楊 成, 陳文龍, 趙人達(dá), 徐騰飛

(1. 西南交通大學(xué)陸地交通地質(zhì)災(zāi)害防治技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室, 四川 成都 610031; 2. 重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400045)

在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,相比普通強(qiáng)度鋼筋混凝土,高強(qiáng)度鋼筋與高強(qiáng)度混凝土的使用,在保證相同承載能力的前提下,將有效降低構(gòu)件的截面尺寸與配筋率[1],從而導(dǎo)致較大的變形與裂縫寬度.此時(shí),能否滿足正常使用極限狀態(tài)的性能要求,可能成為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的控制性因素[2-3].

混凝土梁開(kāi)裂后的裂縫寬度、剛度計(jì)算是混凝土結(jié)構(gòu)正常使用狀態(tài)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容[4].當(dāng)計(jì)算鋼筋混凝土梁的抗彎承載力時(shí),混凝土抗拉強(qiáng)度通?？梢院雎?但事實(shí)上,在正常使用極限狀態(tài)范圍內(nèi),受拉區(qū)裂縫之間的混凝土仍然承擔(dān)部分拉力,為構(gòu)件正截面抗彎提供剛度,被稱為拉伸剛化效應(yīng)[5-6],將影響鋼筋混凝土構(gòu)件的開(kāi)裂后剛度、變形和裂縫寬度[7].對(duì)于配筋率較低的混凝土板而言,拉伸剛化效應(yīng)可能會(huì)貢獻(xiàn)50%以上的開(kāi)裂后剛度[8].

正常使用極限范圍下鋼筋凝土結(jié)構(gòu)變形的計(jì)算都需考慮混凝土的開(kāi)裂非線性與拉伸剛化效應(yīng),非線性有限元法是其中一種重要的分析方法.可通過(guò)修改鋼筋或混凝土材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系來(lái)考慮拉伸剛化效應(yīng)[9-11],也可基于粘結(jié)滑移理論及局部特性提出的有限元模型[12-13]來(lái)解決.雖然非線性有限元法能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)構(gòu)件撓度,但其巨大的計(jì)算量與復(fù)雜性使得大部分工程師更愿意采用規(guī)范建議的簡(jiǎn)化公式.因此,1965年Branson提出了開(kāi)裂混凝土有效慣性矩公式[14],并被ACI318-05[15]采用,但Bischoff認(rèn)為,當(dāng)配筋率較低時(shí),Branson公式將會(huì)高估截面的有效剛度,并提出了與歐洲規(guī)范形式一致的有效慣性矩預(yù)測(cè)公式[1,16].我國(guó)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》采用剛度解析法并結(jié)合鋼筋應(yīng)力不均勻系數(shù)試驗(yàn)推導(dǎo)了混凝土截面的有效剛度[4,17],并開(kāi)展相關(guān)試驗(yàn)研究,實(shí)測(cè)了拉伸剛化效應(yīng)引起的鋼筋應(yīng)力變化[18].

但上述工作仍然存在問(wèn)題,由于混凝土力學(xué)特性存在固有的隨機(jī)性質(zhì),導(dǎo)致鋼筋混凝土梁的拉伸剛化效應(yīng)與有效剛度隨之具有隨機(jī)性,進(jìn)而使鋼筋混凝土梁的變形也不可避免地具有隨機(jī)特性[19-20],客觀上增加了對(duì)鋼筋混凝土梁變形預(yù)測(cè)的難度,而這對(duì)當(dāng)前大量使用的“橋建合一”鐵路站房建筑設(shè)計(jì)將產(chǎn)生顯著影響[21].由于站臺(tái)樓面的軌道梁受建筑結(jié)構(gòu)和高速鐵路橋涵規(guī)范雙重控制,梁體平順性要求較普通建筑結(jié)構(gòu)高.如果對(duì)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)拉伸剛化效應(yīng)的隨機(jī)性和混凝土開(kāi)裂隨機(jī)性的考慮缺失,過(guò)高或過(guò)低的軌道梁變形預(yù)測(cè)結(jié)果都將導(dǎo)致預(yù)拱度設(shè)置不合理,從而影響線路平順與列車(chē)高速過(guò)站行車(chē)的安全性.這與普通建筑結(jié)構(gòu)在重力荷載作用下只考慮單向變形可靠度有顯著區(qū)別.文獻(xiàn)[22]建立了混凝土結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)期變形隨機(jī)分析模型,利用該模型分析鋼筋混凝土偏心受壓柱長(zhǎng)期變形的隨機(jī)性.文獻(xiàn)[23]提出開(kāi)裂的隨機(jī)性在混凝土結(jié)構(gòu)隨機(jī)分析的重要性,并提出分片響應(yīng)面方法解決開(kāi)裂非線性的鋼筋混凝土梁變形隨機(jī)問(wèn)題.

