朱 超，屈曉旭，婁景藝

（海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430033）

0 引 言

時(shí)延作為用來(lái)表征信號(hào)特征的一個(gè)重要參數(shù)，隨著信號(hào)處理技術(shù)的廣泛應(yīng)用，如何快速準(zhǔn)確地獲得信號(hào)的時(shí)延，成為信號(hào)分析與處理領(lǐng)域人們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。時(shí)延估計(jì)要解決的主要問(wèn)題是對(duì)接收目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行處理，準(zhǔn)確快速地估計(jì)和測(cè)量接收信號(hào)之間因信號(hào)傳播過(guò)程中通道的不同而引起的時(shí)間延遲[1]。目前，應(yīng)用于時(shí)延估計(jì)的技術(shù)有廣義互相關(guān)法、二次相關(guān)法、LMS自適應(yīng)濾波器法、高階累積量法和廣義雙譜法等[2]，盡管以上算法原理有所不同，但是它們之間總存在信號(hào)相關(guān)性的成分。所以，研究廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法對(duì)需要處理時(shí)延的有關(guān)領(lǐng)域具有重要意義。由于廣義相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法簡(jiǎn)單、計(jì)算量小，其應(yīng)用比較廣泛。本文對(duì)廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法原理進(jìn)行研究，并利用廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法的不同加權(quán)函數(shù)進(jìn)行仿真比較，分析了其各自的優(yōu)點(diǎn)與不足。

1 基本互相關(guān)的時(shí)延估計(jì)算法

互相關(guān)（CC）是用來(lái)比較兩個(gè)信號(hào)或函數(shù)在時(shí)域相似程度的基本方法。時(shí)延估計(jì)的基本思想是利用兩個(gè)接收信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)來(lái)估計(jì)時(shí)間延遲[3]。時(shí)延估計(jì)算法可以通過(guò)以下兩個(gè)信號(hào)模型來(lái)分析：信源發(fā)射信號(hào)s(t)經(jīng)兩個(gè)傳輸通道傳輸?shù)倪^(guò)程中加入了伴有噪聲的信號(hào)x1(t)和x2(t)。設(shè)信號(hào)x1(t)和x2(t)滿足：

其中，A1和A2是發(fā)射信號(hào)的幅度參量，表示s(t)經(jīng)不同通道傳輸后的幅度增益和相位偏移。n1(t)和n2(t)代表未知的加性平穩(wěn)高斯白噪聲，τ1和τ2表示信號(hào)傳輸?shù)臅r(shí)延，且τ1≤τ2。為表達(dá)方便，以x1(t)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行歸一化，則式（1）可以重新表示為：

式（2）離散形式為：

其中λ=A2/A1，表示兩個(gè)接收信號(hào)的幅值比；D=τ2-τ1，表示所求時(shí)延值。

x1(t)和x2(t)的互相關(guān)函數(shù)表示為：

假設(shè)n1(t)和n2(t)是獨(dú)立于s(t)平穩(wěn)不相關(guān)的高斯白噪聲，則兩個(gè)噪聲n1(t)、n2(t)與信號(hào)s(t)的互相關(guān)函數(shù)為：

噪聲n1(t)與n2(t)的互相關(guān)函數(shù)為：

則：

由自相關(guān)函數(shù)|RSS(τ)|≤Rss(0)的性質(zhì)可知，當(dāng)τ=D時(shí)，Rss(τ-D)最大，即R12(τ)也達(dá)到最大。因此，求得R12(τ)峰值對(duì)應(yīng)的τ，就是兩個(gè)接收信號(hào)之間的時(shí)延。

