于秋鴿，張華興，鄧偉男

(1.煤炭科學研究總院開采研究分院，北京 100013；2.天地科技股份有限公司開采設計事業(yè)部，北京 100013)

0 引言

深部煤層開采，當基巖采厚比>30時，地表一般呈現(xiàn)連續(xù)變形特點[1]；隨著我國東部煤炭資源枯竭，煤炭開采重心逐步向西部轉移，西部煤層開采具有淺埋深大采高特點，開采強度較大，采動影響容易直接波及到地表，造成地表裂縫。地表裂縫是造成土地生產能力下降、引起山區(qū)滑坡的主要原因之一，是采煤沉陷對地表環(huán)境損害最直觀的表現(xiàn)形式[2-3]。為了研究不同地質采礦條件下地表裂縫形成的機理及其規(guī)律，吳侃通過建立實用裂縫深度發(fā)育模型，從理論上推導出了裂縫發(fā)育的深度[4]；胡振琪等[5]研究發(fā)現(xiàn)風積沙區(qū)地表裂縫分為永久裂縫和動態(tài)裂縫，動態(tài)裂縫具有自我修復功能；李永樹等[6]通過土體剪切實驗分析了厚沖擊層條件下的地表裂縫形成機理得到裂縫寬度與水平變形之間的關系；胡青峰等[7]通過現(xiàn)場實測研究了厚煤層開采時地表裂縫形成的機理，發(fā)現(xiàn)厚硬基巖對采動引起的應力應變傳遞具有消減作用。

工作面上覆巖層由基巖和松散層兩部分組成，在開采過程中，隨著工作面的推移，靠近工作面的上方軟弱巖層直接斷裂垮落，比較堅硬巖層產生彎曲下沉，支撐上方巖層的大部分重量，在堅硬巖層斷裂之前，地表下沉值比較小，當工作面推進長度達到一定值后，堅硬巖層突然發(fā)生斷裂，地表下沉急劇增加，當松散層厚度無法消減地表不均勻沉降時，將會在地表產生裂縫。本文把斷裂前的關鍵層近似為固支彈性梁，把斷裂后的巖層近似為“砌體梁”，建立地表沉降的尖點突變模型，研究了地表塌陷型裂縫與關鍵層斷裂步距之間的關系。

1 尖點突變理論

突變思想是在1972年由法國數(shù)學家Thom提出的，后來由英國數(shù)學家Zeeman將其定義為“突變理論”。突變理論提出以后很快應用到各個學科，如生物學、巖石力學、心理學等，并很好的解釋了自然中的各種突變現(xiàn)象。突變理論的特點是控制變量連續(xù)變化而結果不連續(xù)。在我們所處的四維時空中，當控制變量小于等于4時，最多有7種突變形式[8-9](表1)。

表1 突變形式分類表

在這七種突變形式中最常用的為尖點突變模型，見圖1。

圖1 平衡曲面和控制變量平面Fig.1 The equilibrium curved surface and control variable plane

應用尖點突變模型處理工程問題時的步驟為：

(1)根據(jù)工程結構建立力學模型，進行受力分析；

(2)根據(jù)工程結構變形情況，求出系統(tǒng)的總勢能，并將其轉化為尖點突變模型的標準勢函數(shù)形式：

V(x)=x4+ux2+vx

(1)

(3)對V(x)求導，得到平衡曲面M的方程：

(2)

(4)對平衡曲面M的方程進行求導，從圖1中可以看出：當u≤0時，平衡曲面M分為上、中、下三葉。在上葉、下葉上有12x2+2u>0；在中葉上有12x2+2u<0。在平衡曲面上作出M的所有垂直切線，與控制變量平面C相交，相交得到的點集為分差集。平衡曲面M上能夠垂直向下作切線的點集滿足方程：

(3)

聯(lián)立(2)、(3)式消去x得到控制變量平面上的分叉集方程：

8u3+27v2=0

(4)

