樊鵬玄，陳務(wù)軍，張祎貝，趙 兵

(上海交通大學(xué) 空間結(jié)構(gòu)研究中心，上海 200240)

盤(pán)繞式伸展臂作為支撐構(gòu)件廣泛應(yīng)用于太陽(yáng)翼、太陽(yáng)帆、空間站等航天器[1-2]。具有構(gòu)造簡(jiǎn)捷、比剛度大、收納率高、成本低等優(yōu)點(diǎn)，是可展結(jié)構(gòu)中高效、可靠的典范。盤(pán)繞臂在航天器中的重要作用決定其振動(dòng)分析與控制是航天工程中的要點(diǎn)。目前針對(duì)盤(pán)繞臂的研究多集中于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與屈曲荷載[3-4]、展開(kāi)與收納的動(dòng)靜力學(xué)特性[5-6]。振動(dòng)分析方面，McEachen等[7-9]計(jì)算了盤(pán)繞臂線(xiàn)性振動(dòng)頻率并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。戈?yáng)|明、陳務(wù)軍等[10-12]進(jìn)行了盤(pán)繞臂展開(kāi)狀態(tài)的線(xiàn)性模態(tài)分析。韓建斌等[13]用縮小彈性模量的方法描述三角框受壓屈曲狀態(tài)，采用分段線(xiàn)性模型描述加勁索松弛前后的盤(pán)繞臂振動(dòng)力學(xué)性能，對(duì)加勁索松弛前后的盤(pán)繞臂分別進(jìn)行了模態(tài)分析。

盤(pán)繞臂屬柔性可展開(kāi)結(jié)構(gòu)體系，結(jié)構(gòu)剛度受加勁索預(yù)應(yīng)力影響較大。加勁索中的預(yù)應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)具有加載作用，引發(fā)P-Δ效應(yīng)，要準(zhǔn)確獲取預(yù)應(yīng)力對(duì)盤(pán)繞臂自振頻率、模態(tài)的影響須考慮此幾何非線(xiàn)性的影響；航天器在太空中受到?jīng)_擊荷載以及盤(pán)繞臂展開(kāi)結(jié)束時(shí)，盤(pán)繞臂將發(fā)生加勁索高頻交替張弛的大幅度振動(dòng)，故考慮大幅振動(dòng)下?tīng)顟B(tài)非線(xiàn)性因素進(jìn)行振動(dòng)分析與控制也是盤(pán)繞臂設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

以往的報(bào)道尚未對(duì)預(yù)應(yīng)力加載作用引發(fā)P-Δ效應(yīng)的影響以及大幅振動(dòng)下加勁索高頻交替張弛引發(fā)的狀態(tài)非線(xiàn)性進(jìn)行研究，文章將針對(duì)兩個(gè)問(wèn)題分別進(jìn)行計(jì)算。首先采用幾何精確理論及結(jié)構(gòu)屈曲分析理論推導(dǎo)加勁索的預(yù)應(yīng)力取值范圍，然后進(jìn)行振動(dòng)分析。小幅振動(dòng)時(shí)，采用增量有限元法考慮預(yù)應(yīng)力加載作用引發(fā)幾何非線(xiàn)性對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)和頻率的影響，得出小幅振動(dòng)下使結(jié)構(gòu)自振頻率最大的預(yù)應(yīng)力取值，并繪制設(shè)計(jì)用“頻率-預(yù)應(yīng)力-直徑”參考面，在參考面內(nèi)可對(duì)加勁索的預(yù)應(yīng)力、直徑等參數(shù)進(jìn)行主動(dòng)設(shè)計(jì)；大幅振動(dòng)時(shí)，利用顯式動(dòng)力學(xué)積分解決加勁索狀態(tài)非線(xiàn)性中剛度矩陣奇異的問(wèn)題并獲取振動(dòng)時(shí)程響應(yīng)，采用自編制的動(dòng)力時(shí)程信號(hào)處理程序，提取大幅振動(dòng)的頻率、模態(tài)，并揭示大幅振動(dòng)時(shí)加勁索使盤(pán)繞臂振幅迅速衰減的作用機(jī)理?？勺鳛榇蠓蔷€(xiàn)性振動(dòng)控制的參考依據(jù)。

