丁彩紅，賴 勇

（東華大學 機械工程學院，上海 201620）

1 引言

由于工作環(huán)境工況的特殊性，主從式機械手的從手臂采用鏈條、鋼絲和鋼帶等純機械形式傳遞來自主手臂的運動，涉及的機械環(huán)節(jié)多，因此機械部件間的間隙或者傳動部件的柔性對從手臂的運動精確性影響較大，直接影響到從手臂末端執(zhí)行器的定位精度。

目前的文獻資料對伸縮臂的研究主要有：基于有限元差分方法對伸縮臂局部穩(wěn)定性進行研究[1-2]；文獻[3]中基于Rayleigh-Ritz法得到了三種特定工況下伸縮臂末端瞬態(tài)誤差響應。文獻[4]中將伸縮臂視為階梯梁結(jié)構(gòu)處理，得到了其振動固有頻率和前端動態(tài)響應函數(shù)等。但是這些研究都單純地將伸縮臂視為一個整體進行動力學分析[5-8]，沒有考慮到伸縮臂各套接處存在的間隙以及其傳動系統(tǒng)力耦合的因素。

考慮了伸縮臂套接處間隙的存在，推導出主從式機械手末端誤差與間隙的關(guān)系，得到無傳動系統(tǒng)狀態(tài)下，運動過程中伸縮臂的末端定位誤差。其次考慮伸縮臂梯形絲杠傳動系統(tǒng)中的時變受力耦合情況，建立數(shù)學模型，通過實際參數(shù)進行求解，得到梯形絲杠撓度引起伸縮臂末端響應，對比分析得到伸縮臂運動狀況，接近于實際情況。由此得到伸縮臂工作到任何工作位置穩(wěn)定時的定位誤差，為后續(xù)主從式機械手的定位精度研究和控制提供理論依據(jù)。

2 主從式機械手從手伸縮臂結(jié)構(gòu)

圖1 主從式機械手從手伸縮臂結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure Diagram of Master-slave Manipulator’s Slave Arm

主從式機械手從手伸縮臂結(jié)構(gòu)，如圖1所示。主從式機械手從手的伸縮臂由外管、中管、內(nèi)管組成。中管以梯形絲杠帶動螺母和套管傳動，使得中管沿著直線進行伸縮，內(nèi)管由鋼帶傳動進行伸縮運動，從而實現(xiàn)伸縮臂長距離軸向運動。

3 數(shù)學建模

3.1 考慮間隙存在的伸縮管模型

在理想情況下，外、中、內(nèi)管是共軸線的，且截面為同心圓。在實際情況中，由于在伸縮管上安裝或裝配滑塊時，可能使得套接處管壁產(chǎn)生屈服變形，使得管截面變成非圓狀態(tài)，從而導致在運動過程中出現(xiàn)運動不暢或卡死情況。為避免這種情況，通常在各伸縮管之間留有一定的間隙。

假設(shè)第i+1節(jié)伸縮管與第i節(jié)伸縮管的套接處間隙為Δi，如圖2（a）所示。第i節(jié)伸縮管總長為Li，即外管總長為L1，中管總長為L2，內(nèi)管總長為L3。

因為間隙的存在以及伸縮管受到末端負載和自身重力的影響，會使得伸縮管的軸線發(fā)生偏差，對末端定位產(chǎn)生一個偏移誤差f，并且這個偏移誤差是隨著伸縮管的伸出量的變化而變化。在到達某平衡臨界位置之前，伸縮管并不會繞下滑塊處轉(zhuǎn)動，而是伸縮管直接沿垂直方向偏移2Δi，如圖2（b）所示；當超過某平衡臨界位置，伸縮管發(fā)生繞下滑塊處偏轉(zhuǎn)θi，當伸縮管偏轉(zhuǎn)時，可視為繞下滑塊處為支點的杠桿，如圖2（c）所示。

圖2 間隙引起末端定位偏移誤差示意圖Fig.2 Diagram of Position Error Caused by Gap

當在某平衡臨界位置，以下滑塊處為杠桿支點，伸縮管套接部分受力、伸縮管伸出部分受力以及末端負載受力構(gòu)成杠桿平衡。假設(shè)N節(jié)伸縮管，第i節(jié)伸縮管的線密度為ρi，第i+1節(jié)與第i節(jié)伸縮管平衡時的套接長度為Lxi，末端負載質(zhì)量為m，根據(jù)杠桿平衡列式：

