因而本沒(méi)有其數(shù)列，其所謂的“數(shù)列”是假的，是用特意選取的兩個(gè)整數(shù)相除即100/9得到的無(wú)限循環(huán)小數(shù)11.111…，再拆成無(wú)限的數(shù)列樣子，搞成了所謂“無(wú)限收斂數(shù)列”；這樣一來(lái)，就產(chǎn)生了‘快速的阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)募傧?。連動(dòng)物都知道快速的必會(huì)追上慢速的，事實(shí)是，‘芝諾悖論的編造，其選取100/9的方程就是按‘阿基里斯追上烏龜這條件才建立的（請(qǐng)看[2]的第3頁(yè)），怎又會(huì)追不上；把100/9寫(xiě)成11.111…，就是為編造“無(wú)限收斂數(shù)列”，搞假悖論。顯然，如果不把100/9寫(xiě)成11.111…，此題就會(huì)還原成一般正常的數(shù)學(xué)題，就可求得阿基里斯追上烏龜?shù)拇_定時(shí)間和確定距離，何來(lái)“悖論”。

這就證實(shí)了‘芝諾悖論是假悖論并得到真正的解決。

[2]的主題原是講述數(shù)列和極限的，而‘芝諾悖論和‘莊子切棒悖論各有一串?dāng)?shù)列，所以編著者一開(kāi)始就為引入這兩個(gè)悖論的數(shù)列，對(duì)這兩個(gè)悖論予以既虛否定又實(shí)贊美，說(shuō)出了很多顛三倒四而又圓

滑的廢話，對(duì)讀者的邏輯思維都會(huì)有極為嚴(yán)重的毒害作用。

所以，1/n是其最末項(xiàng)，不可在其后還有表示無(wú)限項(xiàng)的‘…。

有了‘總段1，則‘羅素悖論也即解決，因?yàn)椤偠?不是數(shù)，而是數(shù)的集合，其元素即為自然數(shù)1、2、…、n；從而第三次數(shù)學(xué)危機(jī)才真正解決。

下面展示[2]的‘莊子切棒悖論所產(chǎn)生錯(cuò)誤的通項(xiàng)式1/2n和其錯(cuò)誤的數(shù)列、錯(cuò)誤的兩種級(jí)數(shù)式子：

‘莊子切棒悖論數(shù)列為1/2 ，1/4 ， …，1/2n ，…錯(cuò)誤在n項(xiàng)之后還有… ；

【1】、sn=1/2 +1/4 + …+1/2n+…=1；

【2】、sn=（1/2）-（1/2）n+1/〔1-（1/2）〕

此兩種式子錯(cuò)誤就在沒(méi)把未切的剩余部分1/2n 加進(jìn)去。

這【1】沒(méi)把未切的剩余部分加進(jìn)去，右邊怎會(huì)=1？

再來(lái)驗(yàn)算【2】，試把n=3代入，也缺剩余部分1/2n =1/8 ；補(bǔ)進(jìn)1/8 ，才=1 ！

而本文‘莊子切棒公式產(chǎn)生的正確的‘莊子切棒通項(xiàng)式1/2 ^和其數(shù)列、級(jí)數(shù)，分別為（注意，因‘莊子切棒公式中先用數(shù)字表示了，于是'就成了后）：

‘莊子切棒數(shù)列1/② ， 1/④， …，1/②^，還有未切的剩余的一段即一項(xiàng)1/②^；

‘莊子切棒級(jí)數(shù)s=1/②+1/④ +…+2/②^=1；

‘莊子切棒等比級(jí)數(shù)s=〔（1/②）-（1/②）^+①〕/〔1-（1/②）〕+（1/②）^。

請(qǐng)大家對(duì)照。

[2]共有四章，其錯(cuò)誤都集中在第一、第二和第四共三章中，原因是這三章都涉及‘莊子切棒悖論、‘調(diào)和級(jí)數(shù)悖論、和‘芝諾悖論。在第四章中關(guān)于‘芝諾悖論的人云亦云錯(cuò)誤言論，更無(wú)知而怪誕的說(shuō)【十分有意思，如果初值超越極限，它還是“退回來(lái)”從反方向逼近100/9】（摘自[2]之111頁(yè)），竟不知此句正是表達(dá)不可把100/9寫(xiě)成11.111…！

[2]最后才哀嘆【其實(shí)，計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)始終伴隨著一個(gè)很難解決的悖論】（摘自[2]之117頁(yè)）；但這樣一來(lái)，其前面對(duì)悖論的贊美和錯(cuò)誤式子嚴(yán)重毒害了讀者的邏輯思維，怎辦？！張景中院士怎會(huì)不知‘悖論是何概念，竟說(shuō)出【悖論不是壞東西……悖論不但有趣，而且有用】小孩般的話？！

原來(lái)，說(shuō)起‘悖論，就不得不面對(duì)現(xiàn)在依然名聲震天的都與‘悖論緊密相關(guān)三巨頭理論：康托爾的‘無(wú)窮集合論、愛(ài)因斯坦的‘相對(duì)論、哥德?tīng)柕摹煌陚湫远ɡ怼?/p>