1 盤(pán)繞式伸展臂非線(xiàn)性振動(dòng)分析方法

以振動(dòng)中加勁索是否松弛為判定依據(jù)，將盤(pán)繞臂振動(dòng)問(wèn)題為兩類(lèi)：一是加勁索不發(fā)生松弛的小幅振動(dòng)，二是加勁索發(fā)生高頻張弛切換的大幅振動(dòng)。

1.1 小幅非線(xiàn)性振動(dòng)

在加勁索預(yù)應(yīng)力的加載作用下盤(pán)繞臂形成靜力平衡體系，其振動(dòng)以此為初始狀態(tài)。隨預(yù)應(yīng)力增大，盤(pán)繞臂變形增大，預(yù)應(yīng)力加載產(chǎn)生的P-Δ效應(yīng)增強(qiáng)?？苫诜蔷€(xiàn)性有限元法，將P-Δ效應(yīng)作為荷載剛度納入計(jì)算，計(jì)算流程如下：

(1) 建立剛度矩陣和質(zhì)量矩陣

加勁索剛度組成[14]

KC=KLC+KNLC

(1)

縱桿及橫桿(采用梁?jiǎn)卧?剛度組成[15-16]

KB=KEB-KPB

(2)

式中：KEB是彈性剛度陣(與EI和l有關(guān));KPB是荷載剛度陣(與作用在單元兩端的力P和l有關(guān))。

依據(jù)有限元法剛度矩陣集成規(guī)則，集成得整體剛度

(3)

將各個(gè)單元質(zhì)量集中到節(jié)點(diǎn)，根據(jù)節(jié)點(diǎn)編號(hào)集成得到集中質(zhì)量矩陣M。

(2) 建立特征值方程并迭代求解

不考慮系統(tǒng)阻尼，可建立廣義特征值方程式(4)，采用子空間迭代提取考慮P-Δ效應(yīng)的頻率及模態(tài)

Kφ-ω2Mφ=0

(4)

式中：φ為固有振型；ω為固有頻率

如式(3)，KNLC使盤(pán)繞臂剛度增大，KPB使其剛度減小，故存在一個(gè)預(yù)應(yīng)力值使盤(pán)繞臂自振頻率取極值。取不同預(yù)應(yīng)力值代入式(4)，求解結(jié)構(gòu)頻率及模態(tài)，可找到使結(jié)構(gòu)頻率最大的預(yù)應(yīng)力。

1.2 大幅非線(xiàn)性振動(dòng)

大幅振動(dòng)中，加勁索張緊時(shí)盤(pán)繞臂是幾何不變結(jié)構(gòu)體系。但松弛時(shí)，成為幾何可變體系，剛度矩陣奇異，無(wú)法基于式(4)進(jìn)行特征值迭代。文章采用動(dòng)力學(xué)響應(yīng)直接積分，獲取盤(pán)繞臂自由振動(dòng)的時(shí)程響應(yīng)，再進(jìn)行時(shí)程信號(hào)處理來(lái)提取大幅振動(dòng)參數(shù)。

(5)

(6)

求解式及得到時(shí)程響應(yīng)，利用快速傅氏變換(Fast Fourier Transform, FFT)及隨機(jī)子空間法[19](SSI/data)編制時(shí)程信號(hào)處理程序，用于提取自振頻率及模態(tài)。后文分析指出，基于時(shí)域的SSI/data法雖可同時(shí)得到自振頻率及模態(tài)，但振動(dòng)信號(hào)中夾雜大量加勁索局部振動(dòng)帶來(lái)的干擾，無(wú)法確定可靠的振動(dòng)參數(shù)。利用基于頻域的FFT識(shí)別法處理盤(pán)繞臂自由端的振動(dòng)信號(hào)，能提取出更準(zhǔn)確的頻率值。結(jié)合兩種方法提取大幅非線(xiàn)性振動(dòng)模態(tài)及頻率。圖1給出計(jì)算流程。