由上述分析可知：在平衡曲面M的上葉和下葉上，勢函數(shù)V(x)取極小值，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)；在中葉上，勢函數(shù)V(x)取極大值，處于不穩(wěn)定狀態(tài)。當系統(tǒng)處于上葉和中葉過渡位置時，稍微受外界擾動，系統(tǒng)平衡位置就會立即變到下葉的某一處，使系統(tǒng)重新處于新的平衡狀態(tài)。系統(tǒng)由上葉的平衡狀態(tài)轉為下葉的平衡時，會在中葉處產生一個尖點，這也是尖點突變的由來，同時可以得到系統(tǒng)發(fā)生尖點突變的充分條件應滿足式(4)。

2 關鍵層斷裂突變模型

2.1 關鍵層初次斷裂突變模型

煤層采出以后，工作面上方軟弱巖層直接垮落，在關鍵層斷裂前，關鍵層可以近似看成寬度為單位1的固支梁[10]。固支梁上部承受上覆巖層重量，相當于均布載荷q=γH0；下部由于軟弱巖層已經垮落，不在承受力的作用；固支梁兩端承受水平壓力Fs，垂直向上的支撐力Fr。堅硬巖層所承受的水平壓力主要來自于上覆巖層重力產生側向壓力，雖然堅硬巖層下方巖石已垮落，堅硬巖層下方巖層中的原巖應力受到破壞，但是在堅硬巖層斷裂前，堅硬巖層及其上方覆巖中的應力沒有得到釋放，可近似認為堅硬巖層兩端的水平壓力是由上方巖層重力產生的側向應力引起，受力示意圖如圖2所示。

圖2 固支梁模型Fig.2 Clamped beam model

根據(jù)受力平衡，可知：

(5)

式中：Fs——水平擠壓力/kN；

Fr——垂直向上支撐力/kN；

λ——側壓系數(shù)；

H0——堅硬巖層所處深度/m；

h——堅硬巖層厚度/m；

γ——堅硬巖層上方巖層的平均容重/(kN·m-3)。

在力的作用下，固支梁將產生彎曲，梁彎曲的撓線方程可近似為[11]：

(6)

式中：L梁——梁長/m；

δ——x=L梁/2處的撓度。

在尖點突變理論中需要建立模型的總勢能函數(shù)，根據(jù)彈性力學中應變能和梁的彎曲理論的相關知識，推導出梁彎曲的應變能[12]為：

(7)

式中：E——巖梁彈性模量/Pa；

I——慣性矩/m4。

水平擠壓力Fs做功為：

(8)

垂直向上的支撐力Fr做功為：

(9)

均布載荷q做功為：

(10)

從而可以得到巖梁彎曲總的勢能函數(shù)為：

(11)

在尖點突變理論中，系統(tǒng)的標準勢函數(shù)滿足(1)式，從而得到：

(12)

根據(jù)(4)式得到關鍵層初次斷裂的充分條件為：

(13)

2.2 關鍵層周期性斷裂突變模型

當關鍵層初次斷裂后，斷裂巖塊與未斷裂巖層互相鉸接，隨著工作面推進，關鍵層周期性斷裂，形成“形如梁而實質為拱”的“砌體梁”結構(圖3)。

圖3 “砌體梁”模型Fig.3 Voussoir beam model

根據(jù)尖點突變理論求出砌體梁結構失穩(wěn)的充分條件為[13]：

(14)

式中：K——巖塊擠壓變形剛度系數(shù)；

K′——冒落矸石變形剛度系數(shù)；

h——巖塊厚度/m。

3 地表裂縫與關鍵層斷裂步距之間關系

對于淺埋厚煤層而言，工作面上覆巖層結構簡單，關鍵層的斷裂將引起關鍵層上方巖層的整體垮落，在地表形成塌陷型裂縫。塌陷型裂縫與關鍵層斷裂之間的關系見圖4。

圖4 塌陷型裂縫與關鍵層斷裂示意圖Fig.4 Diagram of relationship between collapsing ground fissure and failure of critical layer

