吳偉志 楊 麗 譚安輝 徐優(yōu)紅

(浙江海洋大學(xué)數(shù)理與信息學(xué)院 浙江舟山 316022) (浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(浙江海洋大學(xué)) 浙江舟山 316022) (wuwz@zjou.edu.cn)

粒計(jì)算(granular computing, GrC)是當(dāng)前人工智能領(lǐng)域中一個非常活躍的研究方向，是信息處理的一種新的概念和計(jì)算范式，它模擬人類思考模式，以粒(granule)為基本計(jì)算單位，強(qiáng)調(diào)對現(xiàn)實(shí)世界問題多視角、多層次的理解和描述，是針對復(fù)雜問題求解、海量數(shù)據(jù)挖掘和不確定性信息處理等問題研究的有力工具.早在1979年，模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人Zadeh[1]就提出了信息粒度(information granularity)的概念.Hobbs[2]于1985年對粒度(granularity)概念作了進(jìn)一步的闡述，描述了粒計(jì)算雛形的一些基本特征，以不同的粒度來概化世界，以粒度之間的交換來處理問題.Zadeh[3]于1997年又進(jìn)一步提出了信息?；?information granulation)的概念，并認(rèn)為人類認(rèn)知能力可概括為?；?、組織和因果3個主要特征.而“粒計(jì)算”這個概念是Lin[4]于1997年首次提出的，后來Lin[5]和Yao[6]分別對粒計(jì)算研究的一些基本問題進(jìn)行了闡述.我國張鈸院士和張鈴教授[7]提出的商空間(quotient space)理論被公認(rèn)為粒計(jì)算的另一個重要模型，該理論明確指出“在問題求解研究中，人類智能的一個公認(rèn)特點(diǎn)，就是人們能從極不相同的粒度上觀察和分析同一問題”.

迄今為止，已經(jīng)提出了很多涉及具體應(yīng)用背景的粒計(jì)算模型和方法，而在眾多粒計(jì)算研究方法中，粗糙集對粒計(jì)算研究的推動和發(fā)展起著重要的作用[8-19].粗糙集數(shù)據(jù)分析中的典型數(shù)據(jù)描述結(jié)構(gòu)稱為信息系統(tǒng)(information system)[20]，又稱為信息表或?qū)ο?屬性值表，信息表所給出的是數(shù)據(jù)集的訓(xùn)練樣本，原始的Pawlak粗糙集理論利用樣本集上的等價類來描述“粒度”，用等價關(guān)系所誘導(dǎo)的劃分來描述粒度空間.由于Pawlak粗糙集模型所用到的等價關(guān)系要求過于嚴(yán)厲且對噪聲過于敏感，因此，很多基于非等價關(guān)系的粗糙集模型被提出來，并用于各種類型的信息系統(tǒng)和決策表的信息粒度表示和知識獲取問題[9-11,16-18].然而，在傳統(tǒng)粗糙集數(shù)據(jù)分析中，信息系統(tǒng)或決策表中的每個對象只能取唯一的屬性值，這樣的信息系統(tǒng)所描述的是固定尺度下的對象信息，我們稱之為單粒度標(biāo)記信息系統(tǒng).事實(shí)上，單一粒度框架下的知識表示以及數(shù)據(jù)處理方法已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際應(yīng)用的需求，因而“多粒度”已經(jīng)成為粒計(jì)算研究方向的熱點(diǎn).將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換為多粒度問題并利用多粒度方法進(jìn)行求解，不僅體現(xiàn)了粒計(jì)算中將復(fù)雜問題分層、分塊處理的基本思想，而且展現(xiàn)出人類的多層次、多視角思維認(rèn)知能力.在粗糙集數(shù)據(jù)分析方面，錢宇華等人在文獻(xiàn)[21]中首次提出了多粒度粗糙集模型，這是一種推廣的Pawlak粗糙集模型，所提出的樂觀粗糙集和悲觀粗糙集思想有較好的創(chuàng)新性，其主要思想是通過屬性的選擇進(jìn)行交運(yùn)算或并運(yùn)算進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，在此基礎(chǔ)上針對不同數(shù)據(jù)背景的多粒度粗糙集方法被相繼提出[22-23].在實(shí)際應(yīng)用中人們可能要在不同的粒度標(biāo)記下對同一對象在同一屬性或變量下對系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察、表示、分析和做出決策，即對于同一個對象和所對應(yīng)的某個屬性，根據(jù)實(shí)際問題的不同粒度層次的需要，可以取不同層次標(biāo)記的值.比如，對于地圖上我國的某一地方，根據(jù)行政區(qū)域的不同粒度層次(如鄉(xiāng)、縣、地級市、省自治區(qū)等級別)，其所屬地分別給予不同的區(qū)域標(biāo)記.針對類似問題，Wu和Leung在文獻(xiàn)[24]中首次提出了基于多粒度標(biāo)記劃分的粗糙集數(shù)據(jù)分析方法，在這種多粒度標(biāo)記數(shù)據(jù)模型下，同一批數(shù)據(jù)可以被標(biāo)記為不同的粒度層次，人們可以根據(jù)需要在不同的粒度標(biāo)記層面上處理和分析數(shù)據(jù).Wu等人[25-29]還進(jìn)一步研究了在多粒度標(biāo)記框架下的其他數(shù)據(jù)類型的信息粒度表示和最優(yōu)粒度的選擇問題，She等人[30]提出了多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)的局部最優(yōu)粒度選擇和規(guī)則提取方法.Gu和Wu[31-32]還給出了協(xié)調(diào)的和不協(xié)調(diào)的多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)中知識獲取的算法.由于人們在日常生活中接觸和處理的數(shù)據(jù)很多情形下都有缺省的情況，針對此類情況，Wu等人[33]最近又進(jìn)一步提出了不完備多粒度標(biāo)記粗糙集數(shù)據(jù)分析模型.然而，以上多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)都有一個共同的假設(shè)，即系統(tǒng)中所有的屬性都具有相同的粒度標(biāo)記個數(shù)，而實(shí)際生活中人們可能面對不同的屬性具有不同的粒度標(biāo)記個數(shù)的數(shù)據(jù)處理問題，針對這種情形，Li和Hu在文獻(xiàn)[34]中提出了一種推廣的多粒度標(biāo)記數(shù)據(jù)分析模型，研究了不同屬性具有不同粒度標(biāo)記層次的多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)的最優(yōu)粒度選擇問題，給出了2種最優(yōu)粒度標(biāo)記選擇方法.

