朱 皓，唐川雁

（杭州電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018）

0 引 言

在稀疏碼分多址技術(shù)（SCMA）中，發(fā)送端稀疏碼本的設(shè)計(jì)直接決定了可獲得的系統(tǒng)性能增益，同時(shí)也決定了接收機(jī)設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度?？蚣苁且环N類似正交基的序列集合，但是其元素之間是線性相關(guān)的，具有一定的冗余性。相比正交基對(duì)于元素表示的唯一性，框架的使用更為靈活。近年來(lái)，隨著框架理論的研究與發(fā)展，它在量子信息理論、壓縮感知和代數(shù)編碼理論等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-4]?？蚣芾碚撝校冉蔷o框架（Equiangular Tight Frame，ETF）是一種具有良好相關(guān)特性的框架，每個(gè)框架元素都有很低的峰均功率比（Peakto-Average Ration，PAR），使框架元素間的互相關(guān)度達(dá)到了最小，十分適用于SCMA。但是，現(xiàn)有的ETF構(gòu)造方法十分有限[5]，無(wú)法得到滿足SCMA要求的高維碼本。因此，本文闡述等角緊框架的基本概念，介紹了射影和仿射平面的相關(guān)知識(shí)，提出了一種基于仿射平面的高維等角緊框架構(gòu)造方法，并用此方法構(gòu)造了一個(gè)19維空間中包含76個(gè)向量的復(fù)數(shù)等角緊框架，解決了實(shí)數(shù)框架無(wú)法實(shí)現(xiàn)的難題。

1 框架及等角緊框架

對(duì)于 Hilbert空間的一組序列 {φj}j∈J，如果存在常數(shù)A和B滿足0＜A,B＜∞，使對(duì)于所有f∈H，滿足不等式：

則稱{φj}j∈J為空間H的一個(gè)框架，A和B為其上下界。設(shè)F是實(shí)數(shù)或者虛數(shù)域，H是F中d維實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)希爾伯特內(nèi)積空間，{φj}j∈J是H中任意非零單位范數(shù)框架，它的合成算子Φ為Fn→Hd，n≥d。若存在a＞0滿足ΦΦ*=aI，則該框架為緊框架。若對(duì)于框架中所有向量有||φi||2=r，r＞0，說(shuō)明這是單位范數(shù)框架。若單位范數(shù)框架中任意向量間存在|〈φi,φj〉|=w，i≠j，則該框架為等角框架。如果{φj}j∈J即是等角框架又是緊框架，那么該框架為等角緊框架。

{φj}j∈J的最大互相關(guān)度可定義為：

當(dāng){φj}j∈J為等角緊框架時(shí)，框架的最大互相關(guān)度滿足Welch界[6]，即式（2）中等號(hào)成立。

2 有限射影和仿射平面

在平衡不完全區(qū)組（BIBD）中，有限集V由v個(gè)處理組成。B是V的子集，它由b個(gè)區(qū)組組成，存在正整數(shù)λ、k、r滿足：

（1）每個(gè)區(qū)組都包含k個(gè)處理；

（2）每個(gè)處理恰好存在于r個(gè)區(qū)組中；

（3）任意一對(duì)處理恰好存在于λ個(gè)區(qū)組中。

當(dāng)滿足：

其中，大小為b×v的矩陣X是一個(gè)BIBD關(guān)聯(lián)矩陣。這里1表示全1向量，J表示全1矩陣。根據(jù)v、k、λ，可以得到r、b：

這種關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)通常被稱為2-(v,k,λ)，表示為BIBD(v,k,λ)。

當(dāng)BIBD中λ=1時(shí)，可以得到斯坦納等角緊框架，這也意味著兩個(gè)不同的處理決定一個(gè)唯一的區(qū)組。實(shí)際上，這種BIBD典型例子是有限仿射和射影平面，即BIBD(q2,q,1)和BIBD(q2+q+1,q+1,1)，q≥2。當(dāng)q=2時(shí)，可以分別得到以下關(guān)聯(lián)矩陣X：

