高 璐，姚炳學(xué)

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

粗糙集理論是由Pawlak于1982年提出的一種能夠處理信息系統(tǒng)中知識(shí)的不確定性、粒度性和不完備性的數(shù)學(xué)工具[1]。其理論核心是一對(duì)基于論域上等價(jià)關(guān)系的近似算子。由于等價(jià)關(guān)系過(guò)于苛刻，人們把等價(jià)關(guān)系放寬為一般的(模糊)關(guān)系或者(模糊)覆蓋，引入了各種各樣的廣義粗糙集[2-5]。

覆蓋粗糙集是Pawlak粗糙集的重要推廣，是由Zakowski[6]最先引入的。近十年來(lái)，覆蓋粗糙集[7-9]及其模糊推廣[10-15]，一直是粗糙集領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。例如，文獻(xiàn)[9]通過(guò)覆蓋直接定義上、下近似算子；文獻(xiàn)[2，3]則結(jié)合覆蓋生成的鄰域來(lái)研究上、下近似算子；文獻(xiàn)[7]更是從元素、粒子和子系統(tǒng)等多個(gè)視角出發(fā)，建立了一般覆蓋粗糙近似算子的理論框架。類(lèi)似于經(jīng)典的覆蓋粗糙集，文獻(xiàn)[11]從模糊覆蓋直接定義上、下近似算子；文獻(xiàn)[15]借助模糊覆蓋生成的鄰域來(lái)研究近似算子；文獻(xiàn)[12]探討了模糊覆蓋粗糙集的公理化問(wèn)題；文獻(xiàn)[13]建立了模糊β-覆蓋粗糙集理論。

對(duì)應(yīng)于經(jīng)典集合論中的補(bǔ)集，模糊集理論中的補(bǔ)集也是不可或缺的，通常是通過(guò)單位區(qū)間[0，1]上的標(biāo)準(zhǔn)否定算子N:a1-a來(lái)定義模糊集的補(bǔ)集。但是除標(biāo)準(zhǔn)否定外，[0，1]上還有很多不依賴(lài)于減法“-”的否定算子；而且標(biāo)準(zhǔn)否定很難推廣到更一般的格上。于是人們通過(guò)一般的否定算子來(lái)定義模糊集的補(bǔ)集，所得結(jié)果自然更具普遍意義。如文獻(xiàn)[12，16-18]即是通過(guò)一般的否定算子來(lái)定義并研究基于模糊關(guān)系和模糊覆蓋的粗糙集。特別地，借助完全分配格上的否定算子，文獻(xiàn)[18]研究了模糊覆蓋生成的鄰域和補(bǔ)鄰域，并進(jìn)一步建立了完全分配格上的模糊覆蓋粗糙集新模型。

2020年，文獻(xiàn)[10]引入了幾種新穎而有趣的模糊覆蓋粗糙集-基于隸屬度和隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集。二者分別著眼于模糊覆蓋中成員對(duì)目標(biāo)模糊集在局部和整體上的包含。因此，文獻(xiàn)[10]中的模糊覆蓋粗糙集具有了一些以往粗糙集所不具有的性質(zhì)。

本文將在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上對(duì)基于隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集展開(kāi)進(jìn)一步研究：基于單位區(qū)間[0，1]上的否定算子N，我們將引入基于隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集新模型，研究新模型的基本性質(zhì)，并建立其與已有粗糙集模型的聯(lián)系。另外，文獻(xiàn)[10]指出模糊覆蓋近似算子不再具有Pawlak粗糙近似算子的部分性質(zhì)，但并未給出這些性質(zhì)成立的條件。本文將對(duì)我們的近似算子不滿(mǎn)足的性質(zhì)，給出其成立的充要條件。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)R為論域U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，稱(chēng)(U，R)為一個(gè)近似空間，并記U/R={[x]R|x∈U}，其中[x]R={y∈U|(x，y)∈R}是x的等價(jià)類(lèi)。

命題1[1]設(shè)(U，R)為一個(gè)近似空間，X，Y?U，記～X為X的補(bǔ)集。

基于覆蓋的粗糙集有多種形式的定義，下面給出其中一種，可以看做文獻(xiàn)[10]中模糊覆蓋粗糙集的特殊情形。

定義3[6]設(shè)(U，C)為覆蓋近似空間。對(duì)任意A?U，定義A的上、下近似為

2 模糊覆蓋粗糙集

首先回顧有關(guān)模糊集和模糊覆蓋的基本知識(shí)。

定義4[5]若映射N(xiāo):[0，1]→[0，1]滿(mǎn)足N(0)=1，N(1)=0，a≤b?N(b)≤N(a)，?a，b∈[0，1]，則稱(chēng)N為[0，1]上的一個(gè)否定算子。特別地，若N還滿(mǎn)足NN(a)=a，?a∈[0，1]，則稱(chēng)N為[0，1]上的一個(gè)對(duì)合否定算子。此時(shí)，有德摩根對(duì)偶律成立

