張建明，邱曉暉

(南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210000)

0 引 言

近年來，小波變換理論憑借其對信號的特殊時、頻分析能力，在信號、圖像等領(lǐng)域得到了快速發(fā)展，在圖像去噪領(lǐng)域也得到了廣泛應(yīng)用。然而，由一維小波張量積張成的小波因其固有的各向同性和有限的方向選擇特性，僅適合刻畫點狀奇異信息，難以對二維圖像信號中含有的各種直線、曲線等線奇異信息進行有效表示。因此，針對小波變換對二維圖像及更高維信號表示的不足，E.J.Candes和Donoho于1998年提出了脊背變換(Ridgelet變換)[1]，這一變換在小波的基礎(chǔ)上添加了方向參數(shù)，在繼承小波良好的時頻分析能力的同時具有更好的方向選擇性，能夠很好地表達(dá)直線奇異信息，但是對曲線信息的描述具有局限性。1999年，E.J.Candes和Donoho提出第一代Curvelet變換理論[2]，它是建立在脊背變換理論基礎(chǔ)上的新的多尺度幾何表示方法，能夠很好地表示曲線特征信息并擁有更強的方向選擇特性。2002年，E.J.Candes和Donoho又搭建出第二代Curvelet變換的框架體系[3]，并于2005年提出基于第二代Curvelet變換的快速離散算法[4]，大大降低了第一代Curvelet方法實現(xiàn)的計算冗余度和復(fù)雜度。

指紋圖像具有豐富的曲線特征信息，因此將Curvelet變換方法應(yīng)用于指紋圖像去噪可以更好地保留原始信號的邊緣及曲線等線性特征，提升去噪水平和視覺效果。因此，文中采用基于Wrapping的第二代快速離散Curvelet變換算法，通過自適應(yīng)選取子帶閾值并對變換后的各個尺度各個方向上的Curvelet系數(shù)采用一種新的閾值函數(shù)進行處理。

1 第一代Curvelet變換

第一代Curvelet變換理論是充分建立在Ridgelet變換理論的基礎(chǔ)上的，其實質(zhì)是在Ridgelet變換域上進行局部多尺度分析。Ridgelet變換對含有直線奇異信息的函數(shù)具有良好的逼近能力，但對奇異曲線的逼近能力有限。而第一代Curvelet變換提出在所有的尺度上進行Ridgelet變換，充分利用了多尺度分析的優(yōu)勢，具備了對奇異曲線優(yōu)秀的表示能力，能夠極小地逼近誤差衰減階。

Curvelet變換過程一般由子帶分解、平滑分割、脊波分析三個部分組成。其數(shù)字實現(xiàn)過程如圖1所示。

圖1 第一代Curvelet變換的分解過程

首先將函數(shù)f用濾波器P0分成不同的子帶(P0f,Δ1f,Δ2f,…)，P0f表示f的低頻部分，Δsf表示尺度2-s下的高頻子帶信息；然后定義方形區(qū)域Q=[K1/2s,(K1+1)/2s]×[K2/2s,(K2+1)/2s]對Δsf通過平滑窗口函數(shù)WQ進行分割，實現(xiàn)對不同尺度子帶函數(shù)的平滑；接著通過定義傳輸算子TQf(m,n)=2sf(2sm-k1,2sn-k2)對每個平滑分塊的二進方塊Q進行重正歸化，可以得到gQ=(TQ)-1(WQΔsf)；最后對gQ進行正交Ridgelet變換，從而實現(xiàn)Curvelet變換。

2 第二代Curvelet變換

第一代Curvelet變換的數(shù)字實現(xiàn)十分復(fù)雜，計算冗余度高。因此Candes等提出了第二代Curvelet變換。第二代Curvelet變換與第一代有著截然不同的架構(gòu)體系，第一代Curvelet變換的核心思想是將曲線分割到一個個足夠小的方塊中，然后把方塊中的曲線近似成直線看待，最后對其進行局部的Ridgelet分析。而二代Curvelet變換在實現(xiàn)過程中完全無需用到Ridgelet變換，兩代變換間的唯一相同點在于緊支撐、框架等抽象數(shù)學(xué)意義。

2.1 連續(xù)Curvelet變換

Curvelet變換在二維空間R2中實現(xiàn)，x為空間位置參量，定義在尺度2-j、方向θl、位置參數(shù)(k1,k2)∈Z2處的Curvelet為：

φj,l,k(x)=φj(Rθl(x-xkj,l))

(1)

因此，同小波理論一樣，Curvelet變換可以以內(nèi)積形式定義為：

(2)

其重構(gòu)公式為：

(3)

2.2 離散Curvelet變換

以笛卡爾坐標(biāo)系下的f[t1,t2](0≤t1,t2

(4)

φj(w1,w2)=φ(2-jw1)φ(2-jw2),0≤φ≤1

(5)

定義：

Vj(w)=V(2?j/2」)w2/w1

(6)

然后用Wj和Vj定義笛卡爾坐標(biāo)系下的窗函數(shù)：

(7)

定義：

(8)

2.3 基于Wrapping的快速離散Curvelet變換實現(xiàn)方法

此算法的核心思想是：環(huán)繞原點進行Wrap，在任意區(qū)域位置上，采取周期化技術(shù)逐一映射到原點的仿射區(qū)域。具體算法過程如下：

(3)Wrap上步得到的乘積結(jié)果，圍繞原點包裝用下式局部化：

(9)