本文結(jié)合文獻(xiàn)[33-34]的思路，提出推廣的不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)的粗糙集知識表示模型，并討論該模型下粒度標(biāo)記選擇問題.

1 相關(guān)的基礎(chǔ)知識

設(shè)U是非空論域，U的子集全體記為P(U).對于A∈P(U)，A在U中的補(bǔ)集記為～A，即～A={x∈U|x?A}.本節(jié)簡單介紹一些基本概念與知識.

1.1 不完備信息系統(tǒng)

一個信息系統(tǒng)是一個二元組(U,AT)，其中U={x1,x2,…,xn}是一個非空有限對象集，稱為論域；AT={a1,a2,…,am}是一個非空有限屬性集，對于任意的a∈AT，滿足a:U→Va，即a(x)∈Va，x∈U，其中Va={a(x)|x∈U}稱為a的值域.

當(dāng)一個信息系統(tǒng)中的一些屬性值是缺省的或者說是未知的，則稱該系統(tǒng)為不完備信息系統(tǒng)，我們?nèi)匀挥枚M(U,AT)來表示.用符號“*”表示未知值或缺省值，即如果a(x)=*，那么就認(rèn)為x在屬性a上的值是未知的.

對于給定的一個不完備信息系統(tǒng)(U,AT)，A?AT，記：

RA={(x,y)∈U×U|?a∈A,a(x)=a(y)
或a(x)=*或a(y)=*}.

顯然，RA是自反和對稱的，即RA是相似關(guān)系，但一般是非傳遞的.記：

SA(x)={y∈U|(x,y)∈RA}，x∈U.

SA(x)稱為對象x關(guān)于RA的相似類，記:

URA={SA(x)|x∈U}.

