何歡 王陶 劉龐輪 陳國平

摘要： 本征梁方程是一種建立在Frenet標架上的，具有精確幾何變形描述能力的梁的動力學控制方程，具有非線性階數(shù)低、方程形式簡潔的優(yōu)點。提出了一種與本征梁方程相適應(yīng)的無網(wǎng)格離散和相應(yīng)的計算方法。針對本征梁方程的特點，引入配點型無網(wǎng)格方法對本征梁方程進行離散化處理，推導出了僅具有一階導數(shù)和二階非線性項的本征梁運動控制方程。采取此方法建立的大柔性梁在動力學計算過程中無需背景網(wǎng)格，避免了常規(guī)有限元建模所需的網(wǎng)格積分。利用這一特性，無需像傳統(tǒng)非線性有限元分析那樣在每一個計算時間步上進行的網(wǎng)格積分運算，簡化了計算步驟。數(shù)值算例結(jié)果表明此方法具有很好的計算精度。關(guān)鍵詞： 非線性振動； 多體動力學； 無網(wǎng)格方法； 本征梁； 大柔性

中圖分類號：O322； O313.7文獻標志碼： A文章編號： 10044523（2017）04053507

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.002

引言

梁是一種常見的結(jié)構(gòu)，被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域中，如直升機旋翼、大展弦比機翼、橋梁等結(jié)構(gòu)。近年來，隨著生物力學的興起，對DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)、蛋白質(zhì)多肽鏈進行動力學分析時，也常常將這類微觀結(jié)構(gòu)簡化為三維大柔性梁模型。

Reissner將橫向剪切變形[12]引入經(jīng)典的KirchhoffLove模型[3]，建立了考慮有限轉(zhuǎn)動的中等撓度梁方程。Simo建立了能夠精確表征梁變形的幾何關(guān)系的方程[4]。Antman使用旋轉(zhuǎn)張量來描述梁在運動過程中橫截面的變形特征[5]。Simo和VuQuoc分別針對靜、動力學的兩種情況[67]，采用有限元法對幾何精確梁方程進行了計算。Ibrahimbegovic[8]基于Reissner的三維有限應(yīng)變梁理論，將非線性大撓度梁的動力學方程進行了改造，推廣到預(yù)彎曲梁分析領(lǐng)域中。Jelenic和Saje在旋轉(zhuǎn)自由度中引入修正項，避免了有限轉(zhuǎn)動梁方程求解過程中的剪切閉鎖現(xiàn)象[9]。吳國榮等[10]采用多體系統(tǒng)方法來研究柔性梁大撓度動力響應(yīng)問題。張志剛等[11]提出了基于曲率插值的大變形梁單元來進行梁的非線性分析。杜超凡[12]等引入網(wǎng)格徑向基插值法來分析旋轉(zhuǎn)柔性梁的動力學，推導出系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿恿W方程。章孝順等[13] 針對在平面內(nèi)做大范圍轉(zhuǎn)動的中心剛體柔性梁系統(tǒng)的動力學進行了研究，基于浮動坐標系法，建立了考慮大變形效應(yīng)的系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿恿W模型，并進行了動力學仿真。古雅琦等[14]以EulerBernoulli梁單元的完整二階位移場為基礎(chǔ)，推導了一種基于U L格式的大變形幾何非線性梁單元。何歡等[15]分析了大撓度空間梁彎扭耦合項對梁的振動響應(yīng)的影響。余躍慶[16]等基于偽剛體模型原理，提出一種用于模擬具有單拐點大變形梁的偽剛體模型。張新榃[17]等采用非線性歐拉梁模型對風力機葉片大幅值氣動彈性動態(tài)響應(yīng)問題進行了研究。張志剛等[18]以表征梁彎曲應(yīng)變的曲率和軸向應(yīng)變作為單元參數(shù)，構(gòu)造了能夠自動計及“動力剛化項”的大變形剛?cè)狁詈蟿恿W平面柔性梁單元。鄭彤[19]等采用絕對節(jié)點坐標法建立了三維大變形柔性梁系統(tǒng)的動力學模型。王金龍[20]等利用非線性大變形梁理論建立了海流作用下的SLWR立管模型。

