游慶燈 王娟

著名科學家波普爾認為，人類知識的增長實際上是經由“猜想”和“反駁”的途徑從“老問題”到“新問題”的過程。建構主義學習觀與此有異曲同工之妙。按照建構主義思想，知識的學習是認知者在原有認知基礎上小斷構建的過程.在被動接受的數學學習中，因為缺少個人的思維建構，學習者往往只記住一些概念、原理，或者只是一些字面上的理解，并沒有真正理解它們的含義，只能應用于課本上的一些典型習題等。建構性的學習則要求學生對知識進行創(chuàng)造性的思維構造，這意味著學習者必須依據自己已有的知識和經驗，對知識作出明確的辨別，對有關的現(xiàn)象用自自己的語言對其重新編碼，作出合理的推斷和預測，作出自己的解釋、判斷。也就是對知識內容和原有認知結構的適應性作出自己的評價和調整，發(fā)現(xiàn)、概括、提煉其中具有規(guī)律性或一般性新信息，并能把這種自己生成而獲得的新信息運用與解決具有一定復雜性的問題?？梢?，建構主義觀下學習者自己思維構造的知識意義，正是學習者生成個體知識，也就是個人的“生成性知識”。

下面筆者從對一道傳統(tǒng)的自轉問題的解題探究來談知識的生成。

例如，圖1，⊙O的周長為 cm，⊙A、⊙B的周長都是 cm，⊙A在⊙O內沿著⊙O滾動，⊙B在⊙O外沿著⊙O滾動，⊙A、⊙B各需轉動幾周才能回到原來的位置？

這個例題出自于人教社1994年編寫的九年義務教育教材初中《幾何》第三冊第207頁的“想一想”，現(xiàn)在，雖然各地已使用了新課標教材，但此類問題時常在中考題目中出現(xiàn)，幾年來，許多老師和學生對題目的解答進行了探究，下面是一種解法：

解：如圖2，設小球A的初始位置與⊙O內切于點C，沿⊙O內壁滾動一周后與⊙O內切于點D.顯然⊙A的周長與⌒CD的長相等.點A移動到點 ，當小球A沿著⊙O滾動時，點A到圓心O的距離始終不變，所以點A移動到點 經過的是一條弧.由兩圓相切連心線必過切點，可知：C、A、O三點共線，D、 、O三點共線，所以⌒CD和⌒AA1所對的圓心角相等，設為 .易得⌒CD長為 ， ，解得 .⌒AA1的長為 ，這里因兩圓相內切，圓心距等于兩圓的半徑之差，所以 .因此，⌒AA1的長為 .圓心A回到原位，其軌跡圓的周長為 ，所以小圓A轉動的周數為： （周）。

同理，如圖3，可求出圓心B回到原位，小圓B轉動的周數為： （周）.故兩小圓都需轉動5周回到原來的位置。

沿內外壁滾動都是5周回到原來的位置，事實果真是這樣嗎？學生可能會根據自己的經驗提出質疑。

如圖4，由于⊙A的周長與⌒CD的長相等，設⊙A上的有向線段→AP的端點P與點C重合，則⊙A與⊙O再次相切于點P時，點P與點D重合，不妨將此時點P的位置記為 .顯然有向線段→AP還沒有旋轉 ，因此⊙A并沒有滾動一周.因而上述“兩小圓都需轉動5周回到原來的位置”的結論顯然是錯誤的。

由于有向線段→AP還沒有旋轉 ，⊙A還要沿⊙O的內壁繼續(xù)滾動觀察至⊙A2處，如圖4，當 ∥ 時，有向線段→AP才旋轉完 ，⊙A才轉了一周.現(xiàn)在我們來計算⊙A轉了一周時，圓心A經過的弧長，不妨設 ，則 .從⊙A滾動的過程不難發(fā)現(xiàn)，⌒DE的長度和⌒P2E的長度相等，所以⌒CE的長等于⊙A的周長與⌒P2E的長度之和，因此， ，解得 . （周）.所以小圓A轉動4周后回到原來的位置。

類似地，如圖5，設⊙B的初始位置與⊙O外切于F，有向線段→BQ為圓⊙B的一半徑，在初始位置時，Q與F重合，O、B、F在一直線上，如圖7，當⊙B沿外壁滾動時，→BQ與隨之轉動，當轉至 位置時， ∥ ，⊙B已轉了一周.而此時⊙B在⊙O上還未滾完一個⊙B的周長.設繼續(xù)旋轉到⊙B與⊙O外切時于點H時，⊙B在⊙O上剛好滾完一個⊙B的周長.此時 、 、O三點在一直線上.這時設 ，則 .從⊙B滾動的過程不難發(fā)現(xiàn)，⌒GH的長與⌒GQ1的長相等，所以⌒FG的長等于⊙B的周長與⌒GQ1的長度之差，因此， ，解得 . （周）.所以小圓B轉動6周后回到原來的位置。

上面已探究了動圓在靜止不動的圓上滾動的自轉周數問題。由此可見，數學生成性知識是對數學知識的提煉和概括，是學習者對自身已有數學知識進行深加工的產物，是一種自我體驗、反思、領悟和提高的結果。因此它在很大程度上具有個人思維色彩。是學習者借助自身的數學理解力、判斷力、批判力和洞察力所“創(chuàng)造”出來的個性化的數學知識。它不是對自身已有數學知識的簡單重復，而是學習者對已經建立起來的內部認知結構的反思、調整、改進、重組和超越，這是一種具有積極意義的深刻的內部自省活動。這一自省活動的直接產物就是對已有數學知識的新認識，新體驗和新見解，是個人內部生成的具有更高思維層次的‘新”知識。體現(xiàn)在解題中，這樣的生成性知識不僅能縮短解題長度，節(jié)約解題所需的時間和精力，而且也是實現(xiàn)解題創(chuàng)新的一種手段。