王樹(shù)新

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）20-0127-02

一個(gè)平面從不同角度截一個(gè)圓錐面所得的曲線(xiàn)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)，截得的結(jié)果可以是圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、直線(xiàn)、兩相交直線(xiàn)、點(diǎn)。不過(guò)，狹義上講，圓錐曲線(xiàn)僅指橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)，狹義圓錐曲線(xiàn)有一個(gè)統(tǒng)一的定義如下：

到定點(diǎn)F的距離與到定直線(xiàn)l的距離之比等于常數(shù)e的動(dòng)點(diǎn)軌跡稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)，當(dāng)01時(shí)軌跡是雙曲線(xiàn)，當(dāng)e=1時(shí)軌跡是拋物線(xiàn)。

定點(diǎn)F稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，定點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離稱(chēng)為焦準(zhǔn)距（記為p），常數(shù)e稱(chēng)為離心率。（橢圓和雙曲線(xiàn)都有兩個(gè)焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的兩條準(zhǔn)線(xiàn)）

如下圖1所示，P為某圓錐曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則P1是P到準(zhǔn)線(xiàn)的射影，則=e

過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交于兩個(gè)點(diǎn)A、B，這兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段成為圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦，當(dāng)直線(xiàn)繞焦點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)時(shí)，焦點(diǎn)弦的傾斜角和長(zhǎng)度都在變化。

當(dāng)焦點(diǎn)弦與準(zhǔn)線(xiàn)平行時(shí)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的通徑。

一、拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

例1. 如下圖2，已知拋物線(xiàn)的方程是y2=2px（p>0），AB是過(guò)焦點(diǎn)F的弦。

（1）若A（x1，y1），B（x2，y2），求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)；

（2）若焦點(diǎn)弦的傾斜角是？茲，求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)。

解：焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F截成兩段，為了方便，我們分別記m=|AF|、n=|BF|則|AB|=m+n

（1）記A1、B1分別為A、B在準(zhǔn)線(xiàn)l上的射影，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，m=|AA1|，n=|BB1|則焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為：

三、圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

例3.如下圖6，某圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，焦準(zhǔn)距為p，過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB與對(duì)稱(chēng)軸（過(guò)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)垂直的直線(xiàn)）夾角為？茲，求焦點(diǎn)弦AB的長(zhǎng)。

解：記m=|AF|、n=|BF|，如圖7，作A1、B1分別為A、B在準(zhǔn)l線(xiàn)上的射影，作FC⊥AA1于C，作BD⊥于對(duì)稱(chēng)軸于D，則在Rt△ADC中，

要注意到，以上解題并不嚴(yán)密，還得繼續(xù)考查其他圖像情況 ，當(dāng)點(diǎn)F在焦點(diǎn)弦外（此時(shí)的圓錐曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)）類(lèi)似可得 |AB|=

綜上所述，無(wú)論是橢圓、雙曲線(xiàn)還是拋物線(xiàn)，它們有相同的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，其公式為|AB|=，其中p指焦準(zhǔn)距。

四、焦點(diǎn)弦中通徑最短

例4.當(dāng)焦點(diǎn)弦AB與準(zhǔn)線(xiàn)平行時(shí)，稱(chēng)為通徑，求通徑的長(zhǎng)，證明通徑是最短的焦點(diǎn)弦。

解：如上圖7所示

|AB|=2|AF|，且=e，即|AF|=e|AA1|=ep

所以通徑|AB|=2ep

如圖8，我們?nèi)∠褹B的中點(diǎn)為E，作A1、E1、B1分別為A、E、B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影則梯形AA1B1B中，|AA1|+|BB1|=2|EE1|

則|AB|=|AF|+|BF|=e|AA1|+e|BB1|=e（|AA1|+|BB1|）=e（2|EE1|）=2e|EE1|

從圖8中容易看出|EE1|≥p

所以|AB|=2e|EE1|≥2ep

即焦點(diǎn)弦長(zhǎng)不小于通徑，當(dāng)且僅當(dāng)E與F重合時(shí)，焦點(diǎn)現(xiàn)場(chǎng)等于通徑。簡(jiǎn)而言之，焦點(diǎn)弦中通徑最短。