王俊

教材里“認(rèn)識概率”這一章介紹了概率的兩種計算方法：一是用列舉法來求概率；二是用頻率來估計概率.這其實就是數(shù)學(xué)史上概率的古典定義和統(tǒng)計定義.

一、概率的古典定義

古典定義中的“古典”表明了這種定義起源的古老.它源于賭博、博弈等多種多樣的形式，但是它的前提是“公平”，即“機會均等”，而這正是古典定義適用的重要條件：同等可能.16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹（1501—1576）所說的“誠實的骰子”就道明了這一點.在之后約三百年的時間里，帕斯卡、費馬、伯努利等數(shù)學(xué)家都在古典概率的計算、公式推導(dǎo)和擴大應(yīng)用等方面做了重要的工作.直到1812年，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理論》中給出了概率的古典定義：事件A的概率等于一次試驗中有利于事件A的可能結(jié)果數(shù)與該事件中所有可能結(jié)果數(shù)之比.古典定義通過簡單明了的方式定義了事件的概率，并給出了簡單可行的算法.

二、概率的統(tǒng)計定義

概率的古典定義雖然簡單直觀，但是適用范圍有限.正如伯努利所說：“這種方法僅適用于極罕見的現(xiàn)象.”因此，他通過觀察來確定結(jié)果數(shù)目的比例，并且認(rèn)為“即使是沒受過教育和訓(xùn)練的人，憑天生的直覺，也會清楚地知道，觀測的次數(shù)越多，發(fā)生錯誤的風(fēng)險就越小”.雖然原理簡單，但是其科學(xué)證明并不簡單，在古典概型下，伯努利證實了這一點，即“當(dāng)試驗次數(shù)愈來愈大時，頻率接近概率”.

事實上，這不僅僅對于古典概型適用，人們確信“從現(xiàn)實中觀察的頻率穩(wěn)定性”是一個普遍規(guī)律.1919年，德國數(shù)學(xué)家馮·米塞斯（1883—1953）在《概率論基礎(chǔ)研究》一書中提出了概率的統(tǒng)計定義：在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，某個事件出現(xiàn)的頻率總是在一個固定數(shù)值的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.他把這個固定的數(shù)值定義為這一個事件的概率.雖然統(tǒng)計定義不能像古典定義那樣確切地算出概率，但是卻給出了一個估計概率的方法.而且，它不再需要“等可能”的條件，因此，從應(yīng)用的角度來講，它的適用范圍更廣.

三、有趣的概率問題

概率是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里實用性很強的內(nèi)容.不論是今天的趣味數(shù)學(xué)題里的基礎(chǔ)題目還是大學(xué)里的統(tǒng)計學(xué)，都會用到概率的內(nèi)容.下面有一道趣味數(shù)學(xué)題，大家不妨來試一試！

兩個人出相同的錢玩擲雙骰子的游戲，約定誰先擲出5次“雙6”誰就獲得所有的錢.經(jīng)過一段時間的游戲，甲擲出了4次“雙6”，乙擲出了3次“雙6”，但是此時甲、乙兩人不想再繼續(xù)這個游戲，請問錢應(yīng)該怎么分配才公平？

甲獲得總額的[3/4]，乙獲得總額的[1/4].注意到兩點：（1）甲、乙雙方擲出“雙6”的概率均為[1/36]；（2）如果擲出的不是“雙6”，則這對雙方都沒有影響.此題目和下面的題目是一樣的：兩人玩游戲約定誰先贏5次誰就贏走所有的錢，輸贏概率一樣.經(jīng)過一段時間后，甲贏了4次，乙贏了3次，如果現(xiàn)在終止游戲，賭資怎么分配才合理？

顯然，通過以上趣味實例，我們可以發(fā)現(xiàn)古典概率應(yīng)用范圍較為廣泛，但在計算中，有些情況不容易將其全面考慮，會出現(xiàn)多算、漏算的錯誤.總之，采用什么方法進行解題，取決于實際的題目背景，然后再巧妙靈活地運用合適的方法.

（作者單位：江蘇省無錫市新吳實驗中學(xué)）