上述方法均以位移為基本變量。對采用位移為基本變量的梁的運動方程來說，若要精確描述梁的有限轉(zhuǎn)動，必然需要通過位移將有限轉(zhuǎn)動表示出來。這樣一來，不可避免的會引入高階非線性項。采用曲率和應(yīng)變來描述梁的變形可以解決有限轉(zhuǎn)動的精確度量問題，且方程中僅包含二階非線性項。Borrihe和Mantegazza利用曲率和應(yīng)變?yōu)榛玖拷⒘祟A(yù)彎曲梁的本征方程[21]，但他們在方程的求解過程中仍然需要用位移和轉(zhuǎn)動項將方程重新表示出來。2003年，Hodges建立了一種形式非常簡潔的本征梁方程，并將該方程應(yīng)用于大柔性旋翼[2224]及大展弦比機翼[2530]的動力學和氣動彈性研究領(lǐng)域。在無慣性運動時，Hodges提出的本征梁方程與Borri和Mantegazza[21]以及Simo和Vuquoc[1]方程形式類似，不同的是本征梁方程在求解時無需先采用位移和轉(zhuǎn)角重組方程。

由于Hodges提出的本征梁方程具有非線性程度低、方程形式簡單的特點，通?？梢圆捎貌罘指袷竭M行求解。然而，差分解需要將梁劃分為非常細密的差分點，否則計算不穩(wěn)定。然而，采用細密的離散方式必然導致計算規(guī)模的大幅度增加。本文針對本征梁控制方程的特點，引入配點型無網(wǎng)格方法對本征梁方程進行離散化處理，推導出了僅具有一階導數(shù)和二階非線性項的本征梁無網(wǎng)格動力學方程。本文方法建模方法簡便，所建立的大柔性梁動力學模型無需背景網(wǎng)格，避免了常規(guī)有限元建模所需的網(wǎng)格積分，進而大大簡化了方程的求解過程。

第4期何歡，等：基于本征梁理論的非線性大撓度柔性梁無網(wǎng)格動力學計算振 動 工 程 學 報第30卷1本征梁動力學控制方程

Hodge[24]提出的本征梁動力學控制方程，是以曲率和應(yīng)變?yōu)榛疚粗拷⒌姆匠蹋捎诓捎肍renet標架，以自然坐標系描述梁的幾何特征，使得方程中不包含復雜的有限旋轉(zhuǎn)變量，這給梁的非線性動力學研究帶來極大方便。

1.1本征梁的幾何描述

為精確描述大柔性梁的變形，Hodges引入Ωref，Ω0和Ωf分別表示參考構(gòu)型、初始構(gòu)型和當前構(gòu)型，其中參考構(gòu)型為零曲率和應(yīng)變的直梁的構(gòu)型。

取梁橫截面彎心連線作為梁的參考軸，并在該軸上定義自然坐標x1（后續(xù)文中x1均指梁的彎心連線在自然坐標系下的坐標）。在Ωref中，以笛卡爾坐標系下的一組正交單位矢量[I1，I2，I3]來描述其截面坐標系，其中I1與直梁中性軸指向相同。對初始構(gòu)型Ω0和當前構(gòu)型Ωf，其位于x1處的截面坐標系可以分別由一組正交基矢量[b1（x1），b2（x1），b3（x1）]和[B1（x1），B2（x1），B3（x1）]描述，其中b1（x1）為初始構(gòu)型Ω0的參考軸在x1處的切矢量。由于剪切變形的存在，B1（x1）不一定為當前構(gòu)型Ωf的參考軸在x1處的切矢量。本征梁構(gòu)型及各基矢量如圖1所示。

圖1本征梁構(gòu)型描述示意圖

Fig.1Description of the intrinsic beam′s configurations圖中R和r分別為當前構(gòu)型和初始構(gòu)型的參考軸在x1處的矢徑。由此，在x1處可以確定由當前構(gòu)型截面彎心為坐標原點，以B1（x1），B2（x1）和B3（x1）為基矢量的當前構(gòu)型截面坐標系OB1B2B3，以及以初始構(gòu)型截面彎心為坐標原點，以b1（x1），b2（x1）和b3（x1）為基矢量的初始構(gòu)型截面坐標系Ob1b2b3。

