趙帥 陳前 姚冰

摘要： 對(duì)雙振子局域共振軸縱向振動(dòng)的帶隙行為進(jìn)行了研究，采用傳遞矩陣法推導(dǎo)得到了雙振子局域共振軸縱振能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系的解析表達(dá)式，對(duì)雙振子局域共振軸的帶隙進(jìn)行了計(jì)算。結(jié)果表明在振子總質(zhì)量相同的情形下，雙振子局域共振軸相比于單振子而言能夠拓寬帶隙寬度。此外，針對(duì)振子間距比對(duì)雙振子局域共振帶隙特性的影響進(jìn)行了分析。研究發(fā)現(xiàn)：盡管原胞的晶格常數(shù)保持不變，然而振子間距比會(huì)對(duì)各帶隙的寬度產(chǎn)生影響，帶隙極大寬度發(fā)生條件為振子間距比θ=0.5或θ=1（θ=0）時(shí)；在一些情形下，適當(dāng)?shù)拈g距比可以使得局域共振帶隙之間產(chǎn)生帶隙融合現(xiàn)象，進(jìn)而形成一個(gè)超寬帶隙；對(duì)于雙振子局域共振軸，布拉格帶隙邊界頻率不完全取決于晶格常數(shù)，而且還同振子間距比相關(guān)。關(guān)鍵詞： 減振； 聲子晶體； 局域共振； 雙振子； 帶隙

中圖分類號(hào)： TB532文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 10044523（2017）04057007

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.007

引言

聲子晶體作為一種人工合成的周期性復(fù)合材料，這一概念自提出以來(lái)就成為眾多研究者的關(guān)注對(duì)象[13]。聲子晶體中最引人注目的為其帶隙特性，即彈性波在一定頻段范圍內(nèi)不能傳播，該頻率范圍內(nèi)的頻段也稱為禁帶。這一特性的存在也使得聲子晶體在減振降噪領(lǐng)域受到極大關(guān)注。

長(zhǎng)期以來(lái)，聲子晶體的研究都基于布拉格散射機(jī)理進(jìn)行的，由于其帶隙頻率主要同晶格常數(shù)以及基體的波數(shù)有關(guān)，若要獲得低頻帶隙，則需要聲子晶體的結(jié)構(gòu)尺寸龐大，這就使得聲子晶體在低頻范圍內(nèi)的減振降噪受到一定限制。劉正猷等于2000年提出的局域共振帶隙機(jī)理[3]，則為聲子晶體在低頻的應(yīng)用打開新的方向。他們構(gòu)造了三維聲子晶體，其原胞是由包裹著鉛的橡膠球放入環(huán)氧樹脂基體中組成的，進(jìn)而形成了局域共振帶隙。通過試驗(yàn)表明該局域共振帶隙頻率能夠低于同樣尺寸下布拉格散射帶隙頻率兩個(gè)數(shù)量級(jí)，進(jìn)而打破了布拉格散射的限制。

對(duì)于局域共振聲子晶體的構(gòu)造一般是通過在基體材料上布置一系列周期振子的方式，這一方法也已拓展到的工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域，例如桿、梁、板等工程結(jié)構(gòu)[412]。通過在這樣結(jié)構(gòu)上安置一系列局域振子能夠使得結(jié)構(gòu)獲得低頻局域共振帶隙。然而，一直以來(lái)，對(duì)于局域共振型聲子晶體研究基本上都是針對(duì)原胞中僅含單個(gè)振子的情形進(jìn)行的，而對(duì)于晶格中存在雙振子的局域共振聲子晶體的帶隙現(xiàn)象則受到較少關(guān)注。軸類結(jié)構(gòu)作為工程中常用的功率傳動(dòng)構(gòu)件，廣泛應(yīng)用于船舶、車輛、航空等領(lǐng)域，所以對(duì)于軸類構(gòu)件的減振降噪也成為眾多研究者的關(guān)注目標(biāo)之一。其中軸系的縱向振動(dòng)作為動(dòng)力工程中常見現(xiàn)象廣泛地存在于旋轉(zhuǎn)軸系中，并對(duì)軸的壽命、穩(wěn)定性以及機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的可靠性等產(chǎn)生不良的影響，因此軸系的縱向振動(dòng)控制問題得到廣泛的重視，故雙振子局域共振聲子晶體在軸系縱振控制方面的應(yīng)用研究具有較大的工程價(jià)值和一定的理論意義。

