(浙江大學(xué)制冷與低溫研究所 浙江省制冷與低溫技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 310027)

熱電制冷又稱為半導(dǎo)體制冷，制冷片(圖1)是由N對pn結(jié)通過串聯(lián)的方式連接在一起，p結(jié)和n結(jié)分別由兩種具有不同塞貝克系數(shù)的材料組成。當(dāng)有電流通過時(shí)，由于帕爾貼效應(yīng)的存在，兩種材料的接頭一端放熱，一端吸熱[1]，實(shí)現(xiàn)制冷的目的。半導(dǎo)體制冷與一般制冷的顯著區(qū)別在于：不使用制冷劑，沒有運(yùn)動(dòng)部件，容量尺寸宜于小型化，使用直流電工作[2-3]，制冷量可從mW級到kW級變化，制冷溫差可達(dá)20～150 ℃[4]。因此，半導(dǎo)體制冷在實(shí)際生產(chǎn)生活中有著廣闊的應(yīng)用前景，被廣泛應(yīng)用于電子制冷[5-6]、便攜式冰箱[7-9]等領(lǐng)域。

圖1 半導(dǎo)體制冷片F(xiàn)ig.1 Thermoelectric cooler

針對半導(dǎo)體制冷片的制冷量和制冷效率(COP)優(yōu)化已有大量的研究，優(yōu)化方法可分為以下3方面：

1)改變半導(dǎo)體制冷片自身的幾何參數(shù)(如pn結(jié)長度[10-14]、pn結(jié)對數(shù)[9,12])對制冷效果進(jìn)行優(yōu)化；

2)改變制冷片冷熱端的傳熱方式[15-16]，或改變制冷片冷熱端的傳熱熱阻[17-19](包括制冷片冷熱端的傳熱面積及傳熱系數(shù))對制冷片制冷系統(tǒng)進(jìn)行熱設(shè)計(jì)和優(yōu)化；

3) 對制冷片的輸入電流[2,20]進(jìn)行優(yōu)化設(shè)置。

但被冷卻設(shè)備(如：激光二極管、紅外傳感器)體積的小型化使其所需的散熱熱流密度增大，同時(shí)制冷片的散熱空間和散熱方式受到限制，使改變制冷片自身的幾何參數(shù)成為優(yōu)化制冷量和COP的有效方法。當(dāng)確定制冷片的材料特性和冷熱端溫度時(shí)，Cheng Y. H.等[10]利用遺傳算法研究在一定輸入電流情況下pn結(jié)截面積、高度及pn結(jié)數(shù)目對制冷量和COP的影響。G. Fraisse等[11]研究了當(dāng)冷端和熱端溫度一定，n結(jié)體積和長度不變時(shí)，n結(jié)截面積改變對制冷量和COP產(chǎn)生的影響。G. Min等[12]研究了在一定制冷片冷熱端溫度情況下，pn結(jié)的長度對制冷片的制冷量和COP的影響。當(dāng)固定電流及固定制冷片冷熱端溫差(冷端溫度保持300 K)時(shí)，利用共軛梯度法，Huang Yuxian等[13]研究了pn結(jié)數(shù)目、pn結(jié)長度和截面積對制冷量的影響，從而優(yōu)化制冷量。Zhu Wei等[14]研究了當(dāng)恒定電流和溫差(熱端溫度保持27 ℃)，pn結(jié)長度與橫截面積比相同時(shí)，不同尺寸(pn結(jié)長度或者橫截面)對制冷片制冷量的影響。

以上文獻(xiàn)均是基于給定的制冷片冷熱端溫度，研究制冷片幾何參數(shù)對制冷量和COP的影響。1)制冷片的冷熱端溫度預(yù)先給定。為了維持恒定的冷熱端溫度，意味著制冷片外部的冷熱端熱阻(或熱源、熱匯的溫度)可隨工況改變?nèi)我庹{(diào)整，這在實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)。2)均是以制冷量和COP為優(yōu)化目標(biāo)，忽略了制冷片冷端溫度的實(shí)際需求。在半導(dǎo)體制冷片的制冷應(yīng)用中，對制冷片的制冷溫度往往有一定要求，如半導(dǎo)體制冷除濕[21]過程中，制冷片冷端溫度必須低于空氣的露點(diǎn)溫度；或當(dāng)用于疫苗冷藏[22]時(shí)，制冷片冷端溫度必須控制在一定溫度下，使疫苗的溫度保持2～8 ℃。

此外，以上研究大多以電流作為制冷片優(yōu)化的初始條件，以電壓作為優(yōu)化研究的初始條件還很缺乏。原因是制冷片幾何參數(shù)與制冷片冷熱端溫度以及輸入電流之間存在耦合關(guān)系，當(dāng)給定電壓(非電流)時(shí)，電流從固定值變?yōu)橐蜃兞?，難以從理論上分析制冷片幾何參數(shù)對制冷量和COP的影響。但是，生產(chǎn)生活中恒壓源比恒流源更常用。

