馬桂萍

【摘要】排列組合問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。為了更好的解決排列組合問題，本文首先總結(jié)出了求解排列組合問題的依據(jù)，原則，關(guān)鍵，接著通過實(shí)際問題說明了分類討論法，并重點(diǎn)介紹利用“加減乘除”方法在一些問題的應(yīng)用，說明該方法在解決排列組合問題時(shí)是一種很有效的方法。

【關(guān)鍵詞】排列；組合；分類討論；加減乘除

解排列組合問題的依據(jù)、原則、關(guān)鍵

①解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合：

②解排列組合問題的三先三后原則：先分類后分步：先特殊后一般，先組合后排列：

③解排列組合問題的關(guān)鍵：注意分類討論。

一、分類討論法

【例1】安排5名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的總數(shù)是____。（用數(shù)字作答）

【分析及解】分兩種情況：（1）不最后一個(gè)出場(chǎng)的歌手第一個(gè)出場(chǎng)，有A：種排法（2）不最后一個(gè)出場(chǎng)的歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，有A 3JA3A；種排法，故共有78種不同排法。

二、解排列組合問題的方法

相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，多排問題單排法，定位問題優(yōu)先法，多元問題分類法，選取問題先選后排至多至少問題間接法，求正整數(shù)解個(gè)數(shù)出隔板法等：主要方法有：

加：利用加法的關(guān)鍵是正確分類，分類前必須先確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，使完成這件事的任何一種方法都屬于且只屬于某一類。

【例1】有一個(gè)密碼為631208的手提箱，現(xiàn)有顯示號(hào)碼為080127，要打開箱子，至少旋轉(zhuǎn)幾次？（每個(gè)旋鈕可顯示的數(shù)字依次為O，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的任何一個(gè)，只要一個(gè)旋鈕上轉(zhuǎn)…一個(gè)新的數(shù)字就為一次，逆轉(zhuǎn)與順轉(zhuǎn)都可以）

【分析及解】在第一個(gè)旋鈕上由O轉(zhuǎn)為6，順轉(zhuǎn)需要6次，逆轉(zhuǎn)需要4次，所以，在第一個(gè)旋鈕上至少需要轉(zhuǎn)4次，同理，在第二個(gè)旋鈕上至少需要轉(zhuǎn)5次，在第三個(gè)旋鈕上至少需要轉(zhuǎn)1次，在第四個(gè)旋鈕上至少需要轉(zhuǎn)1次，在第五個(gè)旋鈕上至少需要轉(zhuǎn)2次，在第六個(gè)旋鈕上至少需要轉(zhuǎn)1次，因此，要打開箱子，至少旋轉(zhuǎn)4+5+1+1+2+1= 14次。

減：完成一件事，當(dāng)正面直接分類較困難，而不完成這件事的情況卻容易分類時(shí)，則只需要在完成這件事與否的方法總數(shù)中減去不完成這件事的方法總數(shù)即可，

【例2】以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成多少個(gè)四面體？

【分析及解】由于以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成C48個(gè)四邊形，其中共面的四邊形有（1）以正方體的表面四邊形有6個(gè)，（2）對(duì)角面有6個(gè)，因此，以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成C4-6-6=58個(gè)四面體。

乘：是分步計(jì)數(shù)原理在解題中的應(yīng)用，完成一件事，需要分成連續(xù)ri個(gè)步驟，只有完成且只需要完成這n個(gè)步驟，事情才能完成，則完成這件事的方法總數(shù)是分步完成方法數(shù)的乘積。

【例3】2100有多少個(gè)正的約數(shù)？

【分析及解】由2100=22x3x52x7，第一步，考慮是否有約數(shù)2，有3種選擇：“不選”，“選1個(gè)”，“選2個(gè)”共3種不同的選法：第二步，考慮是否有約數(shù)3，有2種選擇：“不選”，“選1個(gè)”，共2種不同的選法；第三步，考慮是否有約數(shù)5，有3種選擇：“不選”，“選1個(gè)”，“選2個(gè)”共3種不同的選法：第四步，考慮是否有約數(shù)7，有3種選擇：“不選”，“選1個(gè)”，共2種不同的選法：所以，2100有3×2x3x2= 36個(gè)正約數(shù)。