本文結(jié)合傳遞矩陣法和Bloch定理推導(dǎo)了無(wú)限周期結(jié)構(gòu)下雙振子局域共振軸縱向振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)的解析表達(dá)式，分析了雙振子局域共振軸的帶隙特性，并將其同單振子局域共振軸進(jìn)行了比較。最后，針對(duì)振子間距比對(duì)雙振子局域共振軸的帶隙特性的影響進(jìn)行了分析。

1雙振子局域共振軸建模方法〖2〗1.1無(wú)限周期結(jié)構(gòu)雙振子局域共振軸圖1（a）為具有無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的雙振子局域共振軸，圖1（b）所示為雙振子局域共振軸的周期單元，稱作原胞。雙振子局域共振軸由無(wú)限長(zhǎng)度的均勻質(zhì)量的等截面軸和并聯(lián)在上面的振子單元組成，其中軸的截面積為A，單個(gè)周期長(zhǎng)度（晶格常數(shù)）為L(zhǎng)。振子1位于原胞的最左端，其由質(zhì)量單元m1和剛度單元k1組成，振子2與振子1的間距為L(zhǎng)1，其由質(zhì)量單元m2和剛度單元k2組成。對(duì)于一維雙振子局域共振型聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的推導(dǎo)，可以先將包含雙振子的原胞結(jié)構(gòu)分離為2個(gè)單振子原胞結(jié)構(gòu)單獨(dú)考慮，再結(jié)合接觸界面的連續(xù)條件得到整個(gè)原胞的狀態(tài)矢量關(guān)系，并引入周期邊界條件，進(jìn)而獲得雙振子的局域共振帶隙的能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系。

圖1雙振子局域共振軸示意圖

Fig.1Schematic representation of a LR shaft with double arrays of resonators

第4期趙帥，等： 間距比對(duì)雙振子局域共振軸縱振帶隙的影響振 動(dòng) 工 程 學(xué) 報(bào)第30卷先考慮附加單個(gè)振子的軸單元，如圖2所示。軸的截面積為A，長(zhǎng)度為L(zhǎng)。振子由質(zhì)量單元m和剛度單元k組成。對(duì)于不含有振子的軸單元，一般可通過求解單元兩端狀態(tài)向量的關(guān)系得到軸單元的傳遞矩陣。而對(duì)于一端含有單個(gè)振子的軸單元，可以通過將振子對(duì)軸的影響效果等效為作用在軸上的外力，進(jìn)而可以推導(dǎo)出并聯(lián)單振子軸單元的等效傳遞矩陣關(guān)系，從而可以簡(jiǎn)化后續(xù)的局域共振軸能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系的計(jì)算。

圖2附加單振子軸單元的狀態(tài)矢量

Fig.2State vectors of a LR shaft with single array of resonators

對(duì)于不含有局域振子的軸的縱向自由振動(dòng)，設(shè)ux（x）為x處的縱向位移，其振動(dòng)微分方程為E2ux（x，t）x2=ρ2ux（x，t）t2（1）式中ρ，E分別為軸的密度和楊氏模量。軸的縱向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移可以表示為ux（x，t）=Ux（x）·e-iωt，其中ω為角頻率，Ux（x）為軸的縱波質(zhì)點(diǎn)縱向振動(dòng)位移幅值。Ux（x）可以表示為Ux（x）=Psin（βx）+Qcos（βx）（2）式中β為軸的縱波波數(shù)，β=ω/c，c=E/ρ。