圖1 盤(pán)繞式伸展臂大幅度非線(xiàn)性振動(dòng)計(jì)算Fig.1 Nonlinear large amplitude vibration analysis

2 加勁索預(yù)應(yīng)力取值范圍

加勁索預(yù)應(yīng)力對(duì)盤(pán)繞臂有加載作用(圖2)，展開(kāi)狀態(tài)下，設(shè)每根加勁索預(yù)應(yīng)力σ0為，加勁索截面積為A，則加勁索作用力F=σ0A。在加勁索預(yù)應(yīng)力作用下縱桿應(yīng)保持平直，三角框處于受壓的微彎曲狀態(tài)。

圖2中BC節(jié)段受到4個(gè)加勁索力，根據(jù)力的矢量和原理將索力投影到縱桿軸線(xiàn)方向及三角框平面內(nèi)，作用在縱桿上的軸壓力

F1=2Fcosβ

(7)

該力作用下縱桿不發(fā)生屈曲

(8)

(9)

式中：t為盤(pán)繞臂節(jié)距;EIl為縱桿截面抗彎剛度。中間節(jié)段縱桿等效于兩端固支桿，端部節(jié)段等效于一端固支一端鉸支。

圖2 加勁索作用力Fig.2 The force from the cable

加勁索作用在三角框上的力轉(zhuǎn)化為Ft，指向形心(圖3)

(10)

圖3 三角框大撓度后屈曲Fig.3 Post-buckling of triangle battern

三角框受壓發(fā)生變形，基于幾何精確理論及勢(shì)能駐值原理將平衡方程建立在變形后的位形上。總勢(shì)能見(jiàn)式(11)，平衡方程見(jiàn)式(12)。

(11)

(12)

式中：b是三角框邊長(zhǎng);EIt為橫桿截面抗彎剛度;s為沿橫桿的弧坐標(biāo);φ為橫桿變形后切線(xiàn)與原始位置軸線(xiàn)方向的夾角。

求解非線(xiàn)性微分方程式(12)可得到三角框受壓彎曲后變形。以φ近似替代sinφ，可求解出小變形時(shí)三角框受壓臨界屈曲荷載

(13)

基于式(7)～式(9)、式(13)可求出加勁索預(yù)應(yīng)力應(yīng)滿(mǎn)足的條件

(14)

3 盤(pán)繞臂振動(dòng)力學(xué)特性計(jì)算

3.1 盤(pán)繞式伸展臂建模

非線(xiàn)性有限元分析及顯式動(dòng)力學(xué)積分運(yùn)算過(guò)程可直接利用ABAQUS軟件進(jìn)行，采用以往的盤(pán)繞臂設(shè)計(jì)參數(shù)(見(jiàn)表1[20])建立盤(pán)繞臂計(jì)算模型，盤(pán)繞半徑r為150 mm，總長(zhǎng)1 884 mm，分為9節(jié)(圖4)。

圖4 盤(pán)繞式伸展臂整體模型Fig.4 Numerical model of coilable mast

加勁索用多段鉸接桿單元建模，并設(shè)置只能承受軸向拉力。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Material properties

3.2 小幅度非線(xiàn)性振動(dòng)計(jì)算

根據(jù)式計(jì)算出預(yù)應(yīng)力范圍是：8.60～33.32 MPa，計(jì)算時(shí)對(duì)加勁索施加預(yù)應(yīng)力進(jìn)行幾何非線(xiàn)性靜力分析以獲取加載后的平衡態(tài)，基于該狀態(tài)集成彈性剛度與荷載剛度陣，采用子空間迭代法，求解自振模態(tài)及頻率。圖5給出預(yù)應(yīng)力從1 MPa到35 MPa的盤(pán)繞臂頻譜(增加1 MPa計(jì)算1次)，可分為3段，各段特性：

