張紀(jì)平，沈曉斌，石擎天

(1.泉州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362000; 2.福建省大數(shù)據(jù)管理新技術(shù)與知識工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 泉州 362000; 3.智能計(jì)算與信息處理福建省高等學(xué)校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 泉州 362000)

Antonelli與Matsumoto在文[1]中論述了“Constant-Berwald空間”(下面簡稱“C-B空間”)的重要性,該空間在物理與生態(tài)的發(fā)展扮演著重要角色，它不僅應(yīng)用到物理的“Volterra-Hamilton理論”且最近在生態(tài)上有重要新的應(yīng)用.本文闡明了C-B空間是常曲率Berwald空間并指出射影平坦的Berwald空間是常曲率Berwald空間，重點(diǎn)研究射影平坦的Berwald空間的特征刻劃,獲得了射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的若干個(gè)新的充要條件.

引理1“C-B空間”是常曲率Berwald空間.

從文[2]中(1.14)與定理1.8有

引理2射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的一個(gè)充要條件是

Gij=0.

下面研究射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的幾個(gè)新的充要條件.從文[3]中1.5(a)有

(1)

定理1射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的一個(gè)充要條件是

(n+1)Hi,j=-(N+1)?jGi-GiGj.

(2)

證明對于射影平坦的Finsler空間，從[4]有

(3)

與

(4)

其中：p為射影因子.又

這里-j|k表示j與k對調(diào)后兩式互減，于是

與

Hij=n?jpi-?ipj+(n-1)(pipj+ppij)-?opij.

上式分別與yi及yj縮并，有

Hoj=?jp-?opj+(n-1)ppj,

Hio=n?opi-?ip+(n-1)ppj.

從式(1)得

Hi=(n+1)(?ip+ppi).

(5)

Hi.j=(n+1)(?jpi+pipj+pipj+ppij).

利用引理2及式(5)知式(2)成立.

反之，由式(5)及式(2)有Gij=0,根據(jù)引理2知射影平坦的Finsler空間是Berwald空間.

定理2射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的一個(gè)的充要條件是

(6)

證明顯然有

利用式(4)與式(3)知

Pi;j=?ipj+2pipj+2ppij.

(7)

又Gi=-(n+1)pi關(guān)于yi微分,得

功夫不負(fù)有心人。經(jīng)過幾年努力，學(xué)校藝術(shù)生已經(jīng)占全校學(xué)生總數(shù)的一半以上，每個(gè)年級分別有音樂班、美術(shù)班和普通的文化班，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了多元選擇、個(gè)性發(fā)展。學(xué)校辦學(xué)業(yè)績有了顯著提高，大部分學(xué)生通過參加藝術(shù)類高考都能順利進(jìn)入大學(xué)深造。受到藝術(shù)生的感染和鼓舞，文化班的學(xué)生也不斷進(jìn)步，錄取率逐年上升，他們創(chuàng)造了一個(gè)又一個(gè)蝶變的奇跡。

Gij=-(n+1)pij.

(8)

從式(7)、(8)與引理2知式(6)成立.

反之，由式(6)～(8)有Gij=0根據(jù)引理2知射影平坦的Finsler空間是Berwald空間.

定理3射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的一個(gè)的充要條件

(n+1)?kyi=gikG+2yiGk-ykGi.

(9)

其中：G=Gkyk.

證明從文[5]有

gij;k=-2Cijk;o.

?kgij=2gijpk+gikpj+gjkpi+yipjk+yjpik+pCijk-2?oCijk.

(10)

式(10)與yi縮并，知

?kyi=-2yipk-gikp-ykpi-L2pik.

(11)

當(dāng)它是Berwald空間時(shí),從引理2有Gik=0,從而(9)式成立.

反之,由式(9)與式(11)得pik=0,借助引理2知射影平坦的Finsler空間是Berwald空間.

從式(10)中及引理2可得推論1.

推論1射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的一個(gè)充要條件是

(n+1)?kgij=-2gijGk-gikGj-gjkGi-4GCijk-2(n+1)?oCijk.

(12)

推論2射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的一個(gè)充要條件是

(n+1)?kli=Gilk+Gkli+Glik.

定理4射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的一個(gè)的充要條件是

(n+1)γiok=-yiGk-ykGi.

(13)

證明顯然有

(14)

利用式(12)有

(n+1)γiik=-giiGk-gikGi-yiGik-2GCiik-(n+1)?oCiik.

(15)

它與yj縮并有

(n+1)γiok=-yiGk-ykGi-L2Gik.

(16)

借助引理2,從式(16)可得式(13).

反之,由式(13)與式(16)可推出Gik=0,利用引理2充分性得證.

從式(15)知推論3成立.

推論3射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的一個(gè)充要條件是

(n+1)γiik=-giiGk-gikGi-2GCiik-(n+1)?oCiik.

利用式(4)與引理2又可得

推論4射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的一個(gè)充要條件是

定理 5射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的一個(gè)的充要條件是

(n+1)Pijk=GCijk+gijGk+gkjGi-(n+1)γijk.

(17)

證明從文[5]中有

gij;k=-2Cijk∶o,Cijk∶o=Pijk,

因而

gij;k=-2Pijk.

又

利用式(3)與式(4)得

-2Pijk=?kgij+2pCijk+gikpj+gjkpi+2gijpk+yipjk+yjpik.

(18)

從式(14)、(18)、(3)與(4)可得

(n+1)Pijk=GCijk+yiGik+gjkGk+gjkGi-(n+1)γijk.

(19)

當(dāng)射影平坦的Finsler空間是Berwald空間時(shí),從引理2有Gik=0,于是由式(19)可得式(17). 反之,對于射影平坦的Finsler空間,從式(19)與式(17)可推出Gik=0,充分性得證.

另一證明.也可由式(17)與yj縮并可推出式(13)成立.利用定理4可證明該定理.

從文[3]中知射影平坦的Finsler空間是純量曲率的Finsler空間,又對于Berwald空間有Gij=0,因此文[6]中定理4.5(4)a成立,從而有

定理6射影平坦的Berwald空間是具有常曲率的Finsler空間.

綜上，本文給出了射影平坦的Finsler空間是Berwald空間的9個(gè)新的充要條件，并證明了射影平坦的Berwald空間是具有常曲率的Finsler空間.