當(dāng)軸單元中附加振子后，軸產(chǎn)生縱向振動(dòng)時(shí)，振子質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力會(huì)傳遞給軸，該作用反力可以表示成f=DXA（3）式中D=-mω2kk-mω2為振子的動(dòng)剛度，反映了單位基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧位移引起的對(duì)接力。m和k分別為振子的質(zhì)量和剛度；XA為對(duì)接點(diǎn)的縱向位移。

對(duì)于圖2所示的軸單元，定義[X，N]T為軸的狀態(tài)矢量，式中X，N分別為位移和力。則軸單元最右端（即x=L處）的狀態(tài)矢量可表示為

Xi，i+1=[Psin（βL）+Qcos（βL）]e-iωt（4a）

Ni，i+1=EAβ[Pcos（βL）-Qsin（βL）]e-iωt（4b）

同理，考慮到振子在對(duì)接點(diǎn)處的作用反力，軸單元最左端（即x=0處）的狀態(tài)矢量表達(dá)式可寫為Xi-1，i=Qe-iωt（5a）

Ni-1，i=EAβ·Pe-iωt-D·Xi-1，i（5b）經(jīng)過推導(dǎo)變換可以得到P=（Ni-1，i+D·Qe-iωt）/（EAβ·e-iωt）（6a）

Q=Xi-1，i/e-iωt（6b）將式（6）代入式（4）得到軸兩端的狀態(tài)向量的關(guān)系式

Xi，i+1=Ni-1，i+D·Xi-1，iEAβsin（βL）+

Xi-1，icos（βL）（7a）

Ni，i+1=Ni-1，icos（βL）+D·Xi-1，icos（βL）-

EAβXi-1，isin（βL）（7b）

將式（7）寫成矩陣形式，可得到

X

Ni，i+1=cosβL+DsinβLEAβsinβLEAβ

-EAβsinβL+DcosβLcosβLX

Ni-1，i=

HX

Ni-1，i（8）

式中H即為含有單振子軸單元的等效傳遞矩陣，表示為

H=cosβL+DsinβLEAβsinβLEAβ

-EAβsinβL+DcosβLcosβL（9）

至此，得到了單振子軸單元兩端的狀態(tài)矢量關(guān)系，所以對(duì)于雙振子局域共振軸的原胞而言，通過將周期單元分解成2個(gè)單振子軸單元，并根據(jù)接合面的連續(xù)關(guān)系，可得雙振子原胞單元的傳遞矩陣可以為

T=H2H1=cosβL2+D2sinβL2EAβsinβL2EAβ

-EAβsinβL2+D2cosβL2cosβL2·

cosβL1+D1sinβL1EAβsinβL1EAβ

-EAβsinβL1+D1cosβL1cosβL1=t11t12

t21t22（10）

式中D1=-m1ω2k1k1-m1ω2和D2=-m2ω2k2k2-m2ω2為振子1和振子2的動(dòng)剛度。

t11=cos（β（L1+L2））+D1sin（β（L1+L2））EAβ+

D2cos（βL1）sin（βL2）EAβ+D1D2sin（βL1）sin（βL2）（EAβ）2；

t12=sin（β（L1+L2））EAβ+D2sin（βL1）sin（βL2）（EAβ）2；

t21=-EAβsin（β（L1+L2））+D1cos（β（L1+L2））+D2cos（βL1）cos（βL2）+D1D2EAβsin（βL1）cos（βL2）；

t22=cos（β（L1+L2））+D2sin（βL2）cos（βL2）EAβ；

t11·t22-t12·t21=1。

對(duì)于雙振子局域共振軸而言，其相鄰原胞的狀態(tài)矢量關(guān)系可以表示為X

Ni，i+1=TX

Ni-1，i（11）由于軸在x方向?yàn)闊o(wú)限周期結(jié)構(gòu)，根據(jù)Bloch定理，可以得到X

Ni，i+1=eμX

Ni-1，i（12）式中μ稱為波的傳播系數(shù)，μ的實(shí)部定義為衰減系數(shù)，衰減系數(shù)表征波的幅值衰減程度；μ的虛部定義為相位系數(shù)，相位系數(shù)表征波在相鄰周期單元運(yùn)動(dòng)的相位差。