A段：加勁索預(yù)應(yīng)力小于等于8 MPa，三角框尚未屈曲，加勁索是剛度薄弱項(xiàng)。圖6給出5 MPa時(shí)結(jié)構(gòu)1階模態(tài)，整體表現(xiàn)為彎曲。據(jù)前文1.1部分的分析，此段預(yù)應(yīng)力增大使KC的增大超過(guò)KB的減小，故預(yù)應(yīng)力增大，盤(pán)繞臂一階頻率上升。

圖5 預(yù)應(yīng)力與自振頻率曲線(xiàn)Fig.5 Relationship between prestress and frequency

圖6 預(yù)應(yīng)力5 MPa下盤(pán)繞臂1階模態(tài)Fig.6 First-order mode of coilable mast of 5 MPa prestress

B段：加勁索預(yù)應(yīng)力大于等于9 MPa，三角框進(jìn)入后屈曲階段。此段KC的增大與KB的減小持平，盤(pán)繞臂整體剛度保持水平。圖7給出預(yù)應(yīng)力15 MPa時(shí)盤(pán)繞臂的1階模態(tài)，整體表現(xiàn)為彎曲，但三角框成為盤(pán)繞臂剛度弱項(xiàng)。

圖7 預(yù)應(yīng)力15 MPa下盤(pán)繞臂1階模態(tài)Fig.7 1st mode of coilable mast in 15 MPa prestress

C段：隨預(yù)應(yīng)力增加，P-Δ效應(yīng)更加顯著，此時(shí)KC的增大小于KB的減小，整體剛度下降，自振頻率降低。33 MPa力下結(jié)構(gòu)的1階頻率降低為0(表 2)，相應(yīng)模態(tài)(圖8)為縱桿屈曲屈曲模態(tài)。這與式(14)的理論推導(dǎo)恰好吻合。

圖8 預(yù)應(yīng)力33 MPa下盤(pán)繞臂1階模態(tài)Fig.8 1st mode of coilable mast in 33 MPa prestress

表2 結(jié)構(gòu)固有頻率Tab.2 Natural vibration frequency Hz

計(jì)算不同直徑加勁索、不同預(yù)應(yīng)力下盤(pán)繞臂自振頻率，繪制圖9，可得到設(shè)計(jì)用“頻率-預(yù)應(yīng)力-直徑”包絡(luò)面(以O(shè)為頂點(diǎn)的扇形)，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使加勁索直徑、預(yù)應(yīng)力落在面中，保證結(jié)構(gòu)剛度最大。

圖9 不同直徑加勁索的盤(pán)繞臂頻率曲線(xiàn)Fig.9 Frequency curves of different cable diameters

3.3 大幅度非線(xiàn)性振動(dòng)計(jì)算

3.3.1 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)程積分

如圖10，固定端板O點(diǎn)，在自由端施加Y向位移δ，使盤(pán)繞臂發(fā)生變形U。施加位移δ時(shí)，靠近固定端的加勁索先松弛，隨δ增大，加勁索松弛的節(jié)數(shù)增多(表3)。此外，預(yù)應(yīng)力小的加勁索更容易出現(xiàn)松弛；當(dāng)δ大于或等于5 mm時(shí)，9節(jié)加勁索全部松弛。

圖10 振動(dòng)前狀態(tài)Fig.10 Deformation before vibration

令δ等于5 mm，使盤(pán)繞臂自由振動(dòng)并進(jìn)行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)程積分，繪制自由端Y向位移U-t曲線(xiàn)于圖11，盤(pán)繞臂的振幅從5 mm開(kāi)始衰減，最后穩(wěn)定在1.4 mm左右。

