■王佩其

知識(shí)點(diǎn)一：向量的概念及線性運(yùn)算

1.向量的有關(guān)概念。

(1)向量:既有大小又有方向的量。

(2)零向量:長度為0的向量，其方向是任意的。

(3)平行向量:方向相同或相反的非零向量。

(4)相等向量:長度相等且方向相同的向量。

(5)相反向量:長度相等且方向相反的向量。

2.向量的加法與減法。

(1)向量的加法遵循三角形法則和平行四邊形法則。

(2)向量的減法與加法互為逆運(yùn)算，遵循三角形法則。

3.兩個(gè)向量共線定理。

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λ a。

例 1下列命題中正確的是( )。

A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線

B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)

C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

零向量與任一向量都共線，A項(xiàng)錯(cuò)誤。由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成平行四邊形，B項(xiàng)錯(cuò)誤。向量的平行只要求方向相同或相反，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，D項(xiàng)錯(cuò)誤。對(duì)于C項(xiàng)，可以用反證法來說明該命題的真假，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線可知a與b共線，不符合已知條件，所以向量a與b不共線，則a與b都是非零向量。應(yīng)選C。

方法歸納：準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決此類問題的關(guān)鍵，理解向量的概念時(shí)還應(yīng)注意以下兩個(gè)重要結(jié)論：①向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；②向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。

例 2設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線，如果3e1-k e2，且 A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值。±1。

因?yàn)?e1-3e2，所以3e1-2e2。

因?yàn)锳，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以從而存在實(shí)數(shù)λ使得，故3e1-2e2=3λ e1-λ k e2。

又因?yàn)閑1，e2是兩個(gè)不共線的非零向

所以實(shí)數(shù)k的值為2。

變式1：在例2的條件下，試確定實(shí)數(shù)k的值，使得k e1+e2與e1+k e2共線。

提示：因?yàn)閗 e1+e2與e1+k e2共線，所以存在實(shí)數(shù)λ使得k e1+e2=λ(e1+k e2)，即

提示 ：因?yàn)樗?以=4e1+e2。

因?yàn)?-8e-2e，所 以=

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又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)C，所以A，C，D三點(diǎn)共線。

知識(shí)點(diǎn)二：平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2。我們把不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為{e1，e2}，λ1e1+λ2e2叫作向量a關(guān)于基底{e1，e2}的分解式。

例 3(1)如圖1，在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足

圖1

(2)已知點(diǎn)G為△ABC的重心，過G作直線與AB、AC分別交于M、N兩點(diǎn)，且

方法歸納：應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算。用平面向量基本定理解決問題的一般思路：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決。

例 4如圖2，在△O CB中，點(diǎn)A是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是將O B分為2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和O A交于點(diǎn)E，設(shè)=a，=b。

圖2

(1)用a和b表示向量

(2)若，求實(shí)數(shù)λ的值。

方法歸納：平面向量基本定理是平面向量知識(shí)體系的基石，在解題中有著至關(guān)重要的作用，在使用時(shí)一定要注意兩個(gè)基向量不共線這個(gè)條件。

知識(shí)點(diǎn)三：平面向量的數(shù)量積

1.向量的夾角。

(1)向量的夾角的定義:已知兩個(gè)非零向量a和b，作=b，如圖3所示，則∠AO B=θ叫作向量a與b的夾角，記作〈a，b〉=θ。

圖3

(2)向量的夾角的范圍:夾角θ的范圍是[0，π]。a與b同向時(shí)，夾角θ=0；a與b反向時(shí)，夾角θ=π。

2.平面向量的數(shù)量積。

(1)數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a||b|cosθ，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ。

(2)向量的投影:設(shè)θ為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cosθ，向量b在a方向上的投影是|b|cosθ。

(3)數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

(2)在邊長為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是____。

(3)在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，若點(diǎn)D在斜邊BC上且CD=2DB，則=____。

