肖業(yè)紅

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修4（人民教育出版社A版）專門設(shè)置“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用”一節(jié)，目的是加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)周期變化規(guī)律，并將所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律抽象為恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型，利用三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、對(duì)稱性等性質(zhì)解決實(shí)際問題。在教材中，共用了4個(gè)例題來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用。

例1的題型是根據(jù)圖像求解析式，研究溫度隨時(shí)間變化呈周期性的變化的問題。例題給出了正弦類型函數(shù)模型 ，以及部分圖像和相關(guān)數(shù)據(jù)，要求求出一天的最大溫差和函數(shù)解析式。第一問最大溫差可以直接通過圖像看出，第二問求函數(shù)解析式，通過觀察圖像確定函數(shù)解析式中的 、 ；利用單調(diào)性確定函數(shù)的周期 ，確定 ；利用特殊點(diǎn)，通過化歸思想求出 。此題所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個(gè)時(shí)間段的溫度變化情況，因此要注重自變量的變化范圍。

例2的題型是根據(jù)解析式作出圖像，研究與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù) 的圖像及其周期性。本質(zhì)是根據(jù)解析式模型建立圖像模型，并根據(jù)圖像認(rèn)識(shí)性質(zhì)。

例3的題型是將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型，研究樓高與樓在地面的投影長(zhǎng)的關(guān)系問題。將實(shí)際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型，然后根據(jù)所得的函數(shù)模型解決問題。

例4的題型是利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合得到函數(shù)模型，研究港口海水深度隨時(shí)間變化呈周期變化的問題。題目中給出了時(shí)間與水深的相關(guān)數(shù)據(jù)表，這些數(shù)據(jù)帶有現(xiàn)實(shí)性，學(xué)生直接利用這些數(shù)據(jù)計(jì)算函數(shù)模型是非常困難的。引導(dǎo)學(xué)生將表中的數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)，畫出散點(diǎn)圖，通過觀察確定適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型。此題要根據(jù)實(shí)際背景對(duì)問題的進(jìn)行具體分析，考慮實(shí)際意義。

以上四個(gè)例題循序漸進(jìn)地分四個(gè)層次介紹了三角函數(shù)模型的應(yīng)用，總結(jié)出解三角函數(shù)型實(shí)際問題的步驟：

（一）讀懂題，進(jìn)行語言轉(zhuǎn)化，審清題意。三角函數(shù)型實(shí)際問題的語言形式多為文字語言和圖形語言并用，應(yīng)根據(jù)題目背景分析實(shí)際問題，尋找數(shù)學(xué)本質(zhì)因素。

（二）收集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，尋找變化規(guī)律，結(jié)合三角函數(shù)、物理、生物等相關(guān)知識(shí)，將實(shí)際問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，確定數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)問題數(shù)學(xué)化?；具^程是：收集數(shù)據(jù) 畫散點(diǎn)圖 選擇函數(shù)模型 求函數(shù)模型

（三）檢驗(yàn)。不符合實(shí)際要調(diào)整，重新建立函數(shù)模型。

（四）作出結(jié)論。用函數(shù)模型解決實(shí)際問題。

三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，貫穿于我們物理、生物等自然現(xiàn)象中，在現(xiàn)實(shí)生活中也有很多實(shí)際應(yīng)用。下面通過以下例題具體實(shí)踐。

一、在物理學(xué)中的應(yīng)用

例1 一個(gè)懸掛在彈簧上的小球，靜止，現(xiàn)從它的靜止位置鄉(xiāng)下拉0.2m的距離，在t=0時(shí)小球被放開并開始振動(dòng)，1秒后回到原位。（1）求出描述此小球運(yùn)動(dòng)的一個(gè)函數(shù)解析式（2）求當(dāng) 時(shí)小球所在的位置。

分析：物理學(xué)中的單擺、光波、機(jī)械波、電流等都具有周期性，且符合三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，因此可以借助三角函數(shù)模型來研究物理學(xué)中的相關(guān)現(xiàn)象。設(shè)函數(shù)的解析式為 ，由題意可知最低點(diǎn)距離平衡位置0.2m，在 和 時(shí)小球都在最低點(diǎn)的位置，由此可以確定 ，然后代入計(jì)算。

解：（1）取向上的位移為正，設(shè)在 秒時(shí)小球相對(duì)于靜止位置的位移為 ， ，由題意，可知

。又當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以 ，故 。

（2）令 ，則 。故 時(shí)，小球在靜止位置的上方0.2m處。

例2 交流電的電壓 （單位： ）與時(shí)間 （單位： ）的關(guān)系可用 來表示。求（1）開始時(shí)的電壓；（2）電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；（3）電壓的最大值和第一次獲得這個(gè)最大值的時(shí)間。

分析：（1）開始時(shí)的電壓即 時(shí)電壓 的值；（2）電壓每周期重復(fù)一次；（3）電壓的最大值可由關(guān)系式求出。

解：（1）當(dāng) 時(shí)， （V），即開始時(shí)的電壓為 。 ，即電壓重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔為 。電壓的最大值為 ，令 ，解得 ，即 時(shí)第一次取得這個(gè)最大值。

二、在生活中的應(yīng)用

例4 心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或者減少，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓、舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù) 為標(biāo)準(zhǔn)值。設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式 ，其中 為血壓（單位為 ）， 為時(shí)間（單位： ），回答下面問題。（1）求函數(shù) 的周期；（2）求此人每分鐘心跳的次數(shù)；（3）畫出函數(shù) 的草圖；（4）求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀書，并與標(biāo)準(zhǔn)值比較。

分析：函數(shù) 的實(shí)際應(yīng)用問題，常常涉及到函數(shù)周期、頻率、最值等，解題時(shí)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)問題是關(guān)鍵。本題（1）直接利用周期公式可以求出函數(shù)的周期；（2）每分鐘心跳的次數(shù)即頻率；（3）考慮用“五點(diǎn)法”作圖；（4）此人的收縮壓和舒張壓分別是函數(shù)的最大值和最小值，故可以求出此人血壓計(jì)上的讀數(shù)。

解：（1）因?yàn)?，帶入周期公式 ，可得 ，所以函數(shù) 的周期為 。

（2）每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率 次。

（3）列表

0

115 140 115 90 115

描點(diǎn)，連線并左右擴(kuò)展得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖（略）。

（4）此人的收縮壓為 （ ），舒張壓為 （ ）。與標(biāo)準(zhǔn)值 相比較，此人血壓偏高。

總之，用三角函數(shù)模型解決問題的關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，對(duì)問題作出合理的數(shù)學(xué)解釋，進(jìn)而把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。在解答過程中可能利用信息技術(shù)處理畫圖、求函數(shù)值、利用計(jì)算機(jī)的動(dòng)態(tài)演示功能觀察函數(shù)變化情況等，方便學(xué)生有更多的時(shí)間用于對(duì)問題本質(zhì)的理解。