鄧春華

（淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 淮安 223003）

初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一個非常重要區(qū)別在于：初等數(shù)學(xué)研究的是常量，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而高等數(shù)學(xué)更加抽象，研究的是變量.大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)直角坐標系下三重積分的計算時感到困難較大，困難的原因主要在于三重積分計算方法復(fù)雜，對“先一后二”“先二后一”這兩種方法理解不深.下面介紹利用體密度、面密度和線密度的概念及其應(yīng)用來理解三重積分的兩種計算方法.

1 體密度、面密度、線密度

在x軸上的某一區(qū)間I上具有質(zhì)量分布，其線密度函數(shù)為ρl(x)，則該區(qū)間I上的總質(zhì)量為

若在平面直角坐標系上有一曲線型構(gòu)件L，曲線方程也用L表示，其線密度函數(shù)為ρl(x,y)（由于線密度函數(shù)中的變量x,y滿足曲線方程L，其本質(zhì)是一元函數(shù)），則該構(gòu)件的質(zhì)量為

若在平面區(qū)域D上具有質(zhì)量分布，其面密度函數(shù)為ρS(x,y)，則該平面區(qū)域上的總質(zhì)量為

若在空間區(qū)域Ω上具有質(zhì)量分布，其體積密度函數(shù)為ρV(x,y,z)，則該空間區(qū)域上的總質(zhì)量為

2 三重積分“先二后一”“先一后二”的物理解釋

首先我們考慮三重積分“先二后一”的計算方法.考慮空間區(qū)域具有質(zhì)量分布，其中體積密度為ρ(x,y,z)，則總質(zhì)量為

下面我們用微元法來解決三重積分

首先對該物體沿著垂直于z軸方向切片，每一切面在xoy面上的投影記為Dz，顯然，投影區(qū)域Dz與z有關(guān)，不同的z有不同的切面.僅僅考慮從z到z+dz所對應(yīng)的平面薄片，對該平面薄片再次進行分割，分割成若干等高的小柱體，每一柱體微元具有相同的高度dz，則該薄片上的質(zhì)量微元為

從而該物體的總質(zhì)量為，其中 Iz為 z變量的變化區(qū)間.則我們有

我們可以這樣理解為該物體每一截面收縮、投影到z軸后，對應(yīng)直線型構(gòu)件的線密度，即體密度在截面上的二重積分對應(yīng)為線密度.通俗的講，即將每一垂直于z軸的截面質(zhì)量集中到同一高度的z軸上，該過程為二重積分；再求直線型構(gòu)件（在z軸上具有質(zhì)量分布）的質(zhì)量，即沿著投影區(qū)域Iz對坐標z求定積分.

顯然該方法適用于易求.尤其是在密度函數(shù)僅僅與z有關(guān)，投影Dz的面積易求情況下，此時為投影Dz的面積.

下面我們考慮三重積分“先一后二”的計算方法.對該物體沿著平行于z軸的方向“切絲”，每一“切絲”具有相同的截面面積.對每一“切絲”再分割，得若干底面積均相等的小柱體.則該小柱體的質(zhì)量微元為dm=ρ(x,y,z)dxdydz.

首先沿著z軸的方向求“切絲”的質(zhì)量，底面積為dxdy的“切絲”質(zhì)量為，從而將每一“切絲”的質(zhì)量集中到在投影區(qū)域Dxy上.

從而該物體的總質(zhì)量為其中Dxy該物體在xoy面上的投影.則我們有

我們可以這樣理解為該物體質(zhì)量投影到xoy面所對應(yīng)平面薄片的面密度，即體密度沿著z軸方向的定積分為面密度.

通俗地講，即將每一平行于z軸的“切絲”質(zhì)量投影到xoy面上，該過程為定積分；再求平面薄片（在Dxy上具有質(zhì)量分布）的質(zhì)量，即在Dxy上對面密度函數(shù)求二重積分.顯然該方法是我們的常規(guī)方法，后面的二重積分可以化為兩個定積分進行計算.

〔1〕 李昆,趙剛.三重積分中兩種計算方法的比較[J].孝感學(xué)院學(xué)報，2010(06).

〔2〕 楊玉敏.三重積分的計算方法小結(jié)[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報，2007(02).

〔3〕 王曉鋒.三重積分中的一題多解問題[J].科技信息(學(xué)術(shù)研究)，2007(29).

〔4〕 張慧琴.三重積分的計算方法[J].呂梁高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2002(01).

〔5〕 馬娜蕊.對三重積分“先二后一”計算方法的討論[J].高等數(shù)學(xué)研究，2000(01).