李慶娟

（大連財經(jīng)學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，遼寧 大連 116600）

極限的思想、概念與方法是分析數(shù)學(xué)問題的基本工具和語言，它是高等數(shù)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，貫穿于高等數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，高等數(shù)學(xué)中很多重要的概念都是通過極限來定義的.關(guān)于極限的求解主要有兩方面，一是數(shù)列極限求解問題，二是函數(shù)極限求解問題，二者有相通之處.但相對而言，前者是培養(yǎng)和訓(xùn)練極限思維的基礎(chǔ)，后者是更為深入研究極限的思維方法，掌握好數(shù)列極限的思想以及求解方法是有助于高等數(shù)學(xué)的后期學(xué)習(xí)的.下面主要是討論一下數(shù)列極限的主要計算方法與技巧.

1 利用定義驗證法求證數(shù)列極限

一般地，利用定義法驗證數(shù)列極限，往往是事先知道極限存在且知道極限值的，在驗證過程中，關(guān)鍵是通過分析定義法，將定義中的大N找到，這個正整數(shù)N是與ε有關(guān)的，找到大N之后，再按照定義完整的敘述一遍定義，證明過程就完成了.但值得一提的是定義驗證法對于初學(xué)者來講非常有難度，很多學(xué)生很難理解，其實要想熟練掌握數(shù)列定義驗證法，關(guān)鍵之處就是一定要充分理解數(shù)列極限的定義，只有充分理解定義，我們在驗證極限時才能得心應(yīng)手.

2 通過變形、化簡等方法求解數(shù)列極限

在求解數(shù)列極限時，有時需要對數(shù)列的通項表達(dá)式做適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危缬欣砘?、通分、拆分等方法，在利用這些方法求解數(shù)列極限時，一般都要結(jié)合數(shù)列極限的四則運算法則.但應(yīng)該注意的是四則運算法則可以推廣到有限個數(shù)列上去，不能推廣到無限個數(shù)列或是不定個數(shù)列的情形上.

3 利用夾逼定理求解數(shù)列極限

夾逼定理是計算數(shù)列極限的主要方法之一，利用夾逼定理時，關(guān)鍵之處是要將給定的數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤趴s，放縮后的兩個數(shù)列極限要都存在且相等，從而利用夾逼定理進(jìn)行判斷并求解出給定數(shù)列的極限.

4 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求解數(shù)列極限

單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必存在極限，單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限.單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則是證明和計算數(shù)列極限非常重要的方法.

5 利用重要極限求解數(shù)列極限

在函數(shù)極限理論中有兩個重要極限，利用它們計算相應(yīng)函數(shù)極限是非常典型并且也是常用的方法，那么計算數(shù)列極限時，也可以套用此方法，應(yīng)用此方法時必須注意兩個重要極限的形式和特點，只有把要求解的極限化簡或變形為與重要極限形式一致才行.

6 利用無窮小性質(zhì)求解數(shù)列極限

在微積分學(xué)習(xí)中，我們知道無窮小有很多重要性質(zhì)，其中無窮小量與有界數(shù)列（或有界函數(shù)）的乘積仍然是無窮小量，這個性質(zhì)經(jīng)常用來求解相應(yīng)的一類極限問題.

在該例中，我們注意到cos(5n+1)，(n→∞)時極限顯然不存在，但是它是一個有界的數(shù)列，而)時又是無窮小量，根據(jù)無窮小的性質(zhì)可知，原數(shù)列極限存在且為零.

7 利用不定積分定義求解數(shù)列極限

定積分的概念是通過極限定義的，它是一個特定和式的極限問題，在實際問題中有著非常廣泛的應(yīng)用.所以遇到特殊和式的極限問題或是可以轉(zhuǎn)化成這種結(jié)構(gòu)的極限，就可以將其轉(zhuǎn)化成定積分，從而求出極限值，這也是求解數(shù)列極限非常重要的一種方法.

解 首先變形，將極限式化成符合定積分的特殊和式極限問題

8 利用級數(shù)收斂的必要性求解數(shù)列極限

利用級數(shù)的必要性求解數(shù)列極限具有一定的局限性，它只能求解極限為零的數(shù)列極限問題，但是方法比較典型.

解 利用達(dá)朗貝爾判別法：

9 利用等價無窮小替換求解數(shù)列極限

在求解數(shù)列極限時，我們可以利用求函數(shù)極限的典型方法求解，即等價無求小替換的方法.常用的等價無窮小有：

此外，還可以利用中值定理求解數(shù)列極限，常用的中值定理指的是拉格朗日中值定理和積分中值定理.

再有，就是利用泰勒公式求解數(shù)列極限，主要用的是帶佩亞諾余項的泰勒公式，常用的公式有七個，在此就不一一列舉了.

以上主要是介紹了高等數(shù)學(xué)中求解數(shù)列極限的幾種主要方法與技巧，這些方法都是在求解極限經(jīng)時經(jīng)常會用到的方法和技巧，需要我們熟練掌握，當(dāng)然除了這些方法之外，還有其他方法，比如說柯西準(zhǔn)則，Stolz定理等.熟練掌握數(shù)列極限的概念、性質(zhì)和計算是學(xué)好微積分的重要前提和基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)的過程中，我們要學(xué)會善于總結(jié)和歸納，并能夠靈活巧妙地應(yīng)用它，從而無論碰到怎樣困難的實際問題都能迎刃而解，并且從真正意義上理解數(shù)列極限求解的思維模式以及真諦.

〔1〕 李慶娟.基于高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限求解的討論[J].佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2015：245.

〔2〕 張俊青.數(shù)列極限求解方法的探討[J].科技信息，2016：150-151

〔3〕 潘福臣.李慶娟，等.高等數(shù)學(xué)[M].吉林大學(xué)出版社，2014.

〔4〕 吳傳生.微積分[M].高等教育出版社，2009.

〔5〕 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第五版[M].高等教育出版社，2001.