除：除是針對(duì)有“對(duì)稱”關(guān)系而采用的一種解法.如果完成一件事中存在著一些特殊的元素，將這些元素相互對(duì)換后，并不影響完成這件事的方法總數(shù)，就稱這些特殊的元素具有“對(duì)稱”關(guān)系，把具有“對(duì)稱”關(guān)系的所有元素的全排列應(yīng)看作同一種情形，這時(shí)候要用除法。

【例4】將n個(gè)不同的元素排成一列，其中a，在a2的左邊，a。在a的左邊，…，ak-1，在ak的左邊，（a1，a2，…，ak不一定相鄰），有多少種不同的排法？

【分析及解】這是一個(gè)定序問題，其中，a.，a2，…，ak的順序只有一種情形，因此，共有

種排法。

【例5】把6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的分法？

【分析及解】這是一個(gè)平均分組問題，由于各組內(nèi)的元素個(gè)數(shù)相同，所以組內(nèi)元素進(jìn)行整體對(duì)換后，分組總數(shù)不受影響，即組與組是對(duì)稱的，因而，平均分組問題要用除法解決.有

種不同的分法。

捆：是對(duì)元素進(jìn)行整體處理的形象化描述，在排列組合問題中，有時(shí)要求某些元素必須相鄰，可以把這些元素“捆”在一起，從而保證這些元素相鄰而不散亂。

【例6】把4封信投入三個(gè)信箱中的兩個(gè)信箱，有多少種不同的投法？

【分析及解】4封信的投法分為兩類：第一類是一個(gè)信箱3封，一個(gè)信箱1封，第二類是兩個(gè)信箱各2封，在第一類分法中，為了保證3封信在同一個(gè)信箱，需要把其中的3封信“捆”在一起，在第二類分法中，同樣需要把其中的每個(gè)2封信“捆”在一起。

（1）-個(gè)信箱3封，一個(gè)信箱1封時(shí)，有 種投法。

（2）兩個(gè)信箱各2封時(shí)，有

種投法。

由（1），（2）共有24+18= 42種投法。

插：是排列組合中保證某些特殊元素互不相鄰的常用手段，在解題時(shí)，先將其它元素排列，然后再將這些特殊元素插入在其它元素的間隙中。

【例7】馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，10的十只路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中的3只路燈熄滅，但不能同時(shí)熄滅相鄰的兩只或三只路燈，問滿足條件的熄滅3只路燈的方法有多少種？

【分析及解】不能同時(shí)熄滅相鄰的兩只或三只路燈，實(shí)質(zhì)上是熄滅的任意兩只路燈不能相鄰。

亮著的7只路燈是不加區(qū)別的，其排列的情況只有一種.這7只路燈之間有8個(gè)間隙，將3只熄滅的路燈插入間隙，共有c 種插法，所以，滿足條件的熄滅3只路燈的方法有l(wèi)xC3= 56種。

隔：用與整數(shù)分解型的排列組合問題，其思路是先把整數(shù)分解成單位數(shù)1的和，然后把這個(gè)和式分隔成若干段，使每種分隔都只和完成這件事的一種方法相對(duì)應(yīng)。

【例8】某學(xué)校從高中三個(gè)年級(jí)中選20人組成田徑隊(duì)，要求高一至少4人，高二至少5人，高三至少6人，共有幾種選法？

【分析及解】首先確定在高一選3人，高二選4人，高三選5人，共12人，還差8人，再在高中三個(gè)年級(jí)中選8人，每個(gè)年級(jí)至少選一人，相當(dāng)于方程x，+X2+X3=8的正整數(shù)解的組數(shù)，即有c；=21種選法。

化：就是通過一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，用映射的方法尋求解題途徑。

【例9】若凸八邊形的對(duì)角線兩兩相交，且除頂點(diǎn)外，再無三線共點(diǎn)，試問這些交點(diǎn)有多少個(gè)在其內(nèi)部？

【分析及解】以凸八邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)凸八邊形的對(duì)角線兩兩相交的內(nèi)部的交點(diǎn)，而以凸八邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形共有C =70個(gè)，即凸八邊形的對(duì)角線交點(diǎn)有70個(gè)在內(nèi)部。