結(jié)合式（11）和（12），得到（T-eμ·I）X

Ni-1，i=0（13）根據(jù)上式可知，eμ為矩陣T的特征值。故將矩陣T中的向量代入式（13）得到cosh（μ）=t11+t222（14）進(jìn)而得到局域共振軸的能帶關(guān)系為

cosh（μ）=cosβL+D12·sinβLEAβ+D22·sinβLEAβ+

D1D22·sinβL1sinβL2〖〗（EAβ）2（15）

1.2有限周期結(jié)構(gòu)雙振子局域共振軸

由于具有無(wú)限周期的局域共振軸是一種理想模型，所以有必要研究在工程中可實(shí)際存在的有限周期結(jié)構(gòu)局域共振軸的振動(dòng)特性。對(duì)于有限個(gè)周期的局域共振型軸，可以采用振動(dòng)傳輸特性來(lái)分析軸的彈性波的傳播特性。

對(duì)于N個(gè)周期的雙振子局域共振軸而言，軸左右兩端的狀態(tài)矢量有如下關(guān)系XR

NR=TNXL

NL=T11T12

T21T22XL

NL（16）假定僅軸的左端受到一簡(jiǎn)諧力作用，根據(jù)傳遞矩陣可以計(jì)算得到軸兩端的位移傳遞率為T=XR/XL=T11-T12T21/T22（17）2帶隙計(jì)算

采用上節(jié)理論方法對(duì)雙振子局域共振軸的帶隙進(jìn)行計(jì)算，其中原胞晶格常數(shù)為L(zhǎng)=0.2 m，雙振子間距L1=0.1 m。軸的截面積為A=5×10-5 m2，其彈性模量和密度分別為E=1.5×1010 Pa和ρ=1200 kg·m-3。振子1和振子2的質(zhì)量和剛度參數(shù)分別選取為：m1=0.047915 kg，k1=1×107 N/m，m2=0.0112765 kg，k2=1×107 N/m。根據(jù)式（15）可以計(jì)算得到雙振子局域共振軸的能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系。

圖3表示雙振子局域共振軸的能帶結(jié)構(gòu)曲線圖，圖中呈現(xiàn)了衰減系數(shù)和相位系數(shù)，從圖中可以看到雙振子局域共振軸在1768～3025 Hz和3559～7176 Hz頻段范圍里存在2個(gè)帶隙，各帶隙的衰減系數(shù)最大值頻率對(duì)應(yīng)著振子1和振子2的固有頻率。同時(shí)，對(duì)于不同周期個(gè)數(shù)下有限長(zhǎng)度的雙振子局域共振軸的振動(dòng)傳輸特性也進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖4所示，可以發(fā)現(xiàn)，盡管周期數(shù)不相同，但衰減的頻段范圍均是一致的，而且與無(wú)限周期計(jì)算的帶隙范圍吻合較好。同時(shí)可以觀察到，隨著周期數(shù)的增加，帶隙頻率范圍內(nèi)的衰減程度也會(huì)增加。

圖3無(wú)限周期局域共振軸能帶結(jié)構(gòu)圖

Fig.3Band structure of a LR shaft with double arrays of resonatorst

圖4不同周期個(gè)數(shù)下雙振子局域共振軸振動(dòng)傳輸特性

Fig.4Vibration transmittances of finite LR shaft with different periods

對(duì)于實(shí)際工程中的雙振子局域共振型軸，可以結(jié)合前述的雙振子力學(xué)模型對(duì)局域共振軸的原胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化，進(jìn)而可以根據(jù)理論計(jì)算得到局域共振型的傳輸特性。