1.2本征梁的運動平衡方程

Hodge以曲率和應(yīng)變?yōu)榛玖拷⒌牧哼\動平衡方程和運動協(xié)調(diào)方程可表示為[24]：F′+κ×F+f=+Ω×P（1）

M′+κ×M+（e1+γ）×F+m=

+Ω×H+V×P（2）

Ω′+κ×Ω=（3）

V′+κ×V+（e1+γ）×Ω=（4）式中f和m分別為單位長度上的外力和外力矩矢量，F(xiàn)和M分別為內(nèi)力和內(nèi)力矩矢量，V和Ω分別是速度和角速度矢量，P和H分別為動量和角動量矢量，e1=[100]T個為單位矢量。式中字母上的“·”表示對時間的偏導數(shù)，后續(xù)出現(xiàn)的“·”也均為此含義，撇號表示對自然坐標x1的偏導數(shù)，如無特別說明，后文出現(xiàn)的撇號均為此含義。

若梁截面形狀對稱，則有：P=μV（5）

H=IcΩ （6）式中μ為線密度，Ic為轉(zhuǎn)動慣量矩陣[24]，為Ic=ι100

0ι20

00ι3 （7）式中ι1，ι2和ι3為單位長度梁截面的轉(zhuǎn)動慣量。

對各向同性材料來說，在本征梁理論中的本構(gòu)方程可表示為：F=Dfγ-γ0（8）

M=Dmκ-κ0 （9）其中Df為力本構(gòu)矩陣，表征了內(nèi)力和應(yīng)變的關(guān)系；Dm為彎曲本構(gòu)矩陣，表征了彎矩和曲率之間的關(guān)系。κ0和γ0分別為初始曲率和初應(yīng)變。

將式（5）～（9）代入式（1）和（2），并將式（3）和（4）進行整理，得μ=Dfγ′+κ×Dfγ-γ0-

μΩ×V+f（10）

Ic=Dmκ′+κ×Dmκ-κ0-Ω×IcΩ+

e1+γ×Dfγ-γ0+m（11）

=Ω′+κ×Ω（12）

=V′+κ×V+（e1+γ）×Ω（13）也可將式（10）～（13）表示為μk=Dfklγ′l+κiDfjlγl-γ0，lεijk-

μΩiVjεijk+fk （14）

ιkk=Dmklκ′l+κiDmjlκl-κ0，l-ΩiιjΩjεijk+

δi1+γiDfjlγl-γ0，lεijk+mk （15）

k=Ω′k+κiΩjεijk（16）

k=V′k+κiVj+δi1+γiΩjεijk（17）式（14）～（17）為張量形式表示的本征梁動力學控制方程，為典型的二次非線性一階微分方程組。式中ιlΩl，l=j，k為常規(guī)意義上的相乘，不表示張量求和。除此之外，均按張量運算法則。

2本征梁動力學控制方程的無網(wǎng)格離散從式（14）～（17）可以看出，本征梁運動控制方程僅為二次非線性一階微分方程。由于僅具有一階導數(shù)，且非線性程度低，引入配點型無網(wǎng)格法可以很便利地對方程進行離散化處理。

由于只有一階微分項，那么選擇二次及二次以上多項式作為形函數(shù)進行插值就可以滿足方程求解要求。

沿梁的參考軸的自然坐標對梁進行離散，對任意影響域，本征梁運動控制方程中的基本變量可表示為Vi=NIVIi， Ωi=NIΩIi

γi=NIγIi， κi=NIκIii=1，2，3（18）式中I表示該影響域內(nèi)的第I個節(jié)點，NI=NIξ為形函數(shù)，ξ=ξx1為無量綱化坐標。

將式（18）代入式（14）～（17）可以得到任意影響域上的控制方程：μNIIk=N′IQDfklγIl-NIκIiDfjlγ0，lεijk+

NINJκIiDfjlγJl-μΩIiVJjεijk+fk（19）

NIιkIk=N′IQDmklκIl-NINJΩIiιjΩJjεijk+

NIδi1DfjlγIl-κIiDmjlκ0，l-γIiDfjlγ0，lεijk+

NINJDfjlγJlγIi+DmjlκJlκIiεijk-

δi1Dfjlγ0，lεijk+mk （20）

NIIk=N′IQΩIk+NINJκIiΩJjεijk（21）

NIIk=N′IQVIk+NINJκIiVJj+γIiΩJjεijk+

δi1NIΩIjεijk （22）式中Q=dx1dξ，N′I=NIξ。

定義F0i=Dfijγ0，j， M0i=Dmijκ0，j（23）式中F0i和M0i分別為與初應(yīng)變和初始曲率對應(yīng)的初始力和初始彎矩。將式（23）代入式（19）和（20），簡化得：μNIIk=N′IQDfklγIl-NIκIiF0jεijk+