設(shè)(U,AT)是一個不完備信息系統(tǒng)，A?AT，X?U，X關(guān)于RA的下近似和上近似定義如下：

其中，|X|表示集合X的基數(shù).X關(guān)于RA的粗糙度為

1.2 信任函數(shù)與似然函數(shù)

定義1. 信任結(jié)構(gòu).設(shè)U是非空有限論域，集函數(shù)m:P(U)→[0,1]稱為mass函數(shù)(基本概率指派)，若它滿足2個性質(zhì)：

1)m(?)=0；

稱A∈P(U)是m的焦元，若m(A)>0.記M={A∈P(U)|m(A)>0},則序?qū)?M,m)稱為U上的一個信任結(jié)構(gòu).

定義2. 信任函數(shù)與似然函數(shù).設(shè)(M,m)是U上的一個信任結(jié)構(gòu)，集函數(shù)Bel:P(U)→[0,1]稱為U上的信任函數(shù)，若

集函數(shù)Pl:P(U)→[0,1]稱為U上的似然函數(shù)，若

由同一信任結(jié)構(gòu)導(dǎo)出的信任函數(shù)與似然函數(shù)是對偶的，即?X∈P(U)，

Pl(X)=1-Bel(～X)，

且

Bel(X)≤Pl(X).

反之，信任結(jié)構(gòu)中的mass函數(shù)可以通過M?bius變換用信任函數(shù)來表示，即?X∈P(U)，

信任函數(shù)和似然函數(shù)還可以等價地用公理定義，即集函數(shù)Bel:P(U)→[0,1]是U上的一個信任函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它滿足3個性質(zhì)：

1)Bel(?)=0；

2)Bel(U)=1；

3) 對于任意X1,X2,…,Xl?U,有

同樣地，Pl:P(U)→[0,1]是U上的一個似然函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它滿足3個性質(zhì)：

1)Pl(?)=0；

2)Pl(U)=1；

3) 對于任意X1,X2,…,Xl?U,有:

定理1[35]. 設(shè)(U,AT)是一個不完備信息系統(tǒng)，A?AT，?X∈P(U)，記：

則BelA，PlA:P(U)→[0,1]是U上一對對偶的信任函數(shù)與似然函數(shù)，其對應(yīng)的mass函數(shù)為

2 不完備多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)

在一個(完備)信息系統(tǒng)(U,AT)中，每一個對象xi在屬性aj上只取一個確定的值，這是單粒度標(biāo)記信息系統(tǒng).若信息系統(tǒng)(U,AT)中每一個對象在同一個屬性上，根據(jù)不同的粒度標(biāo)記層面可以取不同的值，則(U,AT)是一個多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng).Wu和Leung在文獻(xiàn)[24]中首次提出了多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)的概念.

定義3[24]. 多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng).稱(U,AT)是一個多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)，其中U={x1,x2,…,xn}是一個非空有限對象集，稱為論域，AT={a1,a2,…,am}是一個非空有限屬性集，且每一個屬性都是多粒度屬性.假設(shè)所有的屬性都有I個相同的等級粒度，則一個多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)可以表示為

定義3中假設(shè)系統(tǒng)中的每一個屬性都有相同等級的粒度標(biāo)記，但在實(shí)際生活中，各個屬性的粒度等級可能不一樣，針對這種情形，Li和Hu在文獻(xiàn)[34]中提出了一種基于不同屬性取不同等級粒度標(biāo)記的多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)，我們稱之為廣義多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng).

定義4[34]. 廣義多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng).稱(U,AT)是一個廣義多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)，其中U={x1,x2,…,xn}是一個非空有限對象集，稱為論域，AT={a1,a2,…,am}是一個非空有限屬性集，且每一個屬性都是多粒度屬性.假設(shè)屬性aj有Ij個等級粒度標(biāo)記，則一個多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)可以表示為

其中，k=1,2,…,Ij-1；j=1,2,…,m；x∈U.

可以驗(yàn)證，(L,?)是一個偏序集，即?是L上的一個偏序關(guān)系(自反、傳遞和反對稱的關(guān)系).若進(jìn)一步定義：

則(L,?,∧,∨)是一個有界格，顯然它是一個完備格，其中最小元是(1,1,…,1)，最大元是(I1,I2,…,Im)，并且：

K1?K2?K1∧K2=K1?K1∨K2=K2.

對于A?AT和K=(l1,l2,…,lm)∈L，記K在屬性子集A上的限制為KA，并記LA={KA|K∈L}，即LA是子多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)(U,A)的粒度標(biāo)記選擇全體.