在以上推導(dǎo)過(guò)程中，假設(shè)信源發(fā)射信號(hào)與噪聲信號(hào)之間、噪聲信號(hào)與噪聲信號(hào)之間都是不相關(guān)的，式（4）中的信號(hào)也被默認(rèn)是無(wú)限長(zhǎng)的序列。但是，在實(shí)際時(shí)延估計(jì)過(guò)程中，由于采集到的接收信號(hào)序列長(zhǎng)度不可能無(wú)限長(zhǎng)，時(shí)延估計(jì)時(shí)只能用有限長(zhǎng)序列的信號(hào)代替推導(dǎo)中的無(wú)限長(zhǎng)序列信號(hào)。此外，受到實(shí)際操作中信號(hào)噪聲的相關(guān)性和其他不良因素的影響，式（4）中的計(jì)算結(jié)果并不準(zhǔn)確，相關(guān)函數(shù)的最大值可能會(huì)被弱化，甚至?xí)霈F(xiàn)多個(gè)峰值，由此帶來(lái)的誤差會(huì)影響時(shí)延估計(jì)的穩(wěn)定性。

2 廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法

為了克服基本互相關(guān)的時(shí)延估計(jì)中的缺陷，提出了廣義互相關(guān)（Generalized Cross Correlation，GCC）時(shí)延估計(jì)算法。它利用加權(quán)函數(shù)增強(qiáng)信號(hào)中信噪比的作用，從而提高了時(shí)延估計(jì)精度[4]。利用兩個(gè)接收信號(hào)x1(t)和x2(t)進(jìn)行基于加權(quán)函數(shù)的廣義互相關(guān)來(lái)估計(jì)時(shí)間延遲，是此算法的基本思想。在此基礎(chǔ)之上，通過(guò)頻域加權(quán)函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行前置濾波，盡量抑制噪聲的干擾，然后對(duì)加權(quán)后的函數(shù)進(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算可獲得其峰值，工作原理如圖1所示。

圖1 廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)工作原理

根據(jù)維納—辛欽定理可知，互相關(guān)函數(shù)與其互功率譜密度互為傅里葉變換對(duì)，則x1(t)和x2(t)的互相關(guān)函數(shù)又可以表示為：

其中，G12(ω)是x1(t)和x2(t)的互功率譜函數(shù)。當(dāng)x1(t)和x2(t)經(jīng)過(guò)濾波后，輸出信號(hào)的互功率譜函數(shù)可以寫(xiě)為：

其中，H1和H2表示濾波函數(shù)，(ω)表示H2(ω)取共軛。所以，信號(hào)x1(t)和x2(t)的廣義互相關(guān)函數(shù)可表示為：

其中，ψ12(ω)=H1(ω)H2*(ω)，表示廣義頻域加權(quán)分量。在時(shí)延估計(jì)過(guò)程中，可以通過(guò)選取不同加權(quán)函數(shù)來(lái)針對(duì)不同類型的干擾噪聲進(jìn)行適當(dāng)?shù)臑V波處理，從而有效抑制噪聲干擾的影響[5]，然后會(huì)使得R12(τ)有一個(gè)峰值相對(duì)較大、較尖銳，其對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為所求時(shí)延，從而提高時(shí)延估計(jì)精度。

廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法流程，如圖2所示，圖中( )*表示取共軛運(yùn)算。

圖2 廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法流程

在廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法流程中，先對(duì)兩個(gè)通道的接收信號(hào)分別進(jìn)行快速傅里葉變換FFT（Fast Fourier Transform），然后計(jì)算它們的互功率譜，在頻域?qū)邮招盘?hào)的互功率譜G12(ω)進(jìn)行加權(quán)函數(shù)計(jì)算，將結(jié)果進(jìn)行快速傅里葉逆變換IFFT（Inverse Fast Fourier Transform），最后得到的互相關(guān)函數(shù)的峰值就對(duì)應(yīng)了兩個(gè)通道的接收信號(hào)的時(shí)延差τ。為了比較不同加權(quán)函數(shù)對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行濾波的效果，本文采用了加權(quán)函數(shù)，如表1所示。