NINJκIiDfjlγJl-μΩIiVJjεijk+fk（24）

NIιkIk=N′IQDmklκIl-NINJΩIiιjΩJjεijk+

NIδi1DfjlγIl-M0jκIi-F0jγIiεijk+

NINJDfjlγJlγIi+DmjlκJlκIiεijk-

δi1F0jεijk+mk（25）對配點型無網(wǎng)格法來說，影響域內(nèi)任意第K個節(jié)點，應(yīng)滿足式（21），（22），（24）和（25）。因此，將節(jié)點K的坐標代入影響域內(nèi)的控制方程，得：μaIKIk=bIKDfklγIl-aIKκIiF0jεijk+

cIJKκIiDfjlγJl-μΩIiVJjεijk+fk（26）

aIKιkIk=bIKDmklκIl-cIJKΩIiιjΩJjεijk+

aIKδi1DfjlγIl-M0jκIi-F0jγIiεijk+

cIJKDfjlγJlγIi+DmjlκJlκIiεijk-

δi1F0jεijk+mk（27）

aIKIk=bI KΩIk+cIJKκIiΩJjεijk（28）

aIKIk=bIKVIk+δi1aIKΩIjεijk+

cIJKκIiVJj+γIiΩJjεijk（29）式中aIK=NIξK， bIK=QN′IξK，

cIJK=NIξKNJξK（30）注意到形函數(shù)的緊支性，當I≠K或J≠K時，aIK=0且cIJK=0。因此式（26）～（29）所示的方程均有稀疏性，這對提高方程的求解效率是有積極意義的。

對任意影響域內(nèi)的每個節(jié)點，按式（26）～（29）建立方程，再將各影響域的運動控制方程進行組集，得A=Bη+FNintη，t+Fext（31）式中FNint為非線性內(nèi)力構(gòu)成的向量，F(xiàn)ext為外力項，η=ηT1ηT2…ηTnT為方程變量構(gòu)成的待求解向量，ηr=VTrΩTrκTrγTrT為第r個節(jié)點的各變量構(gòu)成的向量，其中Vr=Vr1Vr2Vr3T

Ωr=Ωr1Ωr2Ωr3T

κr=κr1κr2κr3T

γr=γr1γr2γr3T （32）從上文的推導中不難發(fā)現(xiàn)，式（31）為關(guān)于時間的一階常微分方程，可采用一般的時域積分算法進行求解。

在計算出各本征量后，梁在任意截面處的矢徑可表示為[24]：R′=（1+γ1）B1+γ2B2+γ3B3（33）

B′i=κ×Bi，（i=1，2，3）（34）根據(jù)式（33）和（34）計算出梁上任意點的變形。

3數(shù)值算例

考慮長為75 cm的矩形橫截面懸臂梁，截面尺寸為10 cm×10 cm，線密度為0.001 kg/cm，彈性模量為1 MPa，泊松比為0.25。在初始時刻突然在梁的自由端沿Y的反方向和Z方向施加大小相同的恒定集中力F2=F3=35.36 N，如圖2所示。

圖2受伴隨力作用的懸臂梁

Fig.2Cantilever beam subjected to follower force

采用本文方法計算得到該懸臂梁1 s內(nèi)的動力學響應(yīng)。根據(jù)計算結(jié)果繪制出選取的5個節(jié)點處的位移響應(yīng)歷程曲線，如圖3中的實線所示。圖中x1=0到x1=75分別表示所選取的點在梁的自然坐標系下的坐標位置。

作為對比，本文在非線性瞬態(tài)有限元分析程序Abaqus中采用480個等尺寸的C3D8六面體單元建立了該懸臂梁的動力學模型。由Abaqus計算得到對應(yīng)位置處的位移響應(yīng)時間歷程如圖3中的虛線所示。

從圖3中可以看出懸臂梁在算例所示載荷作用下產(chǎn)生了很大的變形，3個位移分量均達到了40 cm以上。圖3中，本文方法計算結(jié)果和Abaqus計算結(jié)果給出的3個位移分量的動響應(yīng)時間歷程曲線高度吻合，說明了本文方法計算的準確性。圖3位移響應(yīng)對比