表3 不同δ下松弛的節(jié)數(shù)Tab.3 Number of relaxation steps with various δ

圖11 盤(pán)繞式伸展臂自由端動(dòng)力學(xué)響應(yīng)Fig.11 Dynamic response of free-tip

3.3.2 頻率提取及模態(tài)識(shí)別

取各節(jié)三角框端部節(jié)點(diǎn)的位移時(shí)程數(shù)據(jù)用于計(jì)算結(jié)構(gòu)模態(tài)，結(jié)構(gòu)變形主要在y，z方向，x向變形很小，為提高計(jì)算效率，取各節(jié)點(diǎn)y，z向位移響應(yīng)進(jìn)行模態(tài)識(shí)別。將3.3.1中仿真得到的數(shù)據(jù)代入基于MATLAB平臺(tái)編寫(xiě)的SSI/data程序中計(jì)算，采用頻率、阻尼及振型三重穩(wěn)定判定準(zhǔn)則來(lái)判定第j階模態(tài)是否穩(wěn)定，設(shè)置容差見(jiàn)式(15)。

(15)

式中：fi,j、ξi,j分別表示選取系統(tǒng)階次為i時(shí)，識(shí)別的第j階模態(tài)的頻率和阻尼比，MACj表示第j階模態(tài)的置信準(zhǔn)則(Modal Assurance Criterion，MAC)，定義見(jiàn)式(16)。

(16)

式中：ψi,j表示當(dāng)選取系統(tǒng)階次為i時(shí)，識(shí)別的第j階模態(tài)的振型。

取預(yù)應(yīng)力為10 MPa的進(jìn)行計(jì)算，將識(shí)別的系統(tǒng)階次定為2 940～3 000。取前240階模態(tài)(頻率<40 Hz)繪制穩(wěn)定圖12。圖中模態(tài)十分密集，大部分是加勁索局部模態(tài)，無(wú)法從圖中直接確定主結(jié)構(gòu)模態(tài)。故借助FFT方法得到頻響曲線(xiàn)來(lái)判定所需提取的結(jié)構(gòu)模態(tài)。

基于圖11的位移時(shí)程信號(hào)，利用FFT處理得到盤(pán)繞臂自振頻率見(jiàn)表4(表中“小幅振動(dòng)”指前文3.2部分計(jì)算結(jié)果)。可看出12.5 MPa預(yù)應(yīng)力下的盤(pán)繞臂在小幅振動(dòng)時(shí)頻率最大，同時(shí)在大幅非線(xiàn)性振動(dòng)下頻率也最大。由此得出整體剛度越大，抵抗大幅度振動(dòng)并維持剛度不降低的能力越強(qiáng)。

圖12 穩(wěn)定圖Fig.12 Stability diagram

表4 結(jié)構(gòu)自振頻率Tab.4 Natural vibration frequency Hz

振幅衰減區(qū)的自振頻率為22.73 Hz，在穩(wěn)定圖14中，22.67 Hz附近穩(wěn)定點(diǎn)較集中，以此為衰減區(qū)模態(tài)，振型為圖14。該階模態(tài)包含加勁索交替張弛的非線(xiàn)性現(xiàn)象，振型比較復(fù)雜同法可確定振幅穩(wěn)定區(qū)結(jié)構(gòu)頻率為24.97 Hz，振型為結(jié)構(gòu)的一階彎曲變形。

圖13 22.73 Hz附近的穩(wěn)定圖Fig.13 Stability diagram near 22.73 Hz

圖14 22.67 Hz對(duì)應(yīng)的振型Fig.14 Vibration mode of 22.67 Hz

3.3.3 結(jié)果討論

(1) 能量守恒驗(yàn)證

顯式動(dòng)力學(xué)積分采用中心差分來(lái)近似積分，易出現(xiàn)累積誤差。通過(guò)驗(yàn)證盤(pán)繞臂振動(dòng)中的能量守恒來(lái)評(píng)價(jià)計(jì)算是否正確[21]。結(jié)構(gòu)大幅非線(xiàn)性振動(dòng)中的能量關(guān)系應(yīng)滿(mǎn)足式(17)

ETOTAL=EK+EI

(17)

式中：EK為動(dòng)能;EI為內(nèi)能;ES為應(yīng)變能。

圖15 振動(dòng)過(guò)程中能量守恒驗(yàn)證Fig.15 Verification of energy conservation in vibration