由式（1）求解得到杠桿平衡時伸縮套接部分長度，即第i+1節(jié)伸縮管運動中，在搭接長度為Lxi～Li+1時，末端定位偏移2Δi；當搭接長度為0～Lxi時，伸縮管會繞下滑塊處偏轉(zhuǎn)θi。

在第i+1節(jié)伸縮管與第i節(jié)伸縮管套接處，搭接長度為bi，由間隙Δi產(chǎn)生了偏轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角θi，通常情況下間隙較小，故認為第i+1節(jié)伸縮臂搭接處繞其下滑塊處旋轉(zhuǎn)，如圖3所示。

圖3 套接處偏轉(zhuǎn)角度示意圖Fig.3 Schematic Diagram of Deflection Angle of Socket

式中：αi+1—第i+1節(jié)伸縮臂與第i節(jié)伸縮臂套接處部分對角線的夾角，°；di+1—第 i+1節(jié)伸縮臂的直徑，mm；bi—第 i+1節(jié)伸縮臂與第i節(jié)伸縮臂套接處搭接長度，mm；θi—第i+1節(jié)伸縮臂與第i節(jié)伸縮臂偏轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角，°；Δi—第i+1節(jié)伸縮臂與第i節(jié)伸縮臂套接處的間隙，mm；

則第i+1節(jié)伸縮管和第i節(jié)伸縮管套接間隙引起的偏差位移fi為：

3.2 考慮梯形絲杠進給系統(tǒng)的伸縮臂模型

其中梯形絲杠進給系統(tǒng)對于中管有支撐作用，假設(shè)梯形絲杠剛度足夠支撐中管、內(nèi)管以及負載，即使外管和中管套接處有間隙接觸，那么中管的軸線也不會產(chǎn)生很大的偏差。針對中管的梯形絲杠傳動系統(tǒng)，需要分析伸縮臂在運動過程中，梯形絲杠的彎曲變形情況對末端定位造成影響，所以對梯形絲杠進給系統(tǒng)進行力學建模分析。

根據(jù)梯形絲杠的工作情況以及軸向固定方式可知，中管梯形絲杠的支承方式為一端固定、一端浮動式。對其簡化為一端固定的懸臂梁處理，將中管、內(nèi)管以及負載的影響折算成在懸臂梁上的所受的彎矩。梯形絲杠的彎矩受力點位置是隨著伸長量變化的，同時對梯形絲杠的彎矩大小也是時變的。

根據(jù)材料力學知識[9]可知，梁的撓度微分方程為：

式中：w—撓度位移，mm；

假設(shè)中管伸長量為S1，外管伸長量為S2，對絲杠產(chǎn)生的集中彎矩為M，則根據(jù)實際結(jié)構(gòu)可得到絲杠受到彎矩為：

因為螺母的位置是隨中管的位置而變化，根據(jù)式（6）、式（7）得到梯形絲杠進給系統(tǒng)螺母處撓度w及偏轉(zhuǎn)角度θ：

4 計算與分析

主從式機械手伸縮臂運動為順序伸縮，即中管伸縮完，內(nèi)管才會進行伸縮。給出主從式機械手從手伸縮臂的各實際參數(shù)，如表1所示。根據(jù)相關(guān)參數(shù)對中管、內(nèi)管運動過程定位誤差進行計算。

表1 伸縮臂結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural Parameters of Telescopic Boom

4.1 中管的定位誤差計算與分析

首先對無傳動系統(tǒng)下間隙引起的中管偏差進行求解，由公式（1）得：Lx1=904mm，即當中管平衡時，臨界位置套接長度為904mm，并且中管最大伸出長度S1max為960mm，故在中管運動時，當伸出長度為（0～266）mm 時，末端定位誤差偏移2Δ1；當伸出長度為（266～960）mm 時，由b1=L2-S1和式（3）可得中管會繞下滑塊處轉(zhuǎn)動角度θ1。