本文采用剛度解析法[5]推導(dǎo)并化簡(jiǎn)了正常服役下鋼筋混凝土梁有效慣性矩的無(wú)量綱形式.采用蒙特卡洛法對(duì)其進(jìn)行隨機(jī)分析,并用偏相關(guān)系數(shù)表示參數(shù)的敏感性,完成了敏感性分析,提出了鋼筋混凝土梁有效慣性矩的預(yù)測(cè)均值模型與95%概率區(qū)間模型,對(duì)于隨機(jī)分析背景下預(yù)測(cè)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)變形有一定意義.

1 有效慣性矩模型

根據(jù)我國(guó)GB 50010—2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》,在裂縫穩(wěn)定階段,可以采用剛度解析法推導(dǎo)鋼筋混凝土梁截面的平均剛度B(割線值).[5]

(1a)

(1b)

式中:

Es為鋼筋的彈性模量;

As為受拉鋼筋的面積;

h0為截面有效高度;

ψ為裂縫間受拉鋼筋不均勻系數(shù),通過(guò)試驗(yàn)得到[4];

η為開(kāi)裂截面的鋼筋內(nèi)力臂系數(shù);

αE為鋼筋彈性模量與混凝土彈性模量的比值;

μ為受拉鋼筋配筋率;

λ為受壓變形塑形系數(shù);

ω為混凝土受壓區(qū)合力換算系數(shù);

xcr為開(kāi)裂截面的受壓區(qū)高度;

Mcr為鋼筋混凝土受彎構(gòu)件截面開(kāi)裂彎矩;

Ma為正常使用荷載作用下的彎矩.

在正常服役的荷載作用下,可以假定混凝土受壓區(qū)混凝土處于線彈性階段[3,24-25],此時(shí)式(1a)中的參數(shù)可簡(jiǎn)化為

(2)

將式(2)代入式(1a)有

(3)

對(duì)于矩形截面梁,式(3)兩邊同時(shí)除以EcIg,截面有效慣性矩為

(4)

式中:

Ig為未開(kāi)裂截面慣性矩;

Ie為開(kāi)裂鋼筋混凝土梁的有效慣性矩;

h為矩形截面梁的橫截面高度.其中梁和板的h0/h取值范圍為0.8～0.9[1],本文以0.8為例進(jìn)行分析.

2 隨機(jī)參數(shù)和分析方法

鋼筋混凝土構(gòu)件撓度的不確定性主要由材料屬性、制造誤差、荷載及構(gòu)件尺寸產(chǎn)生.由于式(4)為無(wú)量綱方程,所以忽略尺寸因素的影響.而隨機(jī)分析是在加載過(guò)程中進(jìn)行的,所以荷載的不確定性同樣被忽略.

所涉及的隨機(jī)變量見(jiàn)表1[26],其中:

βfc為混凝土材料抗壓強(qiáng)度隨機(jī)變量;

βEc為混凝土彈性模量隨機(jī)變量;

βft為混凝土抗拉強(qiáng)度隨機(jī)變量;

βEs為鋼筋彈性模量隨機(jī)變量;

Esm為鋼筋彈性模量均值,取200 GPa;

fcm為混凝土抗壓強(qiáng)度平均值;

ft為混凝土抗拉強(qiáng)度;

fc為混凝土抗壓強(qiáng)度.

由于隨機(jī)分析對(duì)象為顯式函數(shù),可采用蒙特卡洛方法直接模擬,抽樣次數(shù)為10 000次.

表1 隨機(jī)變量的隨機(jī)特性Tab.1 Statistical properties of random variables

3 均值和置信區(qū)間模型

圖1 無(wú)量綱截面慣性矩均值面Fig.1 Surface of the mean values of dimensionless moment of inertia

選擇配筋率為0.3%與1.5%的情況,圖2給出了混凝土抗壓強(qiáng)度均值取30 MPa時(shí)隨機(jī)分析均值與確定分析結(jié)果的對(duì)比.

(a) μ=0.3%

(b) μ=1.5%圖2 不同配筋率的無(wú)量綱截面慣性矩均值曲線對(duì)比Fig.2 Comparison of mean values of the dimensionless moment of inertia at varying reinforcement ratios

上述分析反映了截面開(kāi)裂前,有效慣性矩為定值,即等于截面的慣性矩;而截面開(kāi)裂后,采用式(4)給出的表達(dá)式計(jì)算.當(dāng)外荷載接近開(kāi)裂荷載時(shí)(左逼近開(kāi)裂荷載),截面不會(huì)開(kāi)裂,截面慣性矩為定值.但是對(duì)于隨機(jī)分析而言,截面開(kāi)裂是有一定幾率的隨機(jī)現(xiàn)象,當(dāng)截面不開(kāi)裂時(shí),截面慣性矩等于確定分析結(jié)果;當(dāng)截面開(kāi)裂時(shí),截面慣性矩小于確定分析結(jié)果,此時(shí)隨機(jī)分析的均值亦小于確定分析結(jié)果.以此類(lèi)推,可以得到當(dāng)外荷載接近開(kāi)裂荷載時(shí)(右逼近開(kāi)裂荷載)的情況.因此從根本上說(shuō),確定性分析與隨機(jī)分析結(jié)果的差異是由鋼筋混凝土截面開(kāi)裂發(fā)生的隨機(jī)性與開(kāi)裂前后剛度的差異共同引起的.對(duì)于不同配筋率的情況,高配筋率混凝土的裂縫深度淺,裂后剛度較大,與低配筋率混凝土相比,開(kāi)裂前后的剛度差異較小,因此圖2(b)中確定性分析結(jié)果與隨機(jī)分析結(jié)果的差異較圖2(a)小.