因此，本文固定半導(dǎo)體制冷片外部的冷熱端換熱條件及輸入電壓，分別以半導(dǎo)體制冷量、COP及制冷片冷端溫度為優(yōu)化目標(biāo)，來優(yōu)化制冷片結(jié)構(gòu)尺寸。由于冷熱端溫度及輸入電流從固定值變?yōu)橐蜃兞?，不僅增加了需要優(yōu)化的過程變量及目標(biāo)，還使多參量之間的耦合關(guān)系更加凸顯，大大增加了確定制冷片最佳幾何參數(shù)的難度。為解決這一問題，本文結(jié)合數(shù)值模擬結(jié)果，從帕爾貼效應(yīng)、焦耳效應(yīng)和傅里葉效應(yīng)隨著制冷片幾何參數(shù)變化而變化的結(jié)果，分析制冷片幾何參數(shù)對制冷量、制冷片冷端溫度和COP的影響。綜合制冷量、COP和制冷片冷端溫度3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)對制冷片幾何參數(shù)選取范圍的約束特性，提出了基于多目標(biāo)優(yōu)化的幾何參數(shù)選擇圖，為今后制冷片幾何參數(shù)的設(shè)計(jì)提供更加直觀地參考。

1 制冷片結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理

1.1 制冷片設(shè)計(jì)基本方程

制冷片根據(jù)半導(dǎo)體材料的熱電效應(yīng)進(jìn)行吸熱和放熱，這種熱電效應(yīng)共由5種不同的效應(yīng)組成，即塞貝克效應(yīng)、帕爾貼效應(yīng)、焦耳效應(yīng)、傅里葉效應(yīng)和湯姆遜效應(yīng)。本文考慮前4種效應(yīng)并忽略湯姆遜效應(yīng)的影響。以半導(dǎo)體制冷系統(tǒng)(圖2)為分析對象，系統(tǒng)方程為：

(1)

Qc=N(αp-αn)ITc-1 000NI2ρLA-

(2)

(3)

U=N[2 000IρLA+(αp-αn)(Th-Tc)]

(4)

(5)

圖2 制冷片系統(tǒng)Fig.2 System of a thermoelectric cooler

在以上方程的建立過程中采用了以下假設(shè)(與實(shí)際生產(chǎn)加工情況相符)：1)p結(jié)和n結(jié)的熱電偶幾何參數(shù)一致；2)p結(jié)和n結(jié)的電阻率、熱導(dǎo)率和塞貝克系數(shù)絕對值相同，且與溫度無關(guān)；3)p結(jié)和n結(jié)的熱電偶截面為正方形。

1.2 制冷片的設(shè)計(jì)環(huán)境

基于制冷片可能的應(yīng)用環(huán)境，對半導(dǎo)體物性及冷熱端運(yùn)行條件(冷熱端熱阻、表面積、電壓等)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行初始設(shè)置[1]，如表1所示。即使在實(shí)際應(yīng)用中冷熱端運(yùn)行條件不同于本文的設(shè)置，此優(yōu)化分析方法依然適用。

冷端熱阻和熱端熱阻是由制冷片表面積和冷熱端傳熱系數(shù)得到的，在實(shí)際制冷片應(yīng)用中，冷端一般與被冷卻物體緊貼，傳熱方式為導(dǎo)熱，為了使被冷卻物體表面溫度可以均勻分布，在本文中認(rèn)為冷端的導(dǎo)熱材料為鋁，導(dǎo)熱系數(shù)為237 W/(m·K)，鋁的厚度為1 cm，相當(dāng)于冷端傳熱系數(shù)為23.7 kW/(m2·K)。熱端采用對流的方式進(jìn)行換熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為1.2 kW/(m2·K)；得出冷熱端的傳熱熱阻；另外，為了防止制冷片表面帶電，在pn結(jié)的兩端分別加上很薄的陶瓷片，忽略熱阻及系統(tǒng)中各物體間的接觸熱阻。

表1 半導(dǎo)體制冷系統(tǒng)參數(shù)初始設(shè)置Tab.1 Initial setting of thermoelectric coolingsystem parameters

本文的優(yōu)化自變量為制冷片幾何參數(shù)，分別為pn結(jié)的對數(shù)N和pn結(jié)高度與截面積之比LA，其中LA=L/A，L為pn結(jié)的高度，A為p結(jié)(或n結(jié))的截面積。由于公式中pn結(jié)高度與截面積總是以相除的形式存在，為了方便計(jì)算，變量LA常用來統(tǒng)一表征高度和截面積對制冷量的影響[13]。

