機械結(jié)合面切向接觸剛度的三維分形理論建模
2018-05-31 12:38潘五九李小彭李木巖王雪高建卓聞邦椿
振動工程學報 2017年4期
潘五九 李小彭 李木巖 王雪 高建卓 聞邦椿
摘要： 將微凸體的彈塑性變形區(qū)進一步劃分，并考慮三維結(jié)合面形貌的WM函數(shù)，推導(dǎo)了三維機械結(jié)合面切向分形接觸剛度的理論模型。數(shù)值模擬了結(jié)合面的三維切向接觸剛度隨著分形維數(shù)D、分形尺度系數(shù)G、材料特征參數(shù)間的變化趨勢，以及二維分形和三維分形間的對比分析。仿真結(jié)果顯示：機械結(jié)合面的三維切向接觸剛度與法向載荷和材料特征參數(shù)成單調(diào)遞增關(guān)系，與分形尺度系數(shù)成單調(diào)遞減關(guān)系；而其與分形維數(shù)之間以D=2.5為界，依次成遞增與遞減關(guān)系；三維分形下的結(jié)合面切向接觸剛度大于二維分形下的結(jié)合面切向接觸剛度。切向接觸剛度模型的構(gòu)建可為后續(xù)粗糙表面接觸非線性動力學及整機動力學模型的建立提供基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞： 結(jié)合面； 三維分形； 彈塑性區(qū)再劃分； 切向剛度； 分形理論
中圖分類號： TH113.1； TB123文獻標志碼： A文章編號： 10044523（2017）04057710
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.008
引言
機械結(jié)合面大量存在于機械系統(tǒng)中，如高精密機床導(dǎo)軌間的結(jié)合面、剎車制動盤間的結(jié)合面、精密減速器中齒輪間的結(jié)合面、微納器件間的結(jié)合面等。對機械結(jié)合面研究的核心本質(zhì)問題，就是對兩個粗糙表面間的相互接觸進行分析計算。經(jīng)過機械加工的零部件表面看似光滑，實際上從微觀來看表面存在著類似于山峰高低起伏般的粗糙度。當機械進行作業(yè)任務(wù)，傳遞運動載荷或其受到外部激勵時，結(jié)合面間微凸體形貌的變化將影響系統(tǒng)的振動、摩擦、磨耗、潤滑、熱阻、電阻及接觸剛度和接觸阻尼等。而這些表征量又直接影響一個系統(tǒng)的靜、動態(tài)特性，進而宏觀表現(xiàn)為影響系統(tǒng)的加工精度，運行精度以及振動噪聲等現(xiàn)象。
因此，有必要基于Hertz理論[1]和分形理論[2]對微凸體接觸進行分析，進而推導(dǎo)出機械結(jié)合面的接觸剛度模型，這是研究系統(tǒng)靜、動態(tài)特性的核心問題之一，也是學術(shù)界和企業(yè)界一直研究的熱點。為此很多國內(nèi)外學者對粗糙結(jié)合面接觸特性進行了深入的探討。Bemporad等[3]給出了一種可用于自仿射分形表面法向接觸下的優(yōu)化算法，該法可有效應(yīng)用于工程粗糙表面間接觸分析。Pohrt等[4]利用邊界有限元法來分析法向和切向接觸問題。Jourani[5]在進行加載接觸分析時考慮微凸體間相互作用影響，并分析了三維分形維數(shù)對接觸面積的影響。溫淑花和張學良等[67]基于MB模型[8]建立了考慮域擴展因子的結(jié)合面切向剛度模型，并分析了切向剛度和很多結(jié)合面間參數(shù)的影響關(guān)系；田紅亮等[910]在改進分形理論和嚴格應(yīng)用Hertz接觸力學基礎(chǔ)上建立切向接觸剛度模型，并進行了法、切向剛度的相關(guān)驗證。李小彭等[11]建立了考慮摩擦因素的結(jié)合面法向剛度分形模型；Jiang等[12]通過實驗給出了不同加工表面下的剛度值，并將它們與理論值進行對比；You [13]給出了結(jié)合面上法向和切向的統(tǒng)計模型。Zhao等[14]建立了結(jié)合面上微凸體從彈性到完全塑性變形的微接觸模型。