為了驗(yàn)證本文局域共振軸能帶結(jié)構(gòu)的理論計(jì)算結(jié)果，本文設(shè)計(jì)了一種雙振子局域共振型軸，并且采用了有限元軟件對(duì)具有8個(gè)周期單元的雙振子局域共振軸進(jìn)行仿真建模。其中振子由圓柱形金屬塊和柔軟的橡膠材料組成，如圖5所示，金屬塊提供振子所需的質(zhì)量，橡膠材料則提供剛度。振子1和振子2的徑向尺寸相同，即彈性層的內(nèi)外半徑分別為R1和R2，金屬層的外半徑則為R3，而寬度分別為h1和h2。振子1和振子2的最外層金屬材料分別為鉛和鋁，振子材料的具體參數(shù)如表1所示，其中ρ，E和G分別表示密度、彈性模量和剪切模量。

當(dāng)縱向波在軸內(nèi)傳播時(shí)，金屬塊會(huì)產(chǎn)生軸向位移，圓柱形橡膠層將產(chǎn)生剪切變形，此時(shí)振子可以簡(jiǎn)化為一質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，橡膠層的縱向剛度可以近似表示為[13]k=2πGh/（lnR2-lnR1）（18）結(jié)合式（18）和本節(jié)理論計(jì)算采用的振子參數(shù)，可以設(shè)計(jì)得到振子的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表2所示。采用上述結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行有限元建模，仿真結(jié)果如圖6所示，圖中可以發(fā)現(xiàn)理論計(jì)算結(jié)果同軟件有限元仿真結(jié)果吻合良好，從而驗(yàn)證了上述理論方法的正確性。圖6中還對(duì)雙振子局域共振軸和單振子局域共振軸的傳輸特性進(jìn)行了比較，其中雙振子的總質(zhì)量和單振子的質(zhì)量保持相同，從圖中可以看到雙振子局域共振軸相比單振子局域共振軸而言，擁有更寬的帶隙。

圖5雙振子局域共振軸結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.5Schematic representation of a LR shaft with double arrays of resonators表1材料參數(shù)

Tab.1Parameters of materials

材料ρ/（kg·m-3）E/PaG/Pa有機(jī)玻璃12001.5×10105.68×109鉛116004.08×10101.49×1010鋁27307.76×10102.87×1010橡膠13006.0×1072.0×107

表2振子結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.2Structures parameters of resonators

R1/mR2/mR3/mh1/mh2/m0.0040.005140.00960.020.02

圖6不同振子個(gè)數(shù)下局域共振軸的振動(dòng)傳輸特性

Fig.6Vibration transmittances of finite LR shaft with different arrays3帶隙特性研究

對(duì)于單振子局域共振型聲子晶體而言，當(dāng)晶格常數(shù)固定時(shí)，振子在原胞中的位置對(duì)局域共振帶隙不會(huì)產(chǎn)生影響。而對(duì)于雙振子局域共振軸而言，通過式（15）可知，盡管晶格常數(shù)保持不變，然而其能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系函數(shù)變量中含有振子1和振子2的間距，所以有必要研究振子間的距離對(duì)帶隙特性的影響。研究時(shí)，可將式（15）變換為