表1 加權(quán)函數(shù)表達(dá)式及其特性

3 仿真與分析

為了分析研究不同加權(quán)函數(shù)在不同信噪比環(huán)境下廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法對(duì)時(shí)延估計(jì)性能的影響，下面通過(guò)MATLAB構(gòu)造加有平穩(wěn)高斯白噪聲的兩個(gè)通道接收信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真中采用的信號(hào)是幅度為5、頻率為10 kHz、長(zhǎng)度為1 024的正弦波信號(hào)，采用500 kHz的采樣頻率對(duì)兩個(gè)通道接收到的信號(hào)進(jìn)行采樣。假設(shè)兩個(gè)信號(hào)之間延遲為10個(gè)采樣間隔，即延遲時(shí)間τ=0.02 ms的正弦波來(lái)仿真模擬兩個(gè)不同通道的接收信號(hào)，其中噪聲是平穩(wěn)高斯白噪聲。假設(shè)信號(hào)與噪聲、噪聲與噪聲都是相互獨(dú)立的，在信噪比為10 dB的環(huán)境下，兩個(gè)仿真接收信號(hào)的波形如圖3所示，基本互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法的仿真結(jié)果如圖4所示。采用PHAT加權(quán)函數(shù)算法、Roth加權(quán)函數(shù)算法、SCOT加權(quán)函數(shù)算法和HB加權(quán)函數(shù)算法的廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法，仿真結(jié)果分別如圖5（a）、圖5（b）、圖5（c）和圖5（d）所示。

通過(guò)對(duì)比圖4和圖5可以看出，利用廣義互相關(guān)得到的時(shí)延估計(jì)消弱了接收信號(hào)中周期性干擾信號(hào)的影響，且其互相關(guān)函數(shù)峰值也更尖銳。其中，Roth加權(quán)函數(shù)算法表現(xiàn)出的抗干擾噪聲能力較弱，且時(shí)延估計(jì)仿真中出現(xiàn)了次峰波動(dòng)較大的現(xiàn)象，進(jìn)而其互相關(guān)函數(shù)的主峰值則幾乎淹沒(méi)在噪聲干擾中。HB加權(quán)函數(shù)算法相比PHAT加權(quán)函數(shù)算法、SCOT加權(quán)函數(shù)算法和Roth加權(quán)函數(shù)算法的互相關(guān)函數(shù)的峰值，更加尖銳。HB加權(quán)函數(shù)算法的相關(guān)函數(shù)主峰值受次峰值影響較小，抗噪聲干擾能力得到了提高，所以能夠表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性，但也存在次峰波動(dòng)現(xiàn)象。

圖3 兩個(gè)仿真接收信號(hào)波形

圖4 基本互相關(guān)算法仿真結(jié)果

圖5 信噪比10 dB時(shí)不同加權(quán)算法比較

在信噪比為20 dB的環(huán)境噪聲下，不同加權(quán)函數(shù)算法時(shí)延估計(jì)算法仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 信噪比20 dB時(shí)不同加權(quán)算法比較

通過(guò)比較圖5和圖6可知，隨著信噪比的增高，幾種加權(quán)函數(shù)算法時(shí)延估計(jì)的仿真效果對(duì)比較為鮮明。信噪比較高時(shí)，4種加權(quán)函數(shù)算法時(shí)延估計(jì)的互相關(guān)函數(shù)峰值均被明顯凸現(xiàn)出來(lái)，而Roth的峰值受噪聲影響較大，即抗噪聲性能也比另外3種略弱。隨著信噪比的降低可以看出，經(jīng)Roth加權(quán)函數(shù)算法處理后的峰值幾乎被淹沒(méi)在噪聲中，另外3種加權(quán)函數(shù)算法對(duì)接收信號(hào)的互相關(guān)處理后，峰值也會(huì)有所減弱，但還具有一定的抑制噪聲能力。

在信號(hào)長(zhǎng)度為1 024、采樣頻率為500 kHz的MATLAB仿真中發(fā)現(xiàn)，時(shí)延估計(jì)的精確性達(dá)不到期望的理想狀態(tài)。為了分析接收信號(hào)的長(zhǎng)度對(duì)廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)在不同加權(quán)函數(shù)算法的性能影響，本文在信噪比為40 dB的環(huán)境噪聲下，采用兩個(gè)不同通道的接收信號(hào)幅度為5、頻率為10 kHz、信號(hào)長(zhǎng)度為1 024 000的正弦信號(hào)，采用的采樣頻率同樣是500 kHz，兩個(gè)信號(hào)之間的延遲為10個(gè)采樣間隔時(shí)的時(shí)延估計(jì)仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 信號(hào)長(zhǎng)度1 024 000時(shí)不同加權(quán)算法比較