經(jīng)過對以上文獻中理論模型分析后發(fā)現(xiàn)，以上理論建模均是在二維接觸曲線下，即在分形維數(shù)為1 1機械結(jié)合面三維分形接觸理論基礎(chǔ) 根據(jù)赫茲理論知，兩微凸體相互接觸可等效為一剛性光滑平面和一等效微凸體相接觸。簡化之后的模型如下圖1所示。 圖1光滑剛性平面與等效微凸體接觸 Fig.1Contact between smooth rigid plane and equivalent asperity 圖1中直角三角形obc由勾股定理可得R2=r′2+（R-ω）2（1）式（1）變形可得R=ω2+r′22ω（2）由于變形量ω遠小于R，故假設(shè)Rω2，可得近似式為R≈r′22ω（3）第4期潘五九，等： 機械結(jié)合面切向接觸剛度的三維分形理論建模振 動 工 程 學 報第30卷圖1中沒有變形的等效微凸體和剛性光滑平面接觸的橫截面積是A=πr′2=π[R2-（R-ω）2]≈2πRω（4）微凸體赫茲接觸時，實際接觸面積的半徑[13]r為：r=3peR4E13（5） E=1-ν21E1+1-ν22E2-1（6）式中E表示等效彈性模量；E1和E2表示兩相互接觸的微凸體的彈性模量；ν1和ν2則表示它們的泊松比。 式（5）中pe為單個微凸體處于彈性變形階段時所承受的法向載荷[15]pe=43ER0.5ω1.5（7）將式（7）代入式（5）可得r=R0.5ω0.5（8）將式（3）代入式（8）可得r=22r′（9）根據(jù)式（4）和（9），圖1中等效微凸體和剛性光滑平面實際接觸面積為a=πr2=12πr′2=πRω（10）Yan等[16]改進WM函數(shù)，得到了能更加準確模擬三維表面形貌的曲面函數(shù)式。修改后的WM函數(shù)關(guān)系式為 z（x，y）=LGL（D-2）lnγM1/2∑Mm=1∑nmaxn=0γ（D-3）n× cosφm，n-cos2πγn（x2+y2）1/2L× cos（tan-1yx-πmM+φm，n（11） 式中L為表面形貌取樣長度；D為三維表面形貌分形維數(shù)（2 由式（13）～（15）能推導(dǎo)出微凸體的臨界彈性變形面積 ac=23D-112-D33kμ〖〗4022-Dπ4-D2-D（lnγ）1D-2G2（16） 由文獻[1718]可知，對于微凸體的彈塑性區(qū)仍可再劃分為兩個區(qū)域，即彈塑性第一區(qū)域和彈塑性第二區(qū)域，且給出這兩個分區(qū)的各自臨界面積為aep1=11012-Dac（17） aep2=612-Dac（18）2.2建立微凸體在各變形階段的法向接觸載荷 當單個微凸體受載處于彈性變形階段時，其變形量與受載的關(guān)系見式（7）。根據(jù)式（7），（13）與（14）可得表示成載荷是接觸面積的函數(shù)p5（a）=13EπD-42215-3D2（lnγ）12GD-2a4-D2（19）單個微凸體塑性變形階段法向載荷[11]pp=λσya（20）式中λ=H/σy為定義的系數(shù)，H為較軟材料的硬度。 根據(jù)文獻[17]，彈塑性接觸第一、二區(qū)的法向接觸載荷和表面微凸體變形量之間存在關(guān)系有： 當1≤ω/ωc≤6時，法向接觸載荷p與微凸體變形量間關(guān)系為ppc=1.03（ω〖〗ωc）1.425（21）當6≤ω/ωc≤110時，法向接觸載荷p與微凸體變形量間關(guān)系為ppc=1.40（ωωc）1.263（22）式（21）和（22）中，pc為ω=ωc時的法向接觸載荷，pc=43ER0.5ω1.5c。 聯(lián)合式（13）～（15）和式（21）～（22），可推導(dǎo)出微凸體彈塑性第一，第二區(qū)域的法向接觸載荷與接觸面積的關(guān)系： 當1≤ω/ωc≤6時，有 pep1=1.033E（33kμ40）0.15（lnγ）0.425× π0.425D-1.726.75-1.275DG0.85D-1.7a1.85-0.425D（23） 當6≤ω/ωc≤110時，有 pep2=1.403E（33kμ40）0.474（lnγ）0.263× π0.263D-1.05224.893-0.789DG0.526D-1.052a1.526-0.263D（24） 2.3微凸體的切向載荷與切向接觸剛度 據(jù)文獻[19]的研究，單個微凸體所承受的切向載荷為Q=8aσy6-3νπ+82ν-1π6-3νp（25）式中σy為材料屈服強度；ν為泊松比。 微凸體在結(jié)合面上的面積分布函數(shù)[16]n（a）和最大微凸體接觸面積al間的關(guān)系為na=D-12aD-12la-D+12， 0 （1）D≠2.5時 Te=∫alac8aσy6-3νπ+82ν-1π6-3νpen（a）da= 8σyD-1π6-3ν3-Da0.5D-0.5l（a1.5-0.5Dl- a1.5-0.5Dc）+2ν-1E3π6-3ν5-2D· π0.5D-2lnγ0.5GD-2×211.5-1.5Da0.5D-0.5l· a2.5-Dl-a2.5-Dc（27） （2）D=2.5時 Te=∫al ac 8aσy6-3νπ+82ν-1π6-3νpe nada= 24σy π6-3νa0.75l（a0.25l-a0.25c）+ 2ν-1Eπ6-3νπ-0.75（lnγ）0.5G0.524.75a0.75llnalac（28） 對于所有處于彈塑性階段的微凸體切向載荷為： 當1≤ω/ωc≤6時，根據(jù)式（23），（25）和（26）有 