能量守恒定律要求振動(dòng)中總能量等于常數(shù)。由于體系處于彈性范圍，還應(yīng)有EI=ES。圖15顯示在振動(dòng)中總能量最大值57.39 J，最小值56.97 J，平均值57.26 J，最大偏差0.51%，基本守恒；內(nèi)能和應(yīng)變能也基本相等。滿(mǎn)足能量守恒定律；振動(dòng)穩(wěn)定后，盤(pán)繞臂總能量在動(dòng)能和應(yīng)變能間相互轉(zhuǎn)換，保持動(dòng)態(tài)平衡。

(2) 時(shí)程信號(hào)處理法與特征值迭代法對(duì)比

采用子空間迭代法進(jìn)行特征值迭代考察的是結(jié)構(gòu)剛度矩陣的固有屬性，當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸、材料參數(shù)、加勁索的預(yù)應(yīng)力確定后，特征值迭代所求解出的結(jié)果是唯一確定、靜態(tài)不變的，表征結(jié)構(gòu)小幅振動(dòng)特性。

時(shí)程信號(hào)處理不僅可以考察不同振幅、不同預(yù)應(yīng)力下加勁索發(fā)生不同程度松弛后的振動(dòng)參數(shù)，也可考察同一次大幅振動(dòng)中，由于振幅衰減使加勁索松弛節(jié)數(shù)越來(lái)越少，剛度特性發(fā)生改變的動(dòng)態(tài)過(guò)程。

當(dāng)然，采用時(shí)程信號(hào)處理同樣可計(jì)算小幅振動(dòng)參數(shù)，取預(yù)應(yīng)力10 MPa、12.5 MPa、15 MPa，采用時(shí)程信號(hào)處理法求解得到自振頻率分別為28.36 Hz、28.57 Hz、28.40 Hz，與特征值迭代的結(jié)果(表4第4列)相對(duì)誤差分別為1.97%、1.98%、1.70%，兩種法計(jì)算結(jié)果的統(tǒng)一性再次驗(yàn)證了計(jì)算的正確性。

(3) 加勁索作用機(jī)理

文中計(jì)算均未考慮阻尼，圖11顯示大幅振動(dòng)有振幅衰減階段，而圖16顯示小幅振動(dòng)無(wú)振幅衰減段。為揭示加勁索的 “穩(wěn)定索”功能，令δ等于5 mm，計(jì)算無(wú)索盤(pán)繞臂自振響應(yīng)并進(jìn)行對(duì)比(圖17)。結(jié)果顯示隨時(shí)間推移，振幅未出現(xiàn)衰減。這表明只有存在加勁索，才會(huì)發(fā)生振幅衰減現(xiàn)象。

圖16 盤(pán)繞式伸展臂小幅振動(dòng)位移時(shí)程Fig.16 Displacement response of small amplitude vibration

圖17 無(wú)加勁索伸展臂振動(dòng)位移時(shí)程Fig.17 Displacement response of non-cable mast

振動(dòng)中加勁索受拉張緊時(shí)，縱桿對(duì)其做正功，縱桿變形能轉(zhuǎn)變成加勁索變形能，加勁索松弛后，加勁索的變形能又轉(zhuǎn)變成加勁索局部自振的動(dòng)能。從圖15的能量轉(zhuǎn)化可看出，如此往復(fù)5個(gè)周期，體系能量最終轉(zhuǎn)變?yōu)檎w結(jié)構(gòu)中縱橫桿和勁索的應(yīng)變能、動(dòng)能，以及加勁索局部自振動(dòng)的動(dòng)能，并處于動(dòng)態(tài)平衡。

(4) 試驗(yàn)驗(yàn)證

制作盤(pán)繞臂模型進(jìn)行模態(tài)測(cè)試來(lái)驗(yàn)證文章的計(jì)算方法見(jiàn)圖18。制作的盤(pán)繞臂參數(shù)見(jiàn)表1，由于加工條件限制，減小加勁索直徑為0.3 mm。