式中I為任一指標(biāo)集。當(dāng)N(a)=1-a時(shí)，稱(chēng)N為[0，1]上的標(biāo)準(zhǔn)否定算子，簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)否定。

若不做特別說(shuō)明，文中出現(xiàn)的N為[0，1]上的對(duì)合否定算子。

當(dāng)N為標(biāo)準(zhǔn)否定時(shí)，記NA為～A。

為區(qū)別稍后引入的新模型，我們稱(chēng)文獻(xiàn)[10]中的粗糙集為基于隸屬函數(shù)的第一型模糊覆蓋粗糙集。

3 基于隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集新模型

本節(jié)引入基于隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集新模型，并研究其基本性質(zhì)。

接下來(lái)，我們給出基于隸屬函數(shù)的第二型模糊覆蓋近似算子的基本性質(zhì)。

(2H) 可由(3H)推得。

因此，(6L)得證。類(lèi)似可證(6H)。

(8LI)和(8HI)分別由(3L)和(3H)推得。

即使對(duì)分明覆蓋，性質(zhì)

一般也不成立。下面的命題給出了使得上式成立的充分必要條件。

證明僅證(1)(3)，(2)(4)類(lèi)似可證。

另一邊由(5LR)可得。故等式成立。

即條件(ML)成立。

綜上有

下例說(shuō)明上、下近似一般不滿(mǎn)足對(duì)偶性

證明僅證第一個(gè)等式，第二個(gè)類(lèi)似。

注記2文獻(xiàn)[10]指出當(dāng)N為標(biāo)準(zhǔn)否定時(shí)，基于隸屬函數(shù)的第一型模糊覆蓋上、下近似不滿(mǎn)足對(duì)偶性。因標(biāo)準(zhǔn)否定是特殊的對(duì)合否定，由定理1知，基于隸屬函數(shù)的第二型模糊覆蓋上、下近似其實(shí)與第一型模糊覆蓋下、上近似是對(duì)偶的。

這表明我們所提出的基于隸屬函數(shù)的第二型模糊覆蓋粗糙集與Pawlak粗糙集雖有密切聯(lián)系，但它卻不是Pawlak粗糙集的直接推廣，而是一種新的粗糙集模型。

4 β-模糊覆蓋粗糙集新模型

本節(jié)引入基于隸屬函數(shù)的β-模糊覆蓋粗糙集新模型，并研究其基本性質(zhì)。

因此，當(dāng)β=1時(shí)，基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋粗糙集就是基于隸屬函數(shù)第二型模糊覆蓋粗糙集。換言之，基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋粗糙集是基于隸屬函數(shù)的第二型模糊覆蓋粗糙集的推廣。

接下來(lái)，我們給出基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋近似算子的基本性質(zhì)。

證(1L)對(duì)任意x∈U，根據(jù)定義9，有

(2H) 可由(1H)推得。

類(lèi)似可證(6H)。

下例說(shuō)明上、下近似一般不滿(mǎn)足對(duì)偶性

所以上下近似不滿(mǎn)足對(duì)偶性。

證明僅證第一個(gè)等式，第二個(gè)可類(lèi)似證明，

注記5 文獻(xiàn)[10]指出當(dāng)N為標(biāo)準(zhǔn)否定時(shí)，基于隸屬函數(shù)的第一型β-模糊覆蓋上、下近似不滿(mǎn)足對(duì)偶性，因標(biāo)準(zhǔn)否定是特殊的對(duì)合否定，由定理2知，基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋的上、下近似其實(shí)與第一型模糊覆蓋下、上近似是對(duì)偶的。

注記6 因?yàn)榛陔`屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋粗糙集是基于隸屬函數(shù)的第二型模糊覆蓋粗糙集的推廣，而后者是Pawlak粗糙集的推廣。因此，基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋粗糙集也是Pawlak粗糙集的推廣。

注記7 前文中我們一直考慮N為對(duì)合否定，在非對(duì)合否定情形下，不少結(jié)論仍是成立的，如命題2中的(1L)，(1H)，(2L)，(2H)，(3L)，(3H)，(6L)，(6H)，(8LI)，(8HI)與命題4中的(1L)，(1H)，(2L)，(2H)，(3L)，(3H)，(6L)，(6H)，證明過(guò)程由命題2和命題4可知，這里不再贅述。

5 結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合單位區(qū)間[0，1]上的否定運(yùn)算N，引入了基于隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集新模型，研究了其基本性質(zhì)，并探討了它們與已有粗糙集模型的聯(lián)系。特別地，我們證明了當(dāng)N為標(biāo)準(zhǔn)否定時(shí)，新模型的上、下近似與文獻(xiàn)[10]中的下、上近似是對(duì)偶的。需要指出的是，無(wú)論是本文還是文獻(xiàn)[10]中近似算子的定義，模糊覆蓋中成員對(duì)目標(biāo)模糊集的包含都是二值的，即要么包含要么不包含。未來(lái)工作中，我們將考慮用包含度來(lái)代替包含關(guān)系來(lái)研究模糊粗糙集模型。