Tep1=∫aep2aep18aσy6-3νπ+82ν-1π6-3νpep1nada= 8σyD-1π6-3ν3-Da0.5D-0.5l（a1.5-0.5Dep2- a1.5-0.5Dep1）+2.06E2ν-136-3ν2.35-0.925D· 33kμ400.15×（lnγ）0.425π0.425D-2.728.75-1.275D· G0.85D-1.7a0.5D-0.5l×（a2.35-0.925Dep2- a2.35-0.925Dep1）（29） 當6≤ω/ωc≤110時，根據(jù)式（24） ～（26）有 Tep2=∫acaep28aσy6-3νπ+82ν-1π6-3νpep2nada= 8σyD-1〖〗π6-3ν3-Da0.5D-0.5l（a1.5-0.5Dc- a1.5-0.5Dep2）+1.4E2ν-136-3ν2.026-0.763D· 33kμ400.474×（lnγ）0.263π0.263D-2.05227.893-0.789D· G0.526D-1.052×a0.5D-0.5l（a2.026-0.763Dc- a2.026-0.763Dep2） （30） 單個微凸體的切向接觸剛度kt表示為[6]kt=8a0.52-νπ1-1μTP13（31）式中為結(jié)合面材料的等效剪切彈性模量。 3建立機械結(jié)合面三維分形下的接觸狀態(tài)〖*2〗3.1機械結(jié)合面上的法向載荷對面積分布函數(shù)在各個變形區(qū)間進行連續(xù)積分，可計算出整個結(jié)合面上的實際接觸面積Ar，它應(yīng)包含微凸體經(jīng)歷從彈性變形，彈塑性第一、二區(qū)域變形和完全塑性變形各個階段的接觸面積總和。 Ar=∫aep10n（a）ada+∫acaep2n（a）ada+ ∫alacn（a）ada=D-13-Dal（32） （1）D≠2.5時，總法向載荷由式（17） ～（20），（23），（24）和（26）得 P=∫aep10ppn（a）da+∫aep2aep1pep2n（a）da+ ∫acaep2pep1n（a）da+∫alacpen（a）da= D-13-Dλσy1103-D4-2Da0.5D-0.5la1.5-0.5Dc+ 1.403E33kμ400.474D-12.026-0.763D· 23.893-0.789Dπ0.263D-1.052（lnγ）0.263· G0.526D-1.052a0.5D-0.5la2.026-0.763Dc[62.026-0.763D2-D- 1102.026-0.763D2-D]+1.03〖〗3E33kμ400.15· D-1〖〗2.35-0.925D25.75-1.275Dπ0.425D-1.7· （lnγ）0.425G0.85D-1.7a0.5D-0.5la2.35-0.925Dc[1- 62.35-0.925D2-D]+（D-1）3（2.5-D）· （26.5-1.5DEπ0.5D-2lnγ）0.5GD-2a0.5D-0.5l· （a2.5-Dl-a2.5-Dc）（33） 對式（33）進行無量綱化 P* = λh1 1103-D4-2Da（0.5D-0.5）*l a（1.5-0.5D）*c + 1.403（33kμ 40）0.474h2 23.393-0.289Dπ0.263D-1.052· （lnγ）0.263G（0.526D-1.052）*×a（0.5D-0.5）*l · a（2.026-0.763D）*c [62.026-0.763D2-D- 1102.026-0.763D2-D] +1.033（33kμ 40）0.15h3 · 25.25-0.775Dπ0.425D-1.7（lnγ）0.425G（0.85D-1.7）*· a（0.5D-0.5）*l a（2.35-0.925D）*c [1-62.35-0.925D2-D] + 13π0.5D-226.5-1.5Dh4 （lnγ）0.5G（D-2）*· a（0.5D-0.5）*l [a（2.5-D）*l -a（2.5-D）*c ] （34） 式中P=P/（EAa），al=al/Aa，ac=ac/Aa，G=G/Aa，h1=D-13-D，h2=D-12.026-0.763D，h3=D-1〖〗2.35-0.925D，h4=D-12.5-D。 （2）D=2.5時，總法向載荷由式（17） ～（20），（23），（24）和（26）得 P=∫aep10ppn（a）da+∫aep2aep1pep2n（a）da+ ∫acaep2pep1n（a）da+∫alacpen（a）da= 3λσy110-0.5a0.75la0.25c+0.7E33kμ400.474· 21.9205π-0.3945（lnγ）0.263×G0.263a0.75la0.1185c（6-0.237- 110-0.237）+0.515E33kμ400.1522.5625π-0.6375· （lnγ）0.425G0.425a0.75la0.0375c（1-6-0.075）+0.125E· π-0.7524.75（lnγ）0.5G0.5a0.75l（lnal-lnac） （35） 對式（35）進行無量綱化 P* = 3λ110-0.5a0.75*l a0.25*c + 0.733kμ 400.474· 21.9205π-0.3945（lnγ）0.263G0.263*a0.75*l a0.1185*c · （6-0.237-110-0.237） + 0.51533kμ 400.15· 22.5625π-0.6375（lnγ）0.425G0.425*a0.75*l a0.0375*c · （1-6-0.075） + 0.125π-0.7524.75（lnγ）0.5· G0.5*a0.75*l lna*la*c（36） 3.2結(jié)合面的三維分形切向接觸剛度 綜合式（17）～（19），（23），（24）和（26）～（30）可以得到三維分形切向剛度模型 Kt=∫aep2aep1ktep2n（a）da+∫acaep2ktep1n（a）da+ ∫alackten（a）da=8G2-νπ1-1〖〗μTep2Pep213· D-1〖〗2-D（60.5-1100.5）a0.5D-0.5la1-0.5Dc+1-1μ· Tep1Pep113D-12-D（1-60.5）a0.5D-0.5la1-0.5Dc+1-1μTePe13D-12-Da0.5D-0.5l（a1-0.5Dl-a1-0.5Dc）（37） 對式（37）進行無量綱化 Kt=∫aep2aep1ktep2n（a）da+∫acaep2ktep1n（a）da+ ∫alackten（a）da=82-νπ1-1μTep2Pep213· D-12-D（60.5-1100.5）a（0.5D-0.5）*la（1-0.5D）*c+ 1-1μTep1Pep113D-12-D（1-60.5）· a（0.5D-0.5）*la（1-0.5D）*c+1-1μTePe13· D-12-Da（0.5D-0.5）*l（a（1-0.5D）*l-a（1-0.5D）*c）（38） 式中Kt=Kt/Aa，al=al/Aa，ac=ac/Aa。 4數(shù)值仿真4.1切向剛度和分形維數(shù)D之間的關(guān)系根據(jù)文中式（32），（34），（36）和（38），給定無量綱參數(shù)G=10-10 ，=2.5 ，ν=0.3，μ=0.19。研究結(jié)合面切向接觸剛度在不同的D下的變化關(guān)系，如圖2所示。當2.1≤D≤2.5時，結(jié)合面切向剛度隨分形維數(shù)D成遞增關(guān)系；當2.5≤D≤2.9時，結(jié)合面切向剛度隨分形維數(shù)D成遞減關(guān)系。這是因為當D大于等于2.5時，結(jié)合面上微凸體變小，且單一微凸體的完全塑性變形比例提高，導(dǎo)致單一微凸體剛度減小，宏觀表現(xiàn)為三維結(jié)合面形貌的切向接觸剛度減小。且知，D對切向剛度的影響很大，表現(xiàn)為圖2 （a），（b）和（c）的縱坐標數(shù)值出現(xiàn)數(shù)量級上的差異。 4.2切向剛度與分形尺度系數(shù)G間的關(guān)系 根據(jù)文中式（32），（34），（36）和（38），分別給定無量綱參數(shù)G=10-9，10-10，10-11在D為2.2，2.5和2.8時的變化關(guān)系，如圖3所示。易見，結(jié)合面切向剛度隨無量綱分形尺度系數(shù)G增大而相應(yīng)的減小。原因為G越大，結(jié)合面的宏觀表面形貌越不光滑，整個表面上的微凸體的彈性變形能下降，宏觀表現(xiàn)為結(jié)合面的切向接觸剛度減小。 圖2無量綱切向剛度在不同分形維數(shù)下的變化關(guān)系 Fig.2The change relation of dimensionless tangential stiffness under different fractal dimension4.3切向剛度和材料特性參數(shù)間的關(guān)系 根據(jù)式（32），（34），（36）和（38），參數(shù)選取同4.1節(jié)，來研究結(jié)合面切向接觸剛度與材料特性參數(shù)=σy/E間的變化關(guān)系，如圖4所示。隨材料特性參數(shù)增大，結(jié)合面的切向剛度相應(yīng)增大。且在確定的下，隨著分形維數(shù)的增大曲線由非線性逐漸趨于線性化。 