圖18 盤(pán)繞臂模態(tài)試驗(yàn)裝置Fig.18 Modal test facility of coilable mast

采用掃描激光測(cè)振儀測(cè)試盤(pán)繞臂的自振頻率及模態(tài)。在盤(pán)繞臂不同位置施加振動(dòng)激勵(lì)，使其分別發(fā)生彎曲、扭轉(zhuǎn)、彎曲+扭轉(zhuǎn)三種形式的振動(dòng)。在盤(pán)繞臂一個(gè)面的各層節(jié)點(diǎn)上共布置20各信號(hào)測(cè)點(diǎn)，對(duì)盤(pán)繞臂進(jìn)行振動(dòng)掃頻，掃頻范圍為0～25 Hz。得到不同振動(dòng)形式下頻譜響應(yīng)曲線(xiàn)峰值點(diǎn)與相應(yīng)模態(tài)見(jiàn)表5。綜合三種振動(dòng)模式的測(cè)試結(jié)果，得到盤(pán)繞臂的各階固有頻率及對(duì)應(yīng)模態(tài)見(jiàn)表 6(表 5中陰影部分)。

試驗(yàn)中施加到加勁索中的預(yù)應(yīng)力約為20 MPa，盤(pán)繞臂的最大振幅為0.4 mm，加勁索未發(fā)生松弛，故計(jì)算中采用小幅非線(xiàn)性振動(dòng)分析方法。由于結(jié)點(diǎn)采用鑄鐵制作，相對(duì)盤(pán)繞臂整體結(jié)構(gòu)有較大質(zhì)量，故在計(jì)算中考慮節(jié)點(diǎn)質(zhì)量，并以集中質(zhì)量點(diǎn)形式添加到計(jì)算模型中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)質(zhì)量為28.7 g。計(jì)算結(jié)果表明，節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量的存在使盤(pán)繞臂自振頻率有較大降低。

從表6可看出計(jì)算結(jié)果的模態(tài)基本與試驗(yàn)結(jié)果吻合，但自振頻率偏大約3%。這是由于加工制作的結(jié)點(diǎn)存在間隙，導(dǎo)致實(shí)際結(jié)構(gòu)剛度偏?。煌瑫r(shí)計(jì)算中未考慮結(jié)構(gòu)阻尼也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏大?？傮w來(lái)看計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值較為接近，計(jì)算方法是可靠的。

表5 盤(pán)繞臂振動(dòng)響應(yīng)曲線(xiàn)峰值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)模態(tài)Tab.5 The peak points and modals of vibration response curve of coilable mast Hz

表6 自振頻率及模態(tài)試驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of the experiments and simulation in natural frequencies and modal Hz

4 結(jié) 論

盤(pán)繞臂的振動(dòng)特性不僅決定振動(dòng)控制措施，還決定加勁索的預(yù)應(yīng)力取值。文章通過(guò)幾何精確理論和屈曲分析理論的推導(dǎo)，得出靜力條件下加勁索預(yù)應(yīng)力被動(dòng)滿(mǎn)足的式；基于非線(xiàn)性有限元法，文章計(jì)算并總結(jié)了P-Δ效應(yīng)對(duì)盤(pán)繞臂小幅振動(dòng)的影響，總結(jié)出設(shè)計(jì)用“頻率-預(yù)應(yīng)力-直徑”參考面，預(yù)應(yīng)力在該取值范圍內(nèi)可進(jìn)行主動(dòng)設(shè)計(jì)以達(dá)到對(duì)結(jié)構(gòu)剛度、振動(dòng)特性進(jìn)行主動(dòng)控制的目的；基于顯式動(dòng)力學(xué)積分獲取結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)程信號(hào)，采用自編制的時(shí)程信號(hào)處理程序來(lái)獲取大幅振動(dòng)的模態(tài)、頻率，在大幅振動(dòng)控制中可起到參考作用，并揭示了大幅振動(dòng)時(shí)加勁索有助于振幅迅速衰減的機(jī)理。文章提出的計(jì)算方法也可作為預(yù)應(yīng)力張拉結(jié)構(gòu)體系非線(xiàn)性振動(dòng)分析的參考案例。

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