根據(jù)pn結(jié)實(shí)際的加工工藝，針對長寬都為10 cm(S=0.01 m2)的正方形半導(dǎo)體制冷片，N的值域?yàn)?0，2 500)，LA的值域?yàn)?0，10)。

在制冷片熱端側(cè)設(shè)置298 K的散熱流體(如室溫水)，流速恒定以維持表1所示的熱端換熱熱阻。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，制冷片的制冷量Qc與被冷卻物體的發(fā)熱量Qw相匹配，對制冷片系統(tǒng)完成邊界條件的設(shè)置。為防止計(jì)算中出現(xiàn)制冷片相關(guān)參數(shù)違背實(shí)際物理意義，需對制冷片的熱端溫度和冷端溫度設(shè)置相應(yīng)的約束條件：1)制冷片冷端溫度Tc≤298 K；2)制冷片熱端溫度Th≥298 K。這樣可以體現(xiàn)制冷片冷卻相對散熱流體直接接觸冷卻的優(yōu)勢，避免在計(jì)算中出現(xiàn)Tc高于Th的錯(cuò)誤。

1.3 模型的驗(yàn)證

圖3 理想模型制冷效果與實(shí)驗(yàn)制冷效果的對比Fig.3 The comparison between cooling effect simulatedby the ideal model and experimental results

本文針對半導(dǎo)體的熱電效應(yīng)建立的理想模型，視塞貝克系數(shù)為常數(shù)，忽略了湯姆遜效應(yīng)帶來的影響。為了研究忽略湯姆遜效應(yīng)對半導(dǎo)體制冷效果影響，根據(jù)文獻(xiàn)[23]的實(shí)驗(yàn)條件：Th=343.2 K，Qc=12.3 W，αpn=0.000 378 V/K，k=2.571 W/(m·K)，ρ=0.000 01(Ω·m)，LA=1.02(1/mm)，N=125。圖3所示為理想模型制冷效果與實(shí)驗(yàn)制冷效果的對比，發(fā)現(xiàn)兩者吻合較好。因此，本文采用的理想模型可以很好地預(yù)測或反映半導(dǎo)體制冷的實(shí)際情況。

2 結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響

表1共有7個(gè)已知參數(shù)，式(1)～式(5)中，有8個(gè)未知量，分別為熱電偶的高度與橫截面面積的比LA，pn結(jié)的對數(shù)N，電流I，制冷片冷端溫度Tc，制冷片熱端溫度Th，被冷卻物體的發(fā)熱量Qw(或制冷片的制冷量Qc)，被冷卻物體的表面溫度To和整個(gè)系統(tǒng)的COP。研究N(或LA)對Qc最大值影響時(shí)，給定Tc、LA(或N)，并讓N(或LA)取不同的值，這樣還有5個(gè)未知量對應(yīng)5個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)方程的封閉性；研究N(或LA)對Tc最小值和COP影響時(shí)，給定Qw、LA(或N)，并讓N(或LA)取不同的值，可實(shí)現(xiàn)方程的封閉性；然后利用EES軟件，在相應(yīng)的參數(shù)設(shè)置條件下，對上述方程組進(jìn)行仿真求解。

2.1 N對Qc最大值、Tc最小值和COP的影響

為了獲得Qc的最大值，Tc越大越好。因?yàn)門c越大，冷端帕爾貼效應(yīng)越強(qiáng)，且制冷片冷熱端溫差越小，傅里葉導(dǎo)熱效應(yīng)越差，制冷量越大。在理論極限上，Tc可以等于Th，但根據(jù)前文分析，Tc的最大值為298 K，則取Tc=298 K；求解式(1)～式(5)，可得N對Qc最大值的影響規(guī)律，如圖4所示，該規(guī)律可用式(2)來解釋。

圖4 在LA和Tc給定情況下，N對Qc最大值的影響Fig.4 Given LA and Tc, the effect of N on the maximum value of Qc