圖3無量綱切向剛度在不同分形尺度系數(shù)下的變化關(guān)系 Fig.3The change relation of dimensionless tangential stiffness under different topothesy圖4無量綱切向剛度在不同材料特性參數(shù)下的變化關(guān)系 Fig.4The change relation of dimensionless tangential stiffness under different material parameters 圖5二維分形與三維分形切向剛度的關(guān)系 Fig.5The relationship between two dimensional fractal and three dimensional fractal tangential stiffness4.4對比結(jié)合面二維分形切向剛度和三維分形切向剛度三維形貌分形與二維曲線分形間的關(guān)系為D=Ds+1[18]，其中Ds表示二維分形維數(shù)。如圖5所示。由三維分形模型計算得出的切向剛度要比二維分形模型[9]計算得出的切向剛度要大，兩者間的差值隨結(jié)合面上法向載荷的增大而增大；隨著分形維數(shù)的增大，兩種模型計算得出的切向剛度差值在縮小。因此，在這兩種不同模型計算下的結(jié)合面切向剛度是有所差異的。 5試驗驗證 本節(jié)將對兩塊由16個M6螺栓連接而成的45號鋼板進行試驗?zāi)B(tài)分析，并將其結(jié)果與有限元結(jié)果進行對比，來驗證文中推導(dǎo)的結(jié)合面間切向剛度模型的合理性。兩塊鋼板尺寸均為400 mm×50 mm×6 mm。據(jù)文獻[20]，可對機械結(jié)合面進行“固隙固”等效層處理。如圖6（b）所示。圖中h為等效層厚度，此處取1 mm[21]。由下式[22]，可分別求得等效層的彈性模量E，剪切模量G和泊松比ν。E=Knh/（Aa）（39） G=Kth/（Aa）（40） ν=E/2G-1 （41）圖6試驗用鋼板及等效處理示意圖 Fig.6Steel plate for test and schematic diagram of equivalent treatment 結(jié)合面中兩個重要分形參數(shù)D和G的獲取是通過T1000型輪廓儀，通過測算分析得到。經(jīng)計算得D=2.427，G=1.342×10-5 m。假定每個螺栓的擰緊力矩是3 N·m，則每個的預(yù)緊力是2500 N，結(jié)合面上總法向載荷是40009 N。根據(jù)表1中鋼板材料常數(shù)，再通過文中式（37）求得切向剛度Kt=5.5002×1010 N/m，由文獻[23]求得法向剛度Kn=1.328×1011 N/m。Aa為名義接觸面積，等于2×10-2 m2。將這些數(shù)值代入公式（39），（40）和（41），可求得等效層的E=6.64×109 Pa， ν=0.2072。等效層的參數(shù)將用于有限元模態(tài)分析。為了驗證有限元模態(tài)分析的結(jié)果，下面進行模態(tài)試驗分析。試驗設(shè)備及過程分別如表2和圖7所示。 實際測得的幅頻圖和兩種方法下得到的結(jié)果對比分別如圖8和表3所示。可知，將結(jié)合面作等效處理得到的結(jié)果和試驗結(jié)果較為接近，誤差均在20%以內(nèi)。誤差原因主要為利用等效層法做有限元模態(tài)分析時，所建的物理模型是對實際的螺栓連接試驗鋼板做了簡化處理的，且不考慮其轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響。進行試驗自由模態(tài)分析時，圖7中用懸索懸掛也是自由狀態(tài)的一種近似。 因此， 上 表1鋼板材料常數(shù)和表面分形參數(shù) Tab.1Material constants and fractal parameters of steel plate E/Paνρ/（kg·m-3）σy/PaDG/m2.1×10110.378503.55×1082.4271.342×10-5 表2試驗設(shè)備 Tab.2The experiment instrument 序號設(shè)備名稱1 DH5956數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)24508B加速度傳感器3DHL050型脈沖響應(yīng)力錘 圖7現(xiàn)場測試圖 Fig.7Experiment process圖8幅頻曲線 Fig.8Curves of amplitude frequency 表3有限元結(jié)果與試驗結(jié)果對比 Tab.3Comparison of finite element results and test results 模態(tài) 階數(shù)模態(tài)試驗 結(jié)果/Hz三維分形 有限元 結(jié)果/Hz二維分形 有限元 結(jié)果/Hz三維分形 誤差二維分形 誤差1365395.5412.6+8.36%+13.04%28971070.71071.6+19.36%+19.46%31690.61513.91872.8-10.45%+10.78%424302045.62891.0-15.82%+18.97%530303090.63910.1+2.00%+29.05% 述誤差在可接受范圍之內(nèi)，同時可驗證文中所建切向剛度模型的合理性。