對考慮梯形絲杠進給的中管模型求解，當中管先伸長時，即S1∈（0，960），S2=0，代入式（8），當中管伸長完畢后，內(nèi)管進行伸長，即 S1=0，S2∈（0，980），同理代入式（8），得到螺母處梯形絲杠彎曲的偏轉(zhuǎn)角度與總伸長量的關(guān)系。

對比得到的無傳動系統(tǒng)下間隙偏轉(zhuǎn)角度與梯形絲杠偏轉(zhuǎn)角度，如圖4所示。分析中管實際偏轉(zhuǎn)角度的情況。

圖4 間隙偏轉(zhuǎn)角度與梯形絲杠偏轉(zhuǎn)角度對比圖Fig.4 Diagrams of Deflection Angle of Trapezoidal Screw and Gap

從圖（4）中看出，在中管伸出長度為（0～270）mm 時（A-B段），主要以絲杠受彎矩產(chǎn)生撓度偏轉(zhuǎn)角為主；當中管伸出長度為（270～840）mm時（B-C段），螺母處梯形絲杠的彎曲變形偏轉(zhuǎn)角度大于外管與中管間間隙產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角度，此時外管為梯形絲杠承受一部分彎矩，此時中管的偏轉(zhuǎn)角度為間隙產(chǎn)生的極限偏轉(zhuǎn)角度。當中管伸出長度為（840～960）mm時（C-D段），螺母處梯形絲杠產(chǎn)生的彎曲變形偏轉(zhuǎn)角度小于外管與中管間間隙產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角度，主要以絲杠受彎矩產(chǎn)生撓度偏轉(zhuǎn)角為主。

當中管完全伸出后，此時螺母位置已固定。但內(nèi)管伸長時，會讓螺母處梯形絲杠受到彎矩繼續(xù)變大，使得螺母處梯形絲杠產(chǎn)生的彎曲變形偏轉(zhuǎn)角度繼續(xù)增大，主要以絲杠受彎矩產(chǎn)生撓度偏轉(zhuǎn)角為主，直到內(nèi)管伸長量為420mm時（D-E段），螺母處梯形絲杠產(chǎn)生的彎曲變形偏轉(zhuǎn)角度大于外管與中管間間隙產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角度，中管達到最大偏轉(zhuǎn)角度為0.053°，而后內(nèi)管伸長，中管都以最大偏轉(zhuǎn)角度存在。

故伸縮臂運動到工作位置穩(wěn)定時，中管的實際偏轉(zhuǎn)角度θ1與伸長量S的關(guān)系，如圖5所示。

圖5 中管實際偏轉(zhuǎn)角度與伸長量的曲線圖Fig.5 Diagrams of Actual Deflection Angle and Elongation of Middle Pipe

4.2 內(nèi)管的定位誤差計算與分析

由于內(nèi)管伸長靠鋼帶傳動，因為鋼帶為彈性元件，故內(nèi)管的誤差視為無傳動系統(tǒng)下間隙引起的內(nèi)管偏差，進行求解。由式（1）得：Lx2=1106mm，即當內(nèi)管平衡時，臨界位置套接長度為1106mm，并且內(nèi)管最大伸出長度S2max為980mm，故在內(nèi)管運動時，當伸出長度為（0～70）mm 時，末端定位誤差偏移 2Δ2；當伸出長度為（70～980）mm時，由b2=L3-S2和式（3）可得內(nèi)管會繞下滑塊處轉(zhuǎn)動 θ2。

得到內(nèi)管的實際偏轉(zhuǎn)角度θ2與伸長量S2的曲線圖，如圖6所示。

圖6 內(nèi)管實際偏轉(zhuǎn)角度與伸長量關(guān)系圖Fig.6 Diagrams of Actual Deflection Angle and Elongation of Inner Pipe

內(nèi)管在伸出過程中，當超過平衡臨界位置后，偏轉(zhuǎn)角度隨著伸出長度不斷增大，對末端定位誤差影響亦越來越大，完全伸出后，最大偏轉(zhuǎn)角度 θ2為0.06°。