對于A?AT和K=(l1,l2,…,lm)∈L，記：

RAK={(x,y)∈U×U|?al∈AKA,
al(x)=al(y)或al(x)=*或al(y)=*}，

則RAK是不完備多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)S在粒度標(biāo)記層面K=(l1,l2,…,lm)上由屬性集A導(dǎo)出的一個相似關(guān)系，特別地，對于a∈AT，記RaK=R{a}K.記：

SAK(x)={y∈U|(x,y)∈RAK}，x∈U.

SAK(x)稱為對象x關(guān)于AK的相似類.記：

URAK={SAK(x)|x∈U}.

定義6. 設(shè)U為非空集，A與B是U的2個覆蓋，若對于任意A∈A，存在B∈B使得A?B，則稱A比B細(xì)或B比A粗，記作AB.

1)K1?K2?RAK1?RAK2；

2)K1?K2?SAK1(x)?SAK2(x),?x∈U；

3)K1?K2?URAK1URAK2；

4)A?B?AT?RBK?RAK,?K∈L；

證明. 直接驗(yàn)證即得.

證畢.

對于X?U,K∈L，X關(guān)于RAK的下近似和上近似定義為

由定理2和上述下近似、上近似的定義容易得到如下：

X關(guān)于RAK的近似精度定義為

X關(guān)于RAK的粗糙度定義為

ρAK(X)=1-αAK(X)，

則我們可以得到在不同的粒度標(biāo)記層面下集合的近似精度與粗糙度的關(guān)系：

1)K1?K2?αAK2(X)≤αAK1(X)；

2)K1?K2?ρAK1(X)≤ρAK2(X).

定理4表明，粒度標(biāo)記越小(細(xì))，集合的近似精度越高而相應(yīng)的粗糙度越小.

由定理1和定理3可得：

則BelAK，PlAK:P(U)→[0,1]是U上一對對偶的信任函數(shù)與似然函數(shù)，其對應(yīng)的mass函數(shù)為

并且信任函數(shù)與似然函數(shù)滿足3個性質(zhì)：

1) 對于K1，K2∈L，若K1?K2，則BelAK2(X)≤BelAK1(X)≤P(X)；

2) 對于K1，K2∈L，若K1?K2，則P(X)≤PlAK1(X)≤PlAK2(X)；

3) 若B?C?AT，則BelBK(X)≤BelCK(X)≤P(X)≤PlCK(X)≤PlBK(X).

3 不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)與最優(yōu)粒度選擇

是協(xié)調(diào)的，即RCK2?Rd，則由定理2知，RCK1?RCK2?Rd，從而：

也是協(xié)調(diào)的，即在較粗的粒度標(biāo)記層面下的不完備決策系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，則在較細(xì)的粒度標(biāo)記層面下的不完備決策必定是協(xié)調(diào)的.

例1. 表1是一個不完備多粒度標(biāo)記決策表S=(U,C∪syggg00)，其中U={x1,x2,…,x8}，C={a1,a2,a3}，其中“S”,“M”,“L”,“Y”,“N”分別表示“小”、“中等”、“大”、“是”、“否”等.屬性a1與a3有3個粒度層面的標(biāo)記，屬性a2只有2個粒度層面的標(biāo)記.

Table 1 An Incomplete Multi-Granular LabeledDecision System表1 一個不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)

Table 2 The Incomplete Decision Table with the GranularLabel Selection K=(3,2,2)表2 對應(yīng)于粒度標(biāo)記選擇K=(3,2,2)的不完備決策表

我們下面討論用證據(jù)理論中的信任函數(shù)和似然函數(shù)來刻畫最優(yōu)粒度標(biāo)記選擇的特征.為了方便起見，不妨設(shè)Vd={1,2,…,r}，記Dj={x∈U|d(x)=j}，j∈{1,2,…,r}，URd={Dj|j=1,2,…,r}.

證明. 1) 對于任意D∈URd，由定理3知，?D.另一方面，對于任意x∈D，顯然[x]d={y∈U|d(y)=d(x)}=D.由于SK=(U,CK∪syggg00)是協(xié)調(diào)的，從而SCK(x)?[x]d=D，由下近似的定義知于是D?因此，

2) 對于任意D∈URd，由定理3知，D?另一方面，對于任意由上近似的定義知，SCK(x)∩D≠?.對于任意y∈SCK(x)∩D，顯然[y]d=D，又由于RCK是對稱的，從而由y∈SCK(x)可得x∈SCK(y).由于SK=(U,CK∪syggg00)是協(xié)調(diào)的，因此SCK(y)?[y]d，從而x∈SCK(y)?[y]d=D，于是?D，故

證畢.