根據(jù)圖4可知裂縫滯后距d和滯后角γ滿足：

(15)

由式(15)可知：由于巖層破斷角的影響，塌陷型裂縫一般滯后于工作面一定距離，隨著關鍵層的周期性斷裂，也周期性形成塌陷型裂縫，裂縫間距為關鍵層周期性垮落步距；關鍵層距煤層距離越大，塌陷型裂縫滯后距越大，滯后角γ越大。

4 實例驗證

神華集團大柳塔礦12208工作面平均埋深37.5 m，煤層傾角1°～3°，工作面走向長度1 538 m，傾斜長度154 m，采高7 m，平均日進尺10 m。工作面上覆巖層分別為：泥巖、砂質泥巖組成的偽頂，平均厚度0.21 m；泥巖、粉砂巖組成的直接頂，平均厚度5.5 m；細粒砂巖為基本頂，平均厚度11.2 m；地表松散層厚度為7.2 m。煤層開采過程中，在工作面中部地表產生塌陷型裂縫，裂縫滯后角為0.38°[14](圖5)。

圖5 12 208工作面地表裂縫分布圖Fig.5 Distribution of collapsing ground fissures above face 12 208 of Daliuta colliery

根據(jù)文獻[15]判定細粒砂巖為關鍵層，關鍵層下方巖層垮落碎脹系數(shù)取1.2，由于1.2×(0.21+5.5)=6.852<(0.21+5.5+7)=12.71，可知巖層跨落后不能充滿采空區(qū)，故而公式(14)中K′=0。

根據(jù)文獻[13]K取70 kPa，代入公式(14)求得周期斷裂步距為14.9 m，據(jù)現(xiàn)場礦壓觀測，周期來壓步距為12～15 m，在工作面中間位置，裂縫平均間距為13.7 m，與利用尖點突變理論計算所得周期斷裂步距相差不大，說明采用尖點突變分析關鍵層初次斷裂步距和周期斷裂步距是合理的。

5 結論

(1)關鍵層斷裂是造成地表塌陷型裂縫的主要原因，關鍵層斷裂步距決定了塌陷型裂縫之間距離。

(2)地表塌陷型裂縫滯后于工作面一定距離，關鍵層距煤層距離越大，塌陷型裂縫滯后距越大，滯后角越大。

(3)利用尖點突變理論得到關鍵層斷裂步距，與現(xiàn)場礦壓實測關鍵層斷裂步距及地表裂縫間距相符。

參考文獻：

[1] 鄧喀中,張冬至,張周權. 深部開采條件下地表沉陷預測及控制探討[J]. 中國礦業(yè)大學學報,2000，29(1):52-55.

DENG Kazhong, ZHANG Dongzhi, ZHANG Zhouquan. Study on prediction and control of surface subsidence in deep mining[J]. Journal of China University of Mining and Technology,2000，29(1):52-55.

[2] 郭文兵. 煤礦開采損害與保護[M]. 北京:煤炭工業(yè)出版社, 2013.

GUO Wenbing. Coal mining damages and protection[M]. Beijing: China Coal Industry Press, 2013.

[3] 劉輝, 劉小陽, 鄧喀中，等. 基于UDEC數(shù)值模擬的滑動型地裂縫發(fā)育規(guī)律[J]. 煤炭學報,2016，41(3):625-632.

LIU Hui, LIU Xiaoyang, DENG Kazhong, et al. Developing law of sliding ground fissures based on numerical simulation using UDEC[J]. Journal of China Coal Society,2016，41(3):625-632.

[4] 吳侃, 周鳴, 胡振琪. 開采引起的地表裂縫深度和寬度預計[J]. 阜新礦業(yè)學院學報, 1997,16(6):649-652.

WU Kan, ZHOU Ming, HU Zhenqi. The prediction of ground fissure depth and width by mining[J]. Journal of Fuxin Mining Institute,1997，16(6):649-652.