定義1[7]：假設(shè)X為BIBD(v,k,1)的一個(gè)b×v關(guān)聯(lián)矩陣。對(duì)于任意j=1,…,v對(duì)應(yīng)的嵌入（embedding）是Ej:Fr→Fb，即Fr的標(biāo)準(zhǔn)基映射為Fb中r維子空間的標(biāo)準(zhǔn)基。

對(duì)于任意BIBD(v,k,1)和幺模單形{sl}r+1l=1，對(duì)應(yīng)的斯坦納等角緊框架就是{Ejsl}vr+1j=1,l=1。這里，v(r+1)個(gè)向量組成一個(gè)等角緊框架[7-8]，它們的合成算子為：

Φ=[E1S…EvS] （6）

對(duì)于一個(gè)BIBD(q2,q,1)，如果假設(shè)r-k=1，那么任何處理若不存在一個(gè)區(qū)組中，那么一定恰好存在于一個(gè)不相交區(qū)組中。這意味著如果區(qū)組i和i'不相交，且i'和i''也不相交，那么i與i''相等或者不相交。當(dāng)兩個(gè)區(qū)組不相交或者相等時(shí)，這兩個(gè)區(qū)組平行，因此平行性是仿射平面上區(qū)組的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。這說(shuō)明任意仿射平面是可解析的，即它的區(qū)組集合B可以表示成不相交的子集集合{Br}r∈R。例如，式（5）中的二階仿射平面就是可解析的，第1、2行，第3、4行，第5、6行分別形成了B的一個(gè)子集。正因?yàn)榉律淦矫婵山馕觯詑階仿射平面均可擴(kuò)展成q階的射影平面。

射影平面是對(duì)稱BIBD，即v=b。通常，BIBD(v,k,λ)是通過(guò)交換處理和區(qū)組的角色或者取其關(guān)聯(lián)矩陣的轉(zhuǎn)置X的轉(zhuǎn)置得到的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。通過(guò)式（4）可以推出，同時(shí)通過(guò)式（3）推出的列是標(biāo)準(zhǔn)正交的。當(dāng)BIBD對(duì)稱時(shí)，這個(gè)矩陣是方陣且它的行也必定正交，這意味著XXT=(k-λ)I+λJ。因此，對(duì)稱BIBD(v,k,1)的對(duì)偶是另一種BIBD(v,k,1)。所以，任何射影平面的對(duì)偶也是另一種射影平面。

定理1：當(dāng)q為素?cái)?shù)冪時(shí)，一定存在q階仿射和射影平面正則構(gòu)造。

證明：假設(shè)Fq是包含q個(gè)元素的域，使V=F2q，B為這個(gè)向量空間所有仿射線的集合，組成一個(gè)仿射平面，即：

其中(d,e)≠(0,0)，f為變量。處理和區(qū)組分別對(duì)應(yīng)Fq3中一維和二維子空間。

使[x,y,z]表示所有非零標(biāo)量集乘一個(gè)非零向量(x,y,z)∈Fq

3。為了形成射影平面，需使V成為所有[x,y,z]的集合，使B成為這種構(gòu)造的集合：

映射(x,y)?[x,y,1]將正則仿射幾何嵌入到這個(gè)射影幾何中：對(duì)于任意(d,e)≠(0,0)的[d,e,f ]，式（8）是在此映射條件下對(duì)式（7）的映像。這里，將等同為域Fq3的加法群，α為循環(huán)乘法群的生成集合，且使 (x,y,z):=x+yα+zα2,x,y,z∈ Fq。因?yàn)槊總€(gè)[x,y,z]包含所有非零標(biāo)量乘非零向量(x,y,z)，所以這是商群唯一的元素。