為了進一步分析基于二維分形曲線得到的二維切向接觸剛度[24]相較于基于三維分形形貌得到的三維切向接觸剛度，與模態(tài)試驗結(jié)果的差值大小，仍然可以將二維的切向接觸剛度按照本節(jié)的方法進行計算。從表3中，可看出二維分形下的相對誤差要更大些。 6結(jié)論 （1）三維分形模型下的結(jié)合面切向接觸剛度與法向載荷成單調(diào)遞增關(guān)系。分形維數(shù)D對三維結(jié)合面切向接觸剛度的影響較復(fù)雜，當2.1≤D≤2.5時，結(jié)合面切向剛度隨D成遞增關(guān)系；當2.5≤D≤2.9時，結(jié)合面切向剛度隨D成遞減關(guān)系。 （2）三維結(jié)合面切向接觸剛度與分形尺度系數(shù)G成單調(diào)遞減關(guān)系；與材料特性參數(shù)成單調(diào)遞增關(guān)系。 （3）研究對比了三維分形和二維分形下的切向接觸剛度；對比發(fā)現(xiàn)三維分形下的結(jié)合面切向接觸剛度大于二維分形下的結(jié)合面切向接觸剛度。 參考文獻： [1]Johnson K L. 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Through numerical simulation the relationship between the tangential contact stiffness and the fractal dimension， the topothesy and the material characteristic parameters are studied. Comparative analysis between two dimensional fractal and three dimensional fractal is carried out. Results show： the tangential contact stiffness increases with the normal load and the characteristic parameters of material increase， and decreases with the topothesy increases； the relationship between fractal dimension and tangential contact stiffness is more complicated； the threedimensional fractal tangential stiffness is greater than the twodimensional case. The construction of the tangential contact stiffness model can provide the foundation for the establishment of the nonlinear dynamics of rough contact surface and the dynamic model of whole machine in future.Key words： joint surfaces； threedimensional fractal； elasticplastic zone subdivide； tangential contact stiffness； fractal theory作者簡介： 潘五九（1986—），男，博士研究生。電話： 15940263160； Email： panspace@sina.cn 通訊作者： 李小彭（1976—），男，教授，博士研究生導(dǎo)師。電話： 13940029225； Email： xpli@me.neu.edu.cn 聞邦椿（1930—），男，中國科學院院士，教授，博士研究生導(dǎo)師。 Email： bcwen1930@vip.sina.com