(1)a·b=|a||b|cosθ=選B。

(2)將正方形ABCD放入如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系中。

圖4

(3)由向量加法的三角形法則和向量共線定理，可知將表示，代入中求解即可。

方法歸納：計(jì)算平面向量的數(shù)量積有以下三種方法：①定義法：a·b=|a||b|cosθ。②坐標(biāo)法：若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2。③分解轉(zhuǎn)化法(基底法)：利用平面向量基本定理將所求向量用基底表示，在不含坐標(biāo)系或者不宜建立坐標(biāo)系的情況下，通過向量的運(yùn)算得到答案。

例 6(1)已知向量a，b的夾角為，且|a|=3，|b|=2，在 △ABC中=2a+2b，AC→=2a-6b，D為BC的中點(diǎn)，則|AD→|等于( )。

A.2 B.4

C.6 D.8

(2)向量a，b均為非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，則a，b的夾角為( )。

(2)(a-2b)·a=|a|2-2a·b=0，(b-2a)·b=|b|2-2a·b=0，所以|a|2=|b|2，即|a|=|b|。

故|a|2-2a·b=|a|2-2|a|·|b|·cos〈a，b〉=0，可得cos〈a，b〉=。

例 7(1)已知向量a，b是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，向量a+λ b(λ∈R)與向量a-2b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為( )。

A.1 B.-1

C.2 D.0

(2)在△ABC中，若，則△ABC是( )。

A.等邊三角形 B.銳角三角形

C.鈍角三角形 D.直角三角形

(1)由題意可知a·b=|a|·|b|cos60°=。又因?yàn)?a+λ b)⊥(a-2b)，故(a+λ b)·(a-2b)=0，即a2+λ a·b-2a·b-2λ b2=0，可得1+-1-2λ=0，解得λ=0。應(yīng)選D。

方法歸納：向量的垂直與向量所在的直線垂直是一致的，向量的線性運(yùn)算與向量的坐標(biāo)運(yùn)算是求解向量問題的兩大途徑。

知識(shí)點(diǎn)四：向量的應(yīng)用

1.向量在平面幾何中的應(yīng)用。

(1)證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減法的三角形法則。

(2)證明線段平行、三角形相似，判斷兩條直線(或線段)平行，常運(yùn)用向量平行(或共線)的條件:a∥b?a=λ b(或x1y2=x2y1)。

(3)求與夾角相關(guān)的問題，可利用向量的

2.平面向量在物理中的應(yīng)用。

(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，所以可以用向量的知識(shí)來解決。

(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力F與位移s的數(shù)量積，即W=F·s=|F||s|·cosθ(θ為F與s的夾角)。

例 8(1)在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，則

A.2 B.4

C.5 D.10

(2)三角形ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BE⊥AD，延長BE交AC于F，連接DF，求證:∠ADB=∠FDC。

(2)如圖5所示，建立直角坐標(biāo)系。

圖5

設(shè)點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)C(0，2)，則點(diǎn)D(0，1)，于是=(-2，1)，=(-2，2)。

設(shè)點(diǎn)F(x，y)，由B·=0，即(x，y)·(-2，1)=0，所以-2x+y=0。 ①

又因?yàn)辄c(diǎn)F在AC上，則，而=(-x，2-y)，因此2(-x)-(-2)(2-y)=0，即x+y=2。 ②

又因?yàn)樗詂os∠ADB=cos∠FDC，故∠ADB=∠FDC。

方法歸納：用向量方法解決平面幾何問題可分三步：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

例 9(1)已知(x2+y2)(a2+b2)=

(2)求證:(a b+c d)2≤(a2+b2)(c2+d2)。

根據(jù)給出的代數(shù)式的特征和向量的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)，構(gòu)造向量，轉(zhuǎn)化為向量問題來解決。

(1)若x=y=0，則結(jié)論顯然成立。

若x、y不全為0，設(shè)p=(x，y)，q=(a，b)。

(2)設(shè)=(c，d)。

當(dāng)至少有一個(gè)為零向量時(shí)，所證不等式成立。

故原不等式成立。

方法歸納：待解決的代數(shù)、幾何、三角、物理等問題，只要其表達(dá)式能用向量的運(yùn)算來表示，就可以考慮使用向量方法來解決。本例中x2+y2，a2+b2，c2+d2與向量的模有聯(lián)系，而a x+b y，a c+b d與向量的數(shù)量積有聯(lián)系，故可嘗試設(shè)出向量來表示。