[5] 胡振琪, 王新靜,賀安民. 風積沙區(qū)采煤沉陷地裂縫分布特征與發(fā)育規(guī)律[J]. 煤炭學報,2014，39(1):11-17.

HU Zhenqi, WANG Xinjing, HE Anmin. Distribution characteristic and development rules of ground fissure due to coal mining in windy and sandy region[J]. Journal of China Coal Society,2014，39(1):11-17.

[6] 李永樹, 王金莊, 周竹軍. 厚沖積層條件下開采沉陷地區(qū)地表裂縫形成機理[J]. 河北煤炭,1996(2):8-9.

LI Yongshu, WANG Jinzhuang, ZHOU Zhujun.The mechanism of urface crack under condition of thick alluvium in mining subsidence area[J]. Hebei Coal, 1996(2):8-9.

[7] 胡青峰, 崔希民, 袁德寶，等. 厚煤層開采地表裂縫形成機理與危害性分析[J]. 采礦與安全工程學報, 2012，29(6):864-869.

HU Qingfeng, CUI Ximin, YUAN Debao, et al. Formation mechanism of surface crack caused by thick seam mining and hazard analysis[J]. Journal of Mining & Safety Engineering,2012，29(6):864-869.

[8] 高謙,楊志強,楊志法. 地下大跨度采場圍巖突變失穩(wěn)風險預測[J]. 巖土工程學報,2000(5):523-527.

GAO Qian, YANG Zhiqiang, YANG Zhifa. Instability forecast and risk evaluation of surrounding rock masses for a large space stope[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2000(5):523-527.

[9] 白晨光, 黎良杰, 于學馥. 承壓水底板關鍵層失穩(wěn)的尖點突變模型[J]. 煤炭學報, 1997，22(2):149-154.

BAI Chenguang, LI Liangjie, YU Xuefu. Cusp catastrophe model for instability of key stratum in floor with water inrush [J]. Journal of China Coal Society,1997，22(2):149-154.

[10] 楊桂通.彈性力學[M]. 北京：高等教育出版社, 1998.

YANG Guitong. Elastic mechanics[M]. Beijing: Higher Education Press,1998.

[11] 穆成林, 裴向軍, 黃潤秋，等. 基于尖點突變理論的層狀圍巖失穩(wěn)判據(jù)研究[J]. 煤礦安全, 2016，47(11):36-40.

MU Chenglin, PEI Xiangjun, HUANG Runqiu, et al. Study on instability criterion of layered rock mass failure based on cusp mutation theory[J]. Safety in Coal Mines,2016，47(11):36-40.

[12] 中國生, 江文武, 徐國元. 底板突水的突變理論預測[J]. 遼寧工程技術大學學報, 2007，26(2):216-218.

ZHONG Guosheng, JIANG Wenwu, XU Guoyuan. Prediction of water inrush from floor based on catastrophe theory[J]. Journal of Liaoning Technical University,2007，26(2):216-218.

[13] 尹光志, 王登科, 黃滾. 突變理論在開采沉陷中的應用[J]. 礦山壓力與頂板管理, 2005，22(4):94-96.

YIN Guangzhi, WANG Dengke, HUANG Gun. The application of catastrophe theory in mining subsidence[J]. Ground Pressure and Strata Control,2005，22(4):94-96.

[14] 劉輝, 何春桂, 鄧喀中,等. 開采引起地表塌陷型裂縫的形成機理分析[J]. 采礦與安全工程學報, 2013，30(3):380-384.

LIU Hui, HE Chungui, DENG Kazhong,et al. Analysis of forming mechanism of collapsing ground fissure caused by mining[J]. Journal of Mining & Safety Engineering,2013，30(3):380-384.

[15] 錢鳴高, 石平五, 許家林. 礦山壓力與巖層控制[M]. 徐州:中國礦業(yè)大學出版社,2010.

QIAN Minggao, SHI Pingwu, XU Jialin. Mining pressure and strata control[M]. Xuzhou:China University of Mining and Technology Press, 2010.