cosh（μ）=cosβL+D12EAβsinβL+D22EAβsinβL+

D1D22（EAβ）2sinθβLsin（（1-θ）βL）（19）

式中θ=L1/L為振子間距比，0≤θ≤1。

圖7雙振子局域共振軸帶隙三維曲面圖（k1=2×107 N/m）

Fig.73D surface view of the bandgap behavior of a LR shaft （k1=2×107 N/m）

在研究振子間距比這一無(wú)量綱參數(shù)對(duì)帶隙特性的影響時(shí)，軸的幾何參數(shù)和材料參數(shù)同前述理論計(jì)算保持一致。圖7所示為根據(jù)式（19）所繪制的雙振子局域共振軸帶隙衰減系數(shù)的三維曲面圖，其中振子1的質(zhì)量和剛度參數(shù)分別為m1=0.096 kg，k1=2×107 N/m，而振子2的質(zhì)量和剛度參數(shù)為m2=0.024 kg，k2=2×107 N/m。為了更好地觀察帶隙特性，可以將三維曲面圖在fθ平面（0≤f≤20000 Hz，0≤θ≤1）進(jìn)行投影，進(jìn)而得到了二維平面投影圖，其中圖中的顏色區(qū)域是由該衰減的衰減系數(shù)所確定的。該二維圖中可以清楚地呈現(xiàn)振子間距比對(duì)帶隙特性行為的影響，包括帶隙位置、帶隙寬度以及衰減程度等。圖8表示的為不同的振子1剛度參數(shù)下振子位置對(duì)帶隙特性的影響，其中振子1和振子2的其他參數(shù)同圖7所用一致。

圖8振子間距比對(duì)局域共振軸帶隙特性的影響

Fig.8Effects of the spacing ration on the bandgap behavior of a LR shaft

從圖8（a），（b）中可以觀察到在所示的頻率區(qū)域內(nèi)存在兩種類型的帶隙，即局域共振型帶隙和布拉格散射型帶隙。可以看到各帶隙的寬度均會(huì)隨著振子間距的變化而改變，并且注意到：對(duì)于第一個(gè)帶隙而言，帶隙寬度隨著振子間距比的增加逐漸減??；而對(duì)于第二帶隙而言，帶隙寬度會(huì)隨著振子間距比增加逐漸變大；當(dāng)振子的間距比為θ=0.5，即振子2位于原胞的中間位置時(shí)，此第一帶隙的寬度最小，而第二帶隙的寬度最大；對(duì)于第三帶隙，其現(xiàn)象與第一帶隙類似。上述現(xiàn)象表明，對(duì)于雙振子局域共振軸而言，盡管原胞晶格常數(shù)固定不變，但原胞中振子的分布會(huì)對(duì)帶隙的寬度產(chǎn)生影響，通過選擇適當(dāng)?shù)拈g距比可以獲得更寬的帶隙。

通過圖8（a），（b）還可以看到，第一帶隙和第二帶隙之間存在著一個(gè)通帶，通帶的寬度也會(huì)隨著振子間距比的變化產(chǎn)生變化。值得關(guān)注的是，在圖8（b）中，如果振子間距比選擇適當(dāng)，帶隙中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)有趣現(xiàn)象。對(duì)于圖8（b），其振子1的剛度為k1=3.24×107 N/m，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)振子間距比θ=0.5時(shí)，此時(shí)第一帶隙和第二帶隙之間的通帶寬度變?yōu)榱悖M(jìn)而第一和第二帶隙融合在一起，形成了一個(gè)更寬的帶隙。通過進(jìn)一步觀察還可以發(fā)現(xiàn)，在新形成的融合帶隙中，原本由振子1存在所形成的尖銳衰減峰消失，使得在新的帶隙范圍內(nèi)僅出現(xiàn)振子2的衰減峰值。為了更清晰地觀察該現(xiàn)象，對(duì)具有8個(gè)周期單元的有限局域共振軸的傳輸特性進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖9所示，其同無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的帶隙計(jì)算結(jié)果保持一致。值得指出的是，此處觀察到帶隙融合現(xiàn)象不同于局域共振帶隙和布拉格散射帶隙之間的帶隙耦合現(xiàn)象，因?yàn)榫钟蚬舱駧逗筒祭駧吨g的耦合現(xiàn)象是在振子固有頻率同布拉格散射帶隙邊界頻率相同的條件下產(chǎn)生的，而注意到該局域共振軸的布拉格散射帶隙的最低頻率帶隙邊界f=（1/2）·（c/L）=8838.8 Hz，高于振子1和振子2的固有頻率。