（1）先說(shuō)康托爾的‘無(wú)窮集合論：其實(shí)，‘無(wú)窮集合論由‘無(wú)窮和‘集合組合而成；‘集合本身是無(wú)悖的；而‘無(wú)窮是有悖的，因?yàn)榭低袪柊选?dāng)作‘無(wú)窮來(lái)代替，再用‘一一對(duì)應(yīng)的方法，并交替輾轉(zhuǎn)使用‘…代替，主觀的用‘無(wú)窮的自然數(shù)集不斷構(gòu)造出客觀并不存在的‘超窮數(shù)集，荒謬之至；事實(shí)是，一切小數(shù)無(wú)論是‘有理的，無(wú)理的，或超越的，實(shí)質(zhì)上都是物理元素間或幾何元素間的關(guān)系性的數(shù)，放在表達(dá)存在性的‘自然數(shù)n的數(shù)軸上就已是錯(cuò)誤。康托爾由于不會(huì)區(qū)別 n和，產(chǎn)生‘悖論也不知道，例如他面對(duì)“整體等于其部分”還嘴硬說(shuō)這正是‘無(wú)窮的特性。事實(shí)是，康托爾的‘無(wú)窮集合論就已產(chǎn)生了很多‘悖論，也遭到很多大數(shù)學(xué)家激烈反對(duì)；但是反對(duì)代替不了否定，反對(duì)者們也都因不會(huì)區(qū)別n和而不能解決康托爾的‘無(wú)窮集合論；另一方面，‘集合本身是無(wú)悖的，在數(shù)學(xué)中又很有用；于是接受了‘集合也無(wú)意中接受了‘無(wú)窮集合論的‘悖論。

（2） 再說(shuō)愛(ài)因斯坦的‘相對(duì)論：愛(ài)氏的‘光電效應(yīng)理論是世所公認(rèn)的真理，但鐵證證實(shí)，其“相對(duì)論”卻是徹底的偽論，其中全是假式子、假運(yùn)算；具體請(qǐng)看[4]。

（3）最后說(shuō)哥德?tīng)柕摹煌陚湫远ɡ恚鹤钥低袪柕摹疅o(wú)窮集合論‘悖論頻出泛瀾后，許多數(shù)學(xué)家想盡各種方法以圖消除‘悖論，形成學(xué)派之爭(zhēng)，以羅素、弗雷格為代表的邏輯派，以布勞威為代表的直覺(jué)派，以希爾伯特為代表的形式公理派。三大流派雖然名稱(chēng)不同，但實(shí)質(zhì)都以邏輯為標(biāo)準(zhǔn)，但終因不會(huì)區(qū)別 n與（n）而無(wú)法找到數(shù)學(xué)產(chǎn)生‘悖論的根源。最后在1930年哥德?tīng)柊l(fā)表了撼世的‘不完備性定理，不了了之的結(jié)束了這場(chǎng)為消除‘悖論歷經(jīng)半個(gè)世紀(jì)的爭(zhēng)論。那么哥德?tīng)柕摹煌陚湫远ɡ砭烤拐f(shuō)了什么？

非常有趣，哥德?tīng)柡鲆暳巳四X與電腦的根本差別；人腦具有主動(dòng)性，會(huì)主動(dòng)尋悖，而電腦是按人輸進(jìn)的邏輯符號(hào)、程序進(jìn)行處理，不會(huì)區(qū)分悖論的真假。要深刻理解哥德?tīng)柕摹煌陚湫远ɡ?，最好看‘說(shuō)謊者悖論（哥德?tīng)柋救顺姓J(rèn)受‘說(shuō)謊者悖論的啟發(fā)）；‘說(shuō)謊者悖論表述為‘我正在說(shuō)的這句話是謊話，須知這種表述是假悖論，是玩句子殘缺的文字游戲（如表述為‘我正在說(shuō)的這句話是謊話也是真話才是真悖論），只能蒙混電腦；不管真悖論、假悖論都最終逃避不了人腦的鑒別和解決。

張景中院士以為，既然世界級(jí)的巨頭們都無(wú)奈悖何，所以就可肆無(wú)忌憚?wù)f出【悖論不是壞東西……悖論不但有趣，而且有用】。

參考文獻(xiàn)：

[1]張景中主編，王樹(shù)禾編著.《數(shù)學(xué)聊齋》， 第二版書(shū)號(hào)ISBN7030139585.科學(xué)出版社出版.

[2]梁昌洪編著，張景中作序.《話說(shuō)極限》，書(shū)號(hào)ISBN 978030237880.科學(xué)出版社出版.

[3]陸道淵.《對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的0和1的新認(rèn)識(shí)》2016年刊于《中國(guó)科技縱橫》，網(wǎng)搜即可參閱或下載.

[4]陸道淵著.《鐵證證實(shí)"相對(duì)論" 是愛(ài)氏埋滅、篡改洛侖茲五條原真式子后編成的偽論》2016年刊于《中國(guó)科技縱橫》.

作者簡(jiǎn)介：陸道淵 ，溫州東方船艇公司退休。