3 基于仿射平面構(gòu)造高維等角緊框架

歸納總結(jié)文獻(xiàn)[8-9]中的斯坦納等角緊構(gòu)造方法，可以得到新的復(fù)數(shù)等角緊框架構(gòu)造方法。對(duì)于任意e≥1，d維復(fù)數(shù)希爾伯特空間中n個(gè)向量組成的等角緊框架滿足：

q階射影平面上的橢圓是q+2個(gè)處理的集合，此時(shí)不存在3個(gè)處理位于同一公共區(qū)組上，即不存在3個(gè)對(duì)應(yīng)的向量線性相關(guān)。比如，式（5）中2階射影平面前4個(gè)處理（列）是一個(gè)橢圓，因?yàn)闆](méi)有區(qū)組（行）同時(shí)包含其中3個(gè)處理。橢圓將射影平面分解成其他幾個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。

引理1：如果一個(gè)q階射影平面包含一個(gè)橢圓，那它必定有如下相關(guān)矩陣：

X1,1是BIBD(q+2,2,1)的關(guān)聯(lián)矩陣，這里X1,1的列對(duì)應(yīng)橢圓中的處理，q為偶數(shù)，且XT2,2是的關(guān)聯(lián)矩陣。

證明：假設(shè)一個(gè)BIBD(q+2,2,1)包含u個(gè)特殊處理，它們不能3個(gè)同時(shí)存在于一個(gè)區(qū)組中，關(guān)聯(lián)矩陣X的前u列對(duì)應(yīng)這些特殊的處理。這種特殊的處理-區(qū)組（vertex-block）對(duì)的數(shù)量為：

同時(shí)，每個(gè)不同特殊處理的對(duì)決定了唯一的區(qū)組，所以：

當(dāng)u=q+2時(shí)，式（13）中等式成立，即所有特殊的處理-區(qū)組對(duì)都在包含2個(gè)特殊處理的區(qū)組中，也就是說(shuō)當(dāng)射影平面包含一個(gè)橢圓時(shí)，存在處理和區(qū)組的枚舉。所以，X1,1是BIBD(q+2,2,1)的關(guān)聯(lián)矩陣。通過(guò)式（4）可以得到X1,1大小為(q2-1)。由于射影平面的對(duì)偶是另一個(gè)射影平面，所以XXT=qI+J，那么X,=qI+J，從而推出

2,2的關(guān)聯(lián)矩陣。

當(dāng)q為素?cái)?shù)的冪時(shí)，存在q階射影平面，而當(dāng)射影平面包含橢圓時(shí)，q需要為偶數(shù)，那么q=2e，e≥1。對(duì)于q=2e階正則射影平面，它的正則橢圓為：

引理2：如果一個(gè)q階射影平面包含一個(gè)橢圓，那么它的對(duì)偶存在關(guān)聯(lián)矩陣：

其中Y1,1是(q+2,2,1)。將Y中最后q+2行中任意一行和最后q+1列移除，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)q階仿射平面，它存在關(guān)聯(lián)矩陣：是BIBD

其中是BIBD(q+1,2,1)的關(guān)聯(lián)矩陣。

證明：取引理1中給出分解出的轉(zhuǎn)置式，交換其行和列可以得到式（15）。將Y中單個(gè)區(qū)組（行）與它包含的q+1個(gè)處理（列）移除，可以得到一個(gè)q階仿射平面。選出最后q+2個(gè)區(qū)組中的其中一個(gè)，移除Y2,2中一行和q+2個(gè)列，移除0中的一行，移除Y1,2中q+1個(gè)列并保留Y1,1不變，即可得到式（16）。因?yàn)閅2,2的列表示q+2行，Z2,2的列表示剩余的q+1行，所以ZT2,2表示BIBD(q+1,2,1)的關(guān)聯(lián)矩陣。

例如，式（5）中的2階射影平面包含橢圓，因?yàn)樗稳缡剑?1）。先將其轉(zhuǎn)置，然后排列行和列，能得到形如式（15）射影平面的7×7的關(guān)聯(lián)矩陣：個(gè)幺模元素，所以||Ejsl||2=||sl||2=q+1。