Fig.3Comparison of the displacement response

由圖3中位移響應(yīng)歷程曲線可以看到，梁在集中力作用下發(fā)生劇烈的震蕩，位移曲線呈現(xiàn)出“U”形。由于集中力在Y和Z方向上的分量大小相同，位移對應(yīng)的分量u2，u3的時間響應(yīng)曲線也是對稱的。在約0.4 s時刻，梁發(fā)生了彈性回彈現(xiàn)象。

在整個計算模擬時間間隔內(nèi)，選擇若干個不同時刻的運動狀態(tài)，如圖4所示。通過圖4可以直觀地看出梁在載荷作用下的運動過程。初始時刻，梁受到載荷作用產(chǎn)生變形，圖中藍色線條表示梁變形增加的過程。到約0.4 s時，梁的變形達到最大值，隨后產(chǎn)生回彈。品紅色線條表示梁在產(chǎn)生最大變形量以后的回彈過程。圖4梁在不同時刻的變形狀態(tài)

Fig. 4Snapshots of the beams deformation

計算得到的曲率和應(yīng)變時間歷程響應(yīng)如圖5所示。圖5中各種不同顏色的線條表示梁上不同位置處的動響應(yīng)（例如，紅色實線表示自由端（x=75 cm）的曲率和應(yīng)變響應(yīng)）。由于在自由端僅僅施加的是集中力，因此兩個曲率分量均為零，如圖5（a）和（b）的紅色線條所示。此外，從圖中可以看出，由于加載的對稱性，決定位移分量u2，u3的κ2，κ3以及γ2，γ3也是對稱的。這與實際物理現(xiàn)象也是相符的。圖5梁的曲率和應(yīng)變響應(yīng)曲線

Fig.5Curvature and strain versus time4結(jié)論

不同于傳統(tǒng)的非線性梁理論，本征梁方程僅具有一階導數(shù)和二階非線性項。本文利用本征梁理論的非線性程度低的特點，將配點型無網(wǎng)格方法應(yīng)用到大柔性梁的無網(wǎng)格動力學建模中。論文研究結(jié)果表明：

1） 采用本文方法只需要一組離散的點即可很方便地建立具有精確幾何構(gòu)型描述能力的大柔性梁動力學方程。

2） 相比于傳統(tǒng)的非線性有限元方法，本文方法避免了在每個計算步中的網(wǎng)格積分運算，提高了大柔性梁運動方程的求解效率。由于引入了本征梁理論，最終運動方程僅具有一階非線性，可以采用更低階插值函數(shù)進行描述。由于本征梁的精確幾何特點，采用較少的離散點就可以非常準確地算出柔性梁的變形構(gòu)型。

3） 本文采用配點型無網(wǎng)格方法對大柔性梁控制方程進行離散，若采用緊支函數(shù)作為基函數(shù)，則得到的離散控制方程具有稀疏性，這對后續(xù)響應(yīng)計算的效率有積極意義。本文給出的配點型本征梁無網(wǎng)格方程的推導過程具有一般性，按此過程不難獲得其他類型的無網(wǎng)格本征梁動力學方程。

4） 計算結(jié)果表明，本文方法得到的計算結(jié)果與細密網(wǎng)格建立的Abaqus模型計算結(jié)果相符，能夠有效地模擬出大柔性梁的大撓度、大轉(zhuǎn)動變形，說明本文提出的大柔性非線性梁無網(wǎng)格動力學方程的準確性。

參考文獻：

[1]Love A E H. Mathematical Theory of Elasticity [M]. Dover： New York. 1944.

[2]Simo J C. A finite strain beam formulation. The threedimensional dynamic problem. Part I[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 1985， 49（1）： 55—70.

[3]Reissner E. On onedimensional largedisplacement finitestrain beam theory [J]. Studies in Applied Mathematics， 1973， 52（2）： 87—95.

[4]Reissner E. On onedimensional finitestrain beam theory： the plane problem [J]. Journal of Applied Mathematics and Physics， 1972， 23（5）： 795—804.

[5]Antman S S. Kirchhoff problem for nonlinearly elastic rods [J]. Quarterly of Applied Mathematics， 1974， 32（3）： 221—240.