給定LA和Tc，隨著N的增大，由于N對pn結(jié)串聯(lián)連接，制冷片的電阻增大，則pn結(jié)中的I逐漸降低(圖5)，等式右邊表征冷端帕爾貼效應(yīng)的第一項(xiàng)和焦耳熱效應(yīng)的第二項(xiàng)都會(huì)隨電流降低而降低。由于電流減小，制冷片熱端載流子遷移速率降低，放熱能力降低，此時(shí)外界流體(室溫水)帶走熱量的能力大于載流子放熱能力。由于兩者最終實(shí)現(xiàn)平衡，因此Th下降，制冷片熱端帕爾貼效應(yīng)降低，同時(shí)焦耳熱效應(yīng)降低。Th主要由帕爾貼效應(yīng)和焦耳熱決定，Th的逐漸降低使表征傅里葉效應(yīng)的第3項(xiàng)也降低(圖6)。由于帕爾貼效應(yīng)在熱電效應(yīng)中占主導(dǎo)地位，所以單對pn結(jié)的制冷量降低(圖7)?？傊评淞渴莗n結(jié)個(gè)數(shù)N和單個(gè)pn結(jié)制冷量的乘積，圖6中，當(dāng)N較小時(shí)，N的增大速率比pn結(jié)制冷量的降低速率大。因?yàn)镹從50增大到500時(shí)，N值擴(kuò)大10倍，而單個(gè)pn結(jié)制冷量從0.128 W降低到0.04 W，只降低2.56倍，因此整個(gè)制冷片制冷量表現(xiàn)為增大。當(dāng)N較大時(shí)，N的增大速率比pn結(jié)制冷量的降低速率小，因?yàn)镹從1 500增大到2 000時(shí)，N值只擴(kuò)大1.3倍，而單個(gè)pn結(jié)制冷量從0.014 W降低到0.01 W，降低1.4倍，導(dǎo)致整個(gè)制冷片制冷量表現(xiàn)為降低。值得注意的是這一點(diǎn)與從圖7上獲取的直觀感受存在差異。綜上所述，制冷片的最大制冷量隨著N值的增大先增大后降低(圖4)。

圖5 在LA和Tc給定情況下，N對I的影響Fig.5 Given LA and Tc, the effect of N on current

圖6 在LA和Tc給定情況下，N對傅里葉效應(yīng)的影響Fig.6 Given LA and Tc, the effect of N on the Fourier effect

圖7 在LA和Tc給定情況下，N對單對pn結(jié)制冷量的影響Fig.7 Given LA and Tc, the effect of N on the cooling capacity of single-pair thermoelectric cooler

給定Qw和LA，計(jì)算可得N對Tc的影響規(guī)律。N對Tc的影響規(guī)律如圖8所示，將式(4)帶入式(2)中，可以發(fā)現(xiàn)Tc與N和I的關(guān)系式(6)：

αpnITc=1 000I2ρLA+

(6)

式(6)是針對單對pn結(jié)而言，表征了取冷端表面為控制面上的能量守恒。等式左邊表征制冷片冷端的帕爾貼熱，即從冷端表面帶走的熱量。等式右邊是輸入到冷端表面的熱量，第一項(xiàng)表征由焦耳熱效應(yīng)引起的傳向制冷片冷端的熱量；等式右邊第二項(xiàng)表征了因傅里葉傳導(dǎo)效應(yīng)而傳向制冷片冷端的熱量，等式右邊第三項(xiàng)表征pn結(jié)冷端從外界吸收的熱量。

圖8 在Qw和LA給定情況下，N對Tc的影響Fig.8 Given LA and Qw, the effect of N on temperature of cold end of thermoelectric cooler

為更加清晰地表達(dá)Tc與N和I的關(guān)系，對式(6)兩邊約去一個(gè)I得到式(7)：

αpnTc=1 000IρLA+

(7)

由圖9可知，I隨著N的增大而降低，即焦耳熱效應(yīng)降低，采用與圖7中相同的分析方法可得N與I的乘積隨著N增大而減小，傅里葉效應(yīng)增大但增大不明顯；同理，從外界吸熱效應(yīng)也會(huì)增大。由于當(dāng)N較小時(shí)，相比傅里葉效應(yīng)和外界吸熱效應(yīng)的增大，焦耳熱效應(yīng)降低的更多；當(dāng)N較大時(shí)，相比傅里葉效應(yīng)和外界吸熱效應(yīng)的增大，焦耳熱效應(yīng)降低的少。因此，隨著N的增大，制冷片冷端帕爾貼效應(yīng)先降低后增大，即制冷片冷端溫度先降低后增大。

圖9 在Qw和LA給定情況下，N對I的影響Fig.9 Given LA and Qw, the effect of N on current

圖10 在LA和Qw給定情況下，N對COP的影響Fig.10 Given LA and Qw, the effect of N on COP

給定Qw和LA，計(jì)算可得N對COP的影響規(guī)律。N對COP的影響規(guī)律如圖10所示，COP隨著N的增大而增大。N的增大，使I降低(圖9)，即在輸出冷量不變時(shí)，輸入功率變小，COP一直增大。但N值受一定約束，不可以無限增大。N值的約束來自兩個(gè)方面：1)實(shí)際加工工藝的約束，一定表面積的陶瓷片上承載的pn結(jié)必然存在一個(gè)最大值；2)制冷量的約束，因?yàn)樽畲笾评淞繒?huì)隨著N值的增大先增大后降低，所以為了