因?yàn)槊總€(gè)Ej都是一個(gè)等距且{sl}lq+2是幺模單形，所以|〈Ejsl,Ejsl'〉|=|〈sl,sl'〉|=1，l≠l'；同理，|〈Ejcl,Ejcl'〉|=|〈cl,cl'〉|=1，l≠l'。而當(dāng)j≠n'時(shí)，會(huì)出現(xiàn)不同內(nèi)積：

第二個(gè)矩陣是一個(gè)形如式（16）仿射平面的關(guān)聯(lián)矩陣。這是第一個(gè)矩陣移除第4行和第2、3、4列得到的。

定理2：對(duì)于一個(gè)含有橢圓的q階射影平面，假設(shè)是由形如式（16）的仿射平面中產(chǎn)生的嵌入，假設(shè)和分別為Fq+1的幺模單形和幺模協(xié)單形，則有：

在設(shè)計(jì)的BIBD中任意兩個(gè)不同區(qū)組正好有一個(gè)共同的處理，這意味著Ej中某一列正好是Ej'的某一列，這時(shí)Ej是Fr中兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交元素的外積，即，有：

同理，可以得到式（19）中另外兩個(gè)內(nèi)積是。因?yàn)槊總€(gè)sl和cl的元素都為幺模數(shù)，所以這些內(nèi)積都為單位模量，滿足等角緊框架的構(gòu)造條件。

這是Fq(q+1)的q2+q-1維子空間中一個(gè)由q(q2+q-1)個(gè)向量組成的等角緊框架。

證明：當(dāng)n=q(q2+q-1)，d=q2+q-1時(shí)，Welch界

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)定義1可知，每個(gè)Ej都是一個(gè)等距（isometry），即Ej=I。因?yàn)槊總€(gè)sl和cl都含q+1

圖1是一個(gè)19維空間中包含76個(gè)向量的復(fù)數(shù)等角緊框架，滿足式（10），即n=76，d=19。為了提高可讀性，用字母表的前10個(gè)字母分別表示5×6的幺模單形和5×4的幺模協(xié)單形的行。

圖1 一個(gè)復(fù)數(shù)等角緊框架

參照引理2，從4階射影平面上的橢圓中分解出一個(gè)仿射平面，然后利用這個(gè)仿射平面將6個(gè)單形和14個(gè)協(xié)單形插入到C20中去。前36個(gè)向量形成了文獻(xiàn)[9]中的C15斯坦納等角緊框架，后40個(gè)向量是實(shí)數(shù)。通過(guò)用加法群Fq3=F64=Z2(α)定義，從而構(gòu)造了一個(gè)q=22=4的射影平面，其中α是Z2中多項(xiàng)式β6+β+1的根[10]。射影平面上的處理集合為V= =〈 αα〉//〈αα2211〉?ZZ2211，利用式（14）中的處理 {t+t2α+α2:t∈ F4}∪ {1}∪ {α}，取其對(duì)數(shù)基α得到橢圓{0,1,2,3,5,14}。這個(gè)橢圓提供了形如式（11）的21×21關(guān)聯(lián)矩陣。置換它的對(duì)偶，得到一個(gè)形如式（15）的矩陣。去掉該橢圓其中一行及其對(duì)應(yīng)的列，就能得到形如式（16）的20×16仿射平面。最后，驗(yàn)證可知該框架為等角緊框架。

5 結(jié) 語(yǔ)

在SCMA系統(tǒng)中，設(shè)計(jì)一個(gè)好的碼本可以在不增加功率和頻帶利用率的條件下降低系統(tǒng)誤碼率。等角緊框架元素間有最低的互相關(guān)度，非常適合組建系統(tǒng)的擴(kuò)頻碼本。但是，如今構(gòu)造高維等角緊框架十分困難。因此，本文提出了一種基于射影平面的等角緊框架構(gòu)造方法，可以有效構(gòu)造出高維等角緊框架，在實(shí)際SCMA擴(kuò)頻碼本的組建中具有重要價(jià)值。

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