圖7 伸縮臂末端定位誤差圖Fig.7 Diagrams of End of Position Error of Telescopic Boom

根據(jù)式（4）、式（5）及上述中管、內(nèi)管的實際偏轉(zhuǎn)角度，從而得到伸縮臂到任意工作位置的末端定位誤差，如圖7所示。

5 結(jié)論

（1）針對影響主從式機械手的從手伸縮臂的定位精度的因素，分別提出了考慮間隙的伸縮臂數(shù)學模型和考慮梯形絲杠進給的伸縮臂數(shù)學模型，模型適用于普遍的伸縮臂傳動定位誤差建模。

（2）對數(shù)學模型進行了求解，結(jié)果分析對比，得到了主從式機械手伸縮臂在實際工作狀態(tài)下，中管和內(nèi)管的偏移角度變化情況。

（3）結(jié)合中管和內(nèi)管的偏移角度變化情況，得到了主從式機械手從手伸縮臂運動任何工作位置的末端定位誤差圖，其中最大定位誤差為2.31mm。為后續(xù)主從式機械手定位誤差補償研究提供了理論基礎(chǔ)和參考依據(jù)。

參考文獻

［1］柳葆生，王金諾.用差分法計算液壓汽車起重機伸縮臂的撓度和彎矩［J］.西南交通大學學報，1986（3）：19-30.（Liu Bao-sheng，Wang Jin-nuo.Calculation on deflection and bending moment of telescopic boom for hydraulic truck cranes［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，1986（3）：19-30.）

［2］張碩.伸縮臂局部穩(wěn)定性研究［D］.大連：大連理工大學，2008.（Zhang Shuo.Research on local stability of telescopic boom［D］.Dalian：Dalian University of Technology，2008.）

［3］董作見，吳曉，羅濤.基于Rayleigh-Ritz法的伸縮臂瞬態(tài)動力學分析［J］.機械設(shè)計與制造，2015（1）：184-186+190.（Dong Zuo-jian，Wu Xiao，Luo Tao.Telescopic boom transient dynamics analysis based on Rayleigh-Ritz method［J］.Machinery Design&Manufacture，2015（1）：184-186+190.）

［4］黃日龍，田常錄，謝家學.擦窗機伸縮臂的振動響應分析［J］.江南大學學報：自然科學版，2014（2）：184-188.（Huang Ri-long，Tian Chang-lu，Xie Jia-xue.Vibration response analysis of gondola telescopic boom［J］.Journal of Jiangnan University：Natural Science Edition，2014（2）：184-188）

［5］崔燦，蔣晗，李映輝.變截面梁橫向振動特性半解析法［J］.振動與沖擊，2012（14）：85-88.（Cui Can，Jiang Han，Li Ying-hui.Semi-analytical method for calculating vibration characteristics of variable cross-section beam［J］.Journal of Vibration and Shock，2012（14）：85-88）

［6］周叮.一類變截面梁橫向自由振動的精確解析解［J］.振動與沖擊，1996（3）：12-15+103.（Zhou Ding.The exact analytical solution of transverse free vibration of a type of beams with variable cross-sections［J］.Journal of Vibration and Shock，1996（3）：12-15+103.）

［7］潘旦光，吳順川，張維.變截面Timoshenko懸臂梁自由振動分析［J］.土木建筑與環(huán)境工程，2009（3）：25-28.（Pan Dan-guang，Wu shun-chuan Zhang Wei.Free vibration of non-uniform Timoshenko cantilever beams［J］.Journal of Civil，Architectural&Environmental Engineering，2009（3）：25-28.）

［8］汪亞運，彭旭龍，陳得良.軸向功能梯度變截面梁的自由振動研究［J］.固體力學學報，2015（5）：384-391.（Wang Ya-yun，Peng Xu-long，Chen De-liang.Free vibration of axially functionally graded beams with non-uniform cross-section［J］.Chinese Journal of Solid Mechanics，2015（5）：384-391.）

［9］范欽珊，殷雅俊，唐靖林.材料力學［M］.第 3版.北京：清華大學出版社，2015.（Fan Qin-shan，Yin Ya-jun，Tang Jing-lin.Mechanics of Materials［M］.3rd Edition.Beijing：Tsinghua University Press，2015.）