其中，0≤n1≤L1j,0≤n2≤L2j。

3 基于Curvelet的指紋圖像去噪方法

與經(jīng)典的小波理論相比，Curvelet變換作為一種新型多尺度幾何分析方法在對二維圖像中的各種直線或者曲線等邊緣信息進行分析時具備更明顯的優(yōu)勢，而且擁有更高的逼近精度和更好的稀疏表達(dá)能力[5]，因此將Curvelet變換引入線狀特征信息明顯的指紋圖像中能夠更好地消除圖像噪聲，同時保留邊緣特征和細(xì)節(jié)信息。由Curvelet變換理論可以得到如下結(jié)論：因為Curvelet系數(shù)是由圖像函數(shù)f與Curvelet基函數(shù)φj,l,k作內(nèi)積產(chǎn)生的，所以當(dāng)Curvelet基函數(shù)與圖像邊緣輪廓的方向一致時會產(chǎn)生比較大的系數(shù)，相反，圖像中含有的噪聲與基函數(shù)內(nèi)積后會產(chǎn)生較小的Curvelet系數(shù)[6]。因此為了去除噪聲，可以采用閾值方法保留大的系數(shù)，舍棄較小的系數(shù)，而且不損失邊緣細(xì)節(jié)。目前通常采用的閾值處理方法有軟閾值、硬閾值、軟硬折衷閾值[7]等。因此，閾值和閾值函數(shù)的合理選取成為Curvelet去噪方法中至關(guān)重要的兩個決定性因素。

3.1 改進的自適應(yīng)閾值方案

λj=kσσj

(10)

其中，k為各層子帶中設(shè)置的尺度依賴常數(shù)[8-9]。k為實驗確定的經(jīng)驗數(shù)值，一般在低尺度上較小，高尺度較大。閾值選取合理是閾值型去噪方法中的關(guān)鍵一步，如果閾值選取過大，會使圖像自身的邊緣紋理等重要細(xì)節(jié)特征丟失，而閾值選取過小，會使噪聲無法得到有效抑制。文中在式10的基礎(chǔ)上提出新的自適應(yīng)閾值選取方案：

(11)

其中，α(α∈(0,1))為自適應(yīng)尺度調(diào)節(jié)因子；J為分解的總層數(shù)。上式中分別以αj和(1+αj)在各低尺度和最高尺度替換式10中確定的經(jīng)驗數(shù)值k，從而通過調(diào)節(jié)參數(shù)α的大小使得各層閾值得到自適應(yīng)調(diào)節(jié)，避免了原閾值選取不夠靈活的缺陷，使得各高頻子帶的噪聲Curvelet系數(shù)和原始圖像信號Curvelet系數(shù)能夠更好地得到分離，達(dá)到更好的去噪效果。

文中J和α的取值分別為6和0.46。

3.2 閾值函數(shù)的選擇

(12)

3.3 改進算法步驟

(1)運用基于Wrapping的快速離散算法，對含噪圖像進行Curvelet變換，從而得到各尺度各方向的Curvelet系數(shù)cD(j,l,k)；

4 實驗結(jié)果與分析

為驗證基于Wrapping的自適應(yīng)閾值和改良折衷閾值函數(shù)的算法的優(yōu)越性，選取指紋數(shù)據(jù)庫中340×389的指紋圖像作為實驗對象。對比三種算法的去噪結(jié)果：Curvelet硬閾值去噪、Curvelet軟閾值去噪、Curvelet軟硬折衷閾值去噪(簡稱算法一、二、三)。選取峰值信噪比和去噪后的視覺效果作為評價指標(biāo)。

PSNR的定義為：

(13)

圖2是指紋圖像在標(biāo)準(zhǔn)差σ=20的高斯白噪聲情況下，利用各種去噪算法得到的指紋圖像?？梢钥闯?，幾種Curvelet去噪算法都能對噪聲起到很好的抑制作用。但算法二的去噪效果相較于其他幾種算法視覺效果較差，出現(xiàn)了輕微的模糊失真。從表1的軟閾值去噪后的PSNR值略低于其他幾種算法也可得到驗證。因此在實際應(yīng)用中更傾向于硬閾值去噪方法。文中提出的方法利用自適應(yīng)閾值和改進閾值函數(shù)的方法更好地將噪聲Curvelet系數(shù)去除，從而更為有效地保留了各個高頻子帶原始指紋圖像Curvelet系數(shù)，保持了圖像的邊緣部分和紋理細(xì)節(jié)信息，改善和提升了視覺效果，去噪效果更接近原指紋圖像。

表1給出了指紋圖像加入不同方差的高斯白噪聲時，各種去噪算法的峰值信噪比的比較結(jié)果?？梢钥闯?，算法一，三去噪水平相當(dāng)，但要優(yōu)于算法二。文中算法使得去噪后的信噪比相較于其他三種算法具有較大的提高，去噪效果明顯。

表1 指紋含噪圖像和去噪后指紋圖像峰值信噪比對比結(jié)果 dB

5 結(jié)束語

文中提出一種改進的多尺度自適應(yīng)閾值選取方案，并與新型的閾值函數(shù)相結(jié)合，采用基于Wrapping的快速離散Curvelet變換算法進行指紋圖像去噪，克服了傳統(tǒng)軟、硬閾值去噪的不足之處，不僅使得去噪后的圖像邊緣紋理細(xì)節(jié)得到了更好的保持，而且使圖像信噪比顯著提高約1 dB左右，獲得了更好的視覺效果，展現(xiàn)了Curvelet多尺度幾何分析工具在指紋圖像預(yù)處理領(lǐng)域較好的應(yīng)用前景和極有價值的探索意義。

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