證明. “1)?2)”由于SK=(U,CK∪syggg00)是協(xié)調(diào)的，由定理6知，對于任意Di∈URd有從而因此，

(1)

由定理5知，對于任意Di∈URd有BelCK(Di)≤BelC1(Di)，因此由式(1)可得：

于是：

(2)

SCK(y)?[x]d，

(3)

由于x∈[x]d，在式(3)中取y=x即得SCK(x)?[x]d，因此RCK?Rd，即SK=(U,CK∪syggg00)是協(xié)調(diào)的.

“1)?3)”由于SK=(U,CK∪syggg00)是協(xié)調(diào)的，由定理6知，對于任意Di∈URd有從而因此，

(4)

由定理5對于任意Di∈URd有PlC1(Di)≤PlCK(Di)，故由式(4)可得：

因此:

(5)

而由定理3知：

(6)

從而由式(5)和式(6)即得：

(7)

對于任意x∈U，取D∈URd使得x∈D，顯然[x]d=D.對于任意y∈SCK(x)，由于RCK是對稱的，因此x∈SCK(y)，從而SCK(y)∩[x]d≠?，于是由上近似定義可得故由式(7)知y∈[x]d，這樣我們證明了對于任意x∈U有SCK(x)?[x]d，即RCK?Rd，因此SK=(U,CK∪syggg00)是協(xié)調(diào)的.

證畢.

1) 粒度標(biāo)記選擇K是最優(yōu)的；

證畢.

例2. (續(xù)例1)在表1給出的例中，經(jīng)計(jì)算當(dāng)K=(3,2,2)∈L時，

而對于H=(3,2,3)∈L,有:

又由于H=(3,2,3)是L中唯一嚴(yán)格粗于K的粒度標(biāo)記選擇，由定理8可知K=(3,2,2)是S的最優(yōu)粒度標(biāo)記選擇.

4 結(jié)束語

本文介紹了廣義不完備多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)的概念，在這種系統(tǒng)中不同屬性可以有不同的粒度標(biāo)記層面?zhèn)€數(shù).給出了在不同粒度標(biāo)記層面下基本信息粒的表示及其相互關(guān)系，同時定義了基于相似關(guān)系的集合的下、上近似概念，并討論了近似算子的性質(zhì).引入了廣義不完備多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)中的粒度標(biāo)記選擇和廣義不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)中的最優(yōu)粒度標(biāo)記選擇的概念.并進(jìn)一步用證據(jù)理論中的信任函數(shù)和似然函數(shù)刻畫了協(xié)調(diào)的不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)的最優(yōu)粒度選擇的特征.由于廣義不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)中可能的粒度標(biāo)記選擇的集合組合復(fù)雜度比較高，因此，尋求合適的算法求解最優(yōu)粒度標(biāo)記是一個值得研究的問題.對于一個不協(xié)調(diào)的不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)可以通過引入廣義決策函數(shù)，并用廣義決策函數(shù)代替原系統(tǒng)中的決策，可以將不協(xié)調(diào)的不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為協(xié)調(diào)的不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)，這樣就容易得到判別不協(xié)調(diào)的不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)中保持廣義決策不變的最優(yōu)粒度選擇的特征.未來我們將研究不協(xié)調(diào)的不完備多粒度標(biāo)記決策系統(tǒng)在其它各種意義下的最優(yōu)粒度選擇問題和多粒度決策規(guī)則提取的方法.

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WuWeizhi, born in 1964. Professor and PhD supervisor. Senior member of CCF. His main research interests include rough set theory, granular computing, random set theory, concept lattice, approximate reasoning, etc.

YangLi, born in 1994. Master. Her main research interests include rough set theory and granular computing (1214774932@qq.com).

TanAnhui, born in 1986. PhD. Lecturer. His main research interests include rough set theory, granular computing, artificial intelligence, etc (tananhui86@163.com).

XuYouhong, born in 1969. Associate professor. Her main research interests include rough set theory and granular computing (xyh@zjou.edu.cn).