[6]Simo J C， VuQuoc L. A threedimensional finitestrain rod model. II. Computational aspects [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 1986， 58（1）： 79—116.

[7]Simo J C， VuQuoc L. On the dynamics in space of rods undergoing large motions a geometrically exact approach [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 1988， 66（2）： 125—161.

[8]Ibrahimbegovi A. On finite element implementation of geometrically nonlinear Reissner′s beam theory： threedimensional curved beam elements [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 1995， 122（12）： 11—26.

[9]Jeleni G.， Saje M. A kinematically exact space finite strain beam modelfinite element formulation by generalized virtual work principle[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 1995， 120（12）： 131—161.

[10]吳國榮， 顏桂云. 柔性梁大擾度動力響應(yīng)分析的多體系統(tǒng)方法[J]. 振動與沖擊， 2007， 26（3）： 87—88.

WU G R， YAN G Y. Large deflection dynamic response analysis of flexible beams by multibody system method [J]. Journal of Vibration and Shock，2007， 26（3）： 87—88.

[11]張志剛， 齊朝暉. 基于曲率插值的大變形梁單元[J]. 應(yīng)用數(shù)學和力學， 2013， 34（6）： 620—629.

ZHANG Z G， QING Z H. Large deformation beam element based on curvature interpolation [J]. Applied Mathematics and Mechanics，2013， 34（6）： 620—629.

[12]杜超凡， 章定國， 洪嘉振. 徑向基點插值法在旋轉(zhuǎn)柔性梁動力學中的應(yīng)用[J]. 力學學報， 2015， 47（2）： 279—288.

DU C F， ZHANG D G， HONG J Z. A meshfree method based on radial point interpolation method for the dynamic analysis of rotating flexible beams [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2015， 47（2）： 279—288.

[13]章孝順， 章定國， 洪嘉振. 考慮曲率縱向應(yīng)變效應(yīng)的大變形柔性梁剛?cè)狁詈蟿恿W建模與仿真[J]. 力學學報， 2016， 48（3）：692—701.

ZHANG X S， ZHANG D G， HONG J Z. Rigidflexible coupling dynamic modeling and simulation with the longitudinal deformation induced curvature effect for a rotating flexible beam under large deformation [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2016， 48（3）：692—701.

[14]古雅琦， 王海龍， 楊懷宇. 一種大變形幾何非線性EulerBernoulli梁單元[J]. 工程力學， 2013， 30（6）： 11—15.

GU Y Q， WANG H L， YANG H Y. A large deformation geometric nonlinear EulerBernoulli beam element [J]. Engineering Mechanics， 2013， 30（6）：11—15.

[15]何歡， 陳國平. 空間大撓度梁的有限元動力學響應(yīng)分析[J]. 南京航空航天大學學報， 2005， 37（2）： 198—202.

He Huan， Chen Guoping. Finite element method for dynamics response analysis of large deflection of threedimensional beam [J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， 2005， 37（2）： 198 — 202.

[16]余躍慶， 朱舜昆. 具有單拐點大變形梁的柔順機構(gòu)偽剛體模型[J]. 北京工業(yè)大學學報， 2015， 41（11）：1644—1651.

Yu Y Q， Zhu S K. Pseudorigidbody model of large deflection beams with single inflection in compliant mechanisms[J]. Journal of Beijing University of Technology， 2015， 41（11）：1644—1651.

[17]張新榃， 楊超， 吳志剛. 基于大變形梁模型的風力機葉片氣動彈性分析[J]. 北京航空航天大學學報， 2014， 40（3）：327—332.

ZHANG X T， YANG C， WU Z G. Aeroelastic analysis method for wind turbine blade based on large deformation beam model[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics， 2014， 40（3）：327—332.

[18]張志剛， 齊朝暉， 吳志剛. 一種基于應(yīng)變插值大變形梁單元的剛?cè)狁詈蟿恿W分析[J]. 振動工程學報， 2015， 28（3）：337—344.

Zhang Z G， Qi Z H， Wu Z G. Rigidflexible dynamics analysis of a large deformation beam element based on interpolation of strains [J]. Journal of Vibration Engineering， 2015， 28（3）：337—344.

[19]鄭彤， 章定國， 洪嘉振. 三維大變形梁系統(tǒng)的動力學建模與仿真[J]. 機械工程學報， 2016， 52（19）：81—87.