在不同長(zhǎng)度的接收信號(hào)仿真中，信號(hào)長(zhǎng)度越長(zhǎng)，不同加權(quán)函數(shù)算法的廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)總體效果越穩(wěn)定，其中PHAT加權(quán)函數(shù)算法、SCOT加權(quán)函數(shù)算法和HB加權(quán)函數(shù)算法的時(shí)延估計(jì)最接近，都比Roth加權(quán)函數(shù)算法有更高的抗噪聲性能。仿真也發(fā)現(xiàn)，隨著信號(hào)長(zhǎng)度的減小，廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)精度性能達(dá)不到估計(jì)效果，從而導(dǎo)致時(shí)延估計(jì)失效。

信號(hào)長(zhǎng)度為1 024 000、估計(jì)延時(shí)為0.02 ms時(shí)，不同加權(quán)函數(shù)算法仿真運(yùn)行結(jié)果如表2所示。

表2 不同加權(quán)函數(shù)算法仿真運(yùn)行結(jié)果

從表2的運(yùn)行結(jié)果可以看出，不同加權(quán)函數(shù)算法估計(jì)時(shí)延的時(shí)間是不同的。通過(guò)仿真得知，信號(hào)長(zhǎng)度越長(zhǎng)，算法運(yùn)行時(shí)間越久，相同信號(hào)長(zhǎng)度的時(shí)延估計(jì)中，Roth加權(quán)函數(shù)算法運(yùn)行時(shí)間最短，HB加權(quán)函數(shù)算法運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)。

綜合以上分析結(jié)果可以得出，HB加權(quán)函數(shù)算法的互相關(guān)函數(shù)值的峰值更為尖銳，相對(duì)次峰更少，所以受次峰值影響較小。信噪比越大，接收信號(hào)的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，算法用時(shí)越多，同時(shí)時(shí)延估計(jì)的準(zhǔn)確性越高。相同接收信號(hào)長(zhǎng)度，不同加權(quán)函數(shù)算法的時(shí)延估計(jì)時(shí)間也略有差別。使用HB加權(quán)函數(shù)算法得到的時(shí)延估計(jì)性，在以上4種加權(quán)函數(shù)算法中，抗噪性能和時(shí)延估計(jì)精度表現(xiàn)最好，即表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性。

4 結(jié) 語(yǔ)

廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法是信號(hào)處理中時(shí)延估計(jì)領(lǐng)域的經(jīng)典算法，具有較高的估計(jì)精度。但是，在低信噪比情況下，次峰值波動(dòng)明顯且使得相關(guān)函數(shù)的峰值受到壓制，估計(jì)性能會(huì)惡化。本文經(jīng)MATLAB仿真研究得出：信噪比越大，接收信號(hào)長(zhǎng)度越長(zhǎng)，時(shí)延估計(jì)效果越理想；Roth加權(quán)函數(shù)算法具有一定的抗噪聲能力，但其性能相比于SCOT加權(quán)函數(shù)算法、HB加權(quán)函數(shù)算法及PHAT加權(quán)函數(shù)算法，表現(xiàn)略有不足，HB加權(quán)函數(shù)算法表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性。本文只是進(jìn)行了廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法的理論研究，實(shí)際中應(yīng)該根據(jù)具體實(shí)際環(huán)境選取不同的算法。時(shí)延估計(jì)技術(shù)在雷達(dá)、衛(wèi)星、聲吶等領(lǐng)域均有重要的應(yīng)用，所以如何在低信噪比環(huán)境下改進(jìn)廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法，是今后需要研究的重點(diǎn)和方向。

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