圖3 無(wú)量綱截面慣性矩的累積函數(shù)分布Fig.3 Cumulative distribution function of the dimensionless moment of inertia

基于以上認(rèn)識(shí),Ie/Ig的均值可以寫(xiě)成

(5)

式中:

P(M≥Mcr)為截面開(kāi)裂的概率;

P(M

E(Ie/Ig|M≥Mcr)為截面開(kāi)裂條件下Ie/Ig的期望;

E(Ie/Ig|M

顯然,

E(Ie/Ig|M

(6)

P(M≥Mcr)+P(M

(7)

對(duì)于純彎曲構(gòu)件

(8)

式中:

σ為截面端部拉應(yīng)力;

由此,將式(5)～(8)聯(lián)立,并結(jié)合圖1中已求出的數(shù)據(jù),E(Ie/Ig|M≥Mcr)可以用三次多項(xiàng)式擬合.

(9)

式中,μ′=100μ.

表2給出了抗壓強(qiáng)度均值分別取30、40、50 MPa與60 MPa時(shí),式(9)的擬合系數(shù).

表2 公式(9)的擬合系數(shù)Tab.2 Fitting coefficients for Eq. (9)

根據(jù)隨機(jī)性累積分布分析,得到其非正態(tài)分布的置信區(qū)間為

(10)

式中,C為偏移系數(shù).

圖4 置信區(qū)間偏移系數(shù)Fig.4 Offset coefficient of the confidence interval

利用式(11)對(duì)曲面進(jìn)行分段擬合,表3～6給出了不同外加彎矩的情況下,混凝土抗壓強(qiáng)度均值分別取30、40、50 MPa與60 MPa時(shí)的擬合系數(shù).

(11)

表3 Csup的擬合系數(shù)Tab.3 Fitting coefficients for

敏感性分析是研究隨機(jī)變量對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)貢獻(xiàn)程度的有效方法.而對(duì)于具有大量統(tǒng)計(jì)樣本的直接蒙特卡洛法而言,可采用多元回歸分析中的偏相關(guān)系數(shù)(partial correlation coefficient, PCC)來(lái)代表變量的敏感性[27-29].

表4 Csup的擬合系數(shù)Tab.4 Fittingcoefficients for

表5 Cinf的擬合系數(shù)Tab.5 Fittingcoefficients for

表6 Cinf的擬合系數(shù)Tab.6 Fittingcoefficients for

以混凝土抗壓強(qiáng)度均值為30 MPa為例,圖5給出了隨機(jī)變量的敏感性曲面.

由圖5中可以看出,混凝土抗壓強(qiáng)度PCC值不會(huì)隨著配筋率或外加彎矩的改變而有較大變化,其值為接近0的水平面,因此混凝土抗壓強(qiáng)度對(duì)有效慣性矩不敏感.而對(duì)有效慣性矩較敏感的因素有混凝土抗拉強(qiáng)度、混凝土彈性模量與鋼筋彈性模量.在加載早期,混凝土抗拉強(qiáng)度的敏感性接近1,隨著荷載的增大,敏感性逐漸降低;同時(shí),混凝土彈性模量和鋼筋彈性模量對(duì)有效慣性矩的影響由0開(kāi)始逐漸增加.

圖5 隨機(jī)變量的敏感性系數(shù)(PCC)Fig.5 Sensitivity coefficient of random variables (PCC)

4 結(jié) 論

剛度解析法為當(dāng)前我國(guó)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》預(yù)測(cè)鋼筋混凝土梁有效剛度的推薦方法,但由于混凝土自身的隨機(jī)特性,導(dǎo)致鋼筋混凝土梁有效剛度具有隨機(jī)性,因此很難準(zhǔn)確預(yù)測(cè)鋼筋混凝土梁的變形,這對(duì)一些具有特殊使用功能的建筑結(jié)構(gòu)有不利影響.旨在研究采用我國(guó)規(guī)范進(jìn)行鋼筋混凝土梁有效剛度預(yù)測(cè)時(shí),預(yù)測(cè)結(jié)果的隨機(jī)性.

當(dāng)混凝土配筋率較低時(shí),無(wú)量綱有效慣性矩隨機(jī)分析的均值結(jié)果與確定分析的結(jié)果不一致;

給出了常用混凝土強(qiáng)度等級(jí)對(duì)應(yīng)的量綱有效慣性矩的均值與置信區(qū)間(2.28%～97.72%)的數(shù)學(xué)模型;

混凝土抗拉強(qiáng)度對(duì)截面有效慣性矩較敏感,其敏感性隨著荷載增大而降低;混凝土彈性模量與鋼筋彈性模量的敏感性隨著荷載的增大而增大;混凝土抗壓強(qiáng)度對(duì)有效慣性矩不敏感.

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