ZHENG T， ZHANG D G， HONG J Z. Dynamic modeling and simulation for three dimensional flexible beam systems with large deformations [J]. Journal of Mechanical Engineering， 2016， 52（19）：81—87.

[20]王金龍， 段夢蘭， 田凱. 海流作用下的深水懶波型立管形態(tài)研究[J]. 應(yīng)用數(shù)學和力學， 2014， 35（9）：959—968.

WANG J L， DUAN M L， TIAN K. Research on the configuration of the deepwater steel lazywave riser under effects of ocean currents [J]. Applied Mathematics and Mechanics， 2014， 35（9）：959—968.

[21]Borri M， Mantegazza P. Some contributions on structural and dynamic modeling of helicopter rotor blades [J]. IAerotecnica Missili e Spazio， 1985， 64（12）： 143—154.

[22]Hodges D H， Shang X， Cesnik C E S. Finite element solution of nonlinear intrinsic equations for curved composite beams [J]. Journal of the American Helicopter Society， 1996， 41（4）： 313—321.

[23]Shang X Y， Hodges D H， Peters D A. Aeroelastic stability of composite hingeless rotors in hover with finitestate unsteady aerodynamics [J]. Journal of the American Helicopter Society， 1999， 44（3）： 206—221.

[24]Cesnik C E S， Shin S. On the modeling of integrally actuated helicopter blades [J]. International Journal of Solids and Structures， 2001， 38（1013）： 1765—1789.

[25]Patil M J， Hodges D H， Cesnik C E S. Nonlinear aeroelastic analysis of complete aircraft in subsonic flow [J]. Journal of Aircraft， 2000， 37（5）： 753—760.

[26]Patil M J， Hodges D H， Cesnik C E S. Nonlinear aeroelasticity and flight dynamics of highaltitude longendurance aircraft [J]. Journal of Aircraft， 2001， 38（1）： 88—94.

[27]Hodges D H， Patil M J， Chae S. Effect of thrust on bendingtorsion flutter of wings [J]. Journal of Aircraft， 2002， 39（2）： 371—376.

[28]Patil M J， Hodges D H. Flight dynamics of highly flexible flying wings [J]. Journal of Aircraft， 2006， 43（6）： 1790—1798.

[29]Chang C S， Hodges D H， Patil M J. Flight dynamics of highly flexible aircraft [J]. Journal of Aircraft， 2008， 45（2）： 538—545.

[30]Hodges D H. Geometrically exact， intrinsic theory for dynamics of curved and twisted anisotropic beams [J]. AIAA Journal， 2003， 41（6）： 1131—1137.

Solving the nonlinear dynamic equations of the intrinsic beam formula by using

element free method for the flexible beam with large deflection

HE Huan1，2， WANG Tao1， LIU Panglun1， CHEN Guoping1，2

（1. State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University

of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China；

2. Institute of Vibration Engineering Research， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： The intrinsic beam formula which is defined in the Frenet frame is one of the geometrically exact beam theories. This means that the deformation or the configuration of the beam can be described by the intrinsic beam theory exactly. By using the intrinsic beam theory， the equations of the beam can be expressed by lower order nonlinear terms with elegant form. This paper presents a meshless method for dynamic analysis of the large deflection flexible beam based on the intrinsic beam theory. The point interpolation meshless method is combined with the intrinsic beam formula to obtain the discretization equation of motion for the large deflection curved beam. Owing to the advantages of the intrinsic beam theory， the resulted equations are expressed in the first order partial differential form with second order nonlinear terms. With application of the presented method， the equation of motion of the large deflection flexible beam can be easily constructed without using integration with background cells， which the finite element always require. Thus， the present method does not need the integration process for every element during each time step. Finally， numerical example shows that the results predicted with the proposed method have good agreement with those generated using the commercial finite element software ABAQUS. Key words： nonlinear vibration； multibody dynamics； mesh free method； intrinsic beam； large deflection作者簡介：何歡（1978—），男，副教授。電話：13913865435；Email： hehuan@nuaa.edu.cn

Abstract：

Key words： intrinsic beam； nonlinear； mesh free method； dynamic analysis； large deflection； flexible beam.

作者簡介： 何歡（1978 – ），男，副教授。電話：13913865435； Email： hehuan@nuaa.edu.cn