同時(shí)，值得關(guān)注的另一個(gè)特征為：對(duì)于圖8中的布拉格散射型帶隙而言，并沒有出現(xiàn)一條由布拉格邊界所確定的垂直邊界。換句話說，布拉格帶隙邊界不僅取決于晶格常數(shù)，而且同振子間距比有關(guān)。從圖中可以觀察到，僅在間距比為某些特殊值的情形下，帶隙中才出現(xiàn)布拉格帶隙邊界。如圖8中虛線箭頭所標(biāo)示的，布拉格帶隙最低頻率的邊界fB1=（1/2）·（c/L）=8838.8 Hz僅存在于間距比為θ=0和θ=1的情形下，而另一布拉格帶隙邊界頻率fB2=c/L=17678 Hz則僅存在于θ=0，θ=0.5以及θ=1的情形下。

圖9有限周期局域共振軸的振動(dòng)傳輸特性 （k1=

3.24×107 N/m）

Fig.9Vibration transmittances of finite LR shaft （k1=3.24×107 N/m）4結(jié)論

本文針對(duì)雙振子局域共振軸的縱向振動(dòng)帶隙特性進(jìn)行了研究，采用了傳遞矩陣法得到該聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系的解析式，對(duì)振子間距比對(duì)帶隙特性的影響進(jìn)行了研究，主要結(jié)論歸納如下：

（1）對(duì)于附加多個(gè)振子的局域共振型聲子晶體，可以將原胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行分解，通過獲得包含單個(gè)振子單元的等效傳遞矩陣，進(jìn)而再根據(jù)接合面的連續(xù)關(guān)系獲得周期單元的整體傳遞矩陣，從而可以簡(jiǎn)化能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系的推導(dǎo)。

（2）理論計(jì)算結(jié)果表明雙振子局域共振軸能夠獲得良好的帶隙特性，而且相比較于單振子而言，在振子總質(zhì)量相同的前提下能夠拓寬帶隙的寬度，可應(yīng)用于軸系寬頻減振中。

（3）在晶格常數(shù)固定的情況下，振子間距會(huì)對(duì)雙振子局域共振軸的各個(gè)帶隙的寬度產(chǎn)生影響，通過合理設(shè)計(jì)振子間距能夠獲得更寬的帶隙寬度。而且，在一些條件下，局域共振軸能帶結(jié)構(gòu)中存在帶隙融合現(xiàn)象，進(jìn)而可形成一個(gè)寬頻帶的整體帶隙。此外，對(duì)于雙振子局域共振軸，盡管晶格常數(shù)保持不變，其布拉格帶隙邊界頻率會(huì)隨著振子間距比的改變而變化。這些特點(diǎn)同常見的單振子局域共振聲子晶體有很大的不同，可為聲子晶體的減振應(yīng)用提供更寬廣的空間。

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Effects of spacing ratio on the elastic wave band gaps in longitudinal

vibration of locally resonant shaft with double resonators

ZHAO Shuai， CHEN Qian， YAO Bing

（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University of Aeronautics

and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： The longitudinal vibration band gap property of locally resonant （LR） shaft with double resonators is studied using the transfer matrix method. The band structure of the LR shaft is calculated. It is found that a LR shaft with double resonators can have a broader band gaps than that with single resonator. Furthermore， the effect of the spacing ration on the band gaps is studied. It is shown that the spacing ratio can have an influence on the width of band gap and the width of band gap turns to the maximum only as or θ=0.5 or θ=1（θ=0）. Furthermore， for some LR shafts， a phenomenon of band gap mergence can be observed as the spacing ratio is properly set， giving rise to a superwide gap. In addition， it is found that Bragg scattering gap edge frequencies of LR shaft with double arrays of resonators may not only depend on the lattice constant， but also the spacing ration.Key words： vibration attenuation； phononic crystals； locally resonant； double resonators； band gap作者簡(jiǎn)介： 趙帥（1990—），男，博士研究生。電話： 15850513289； Email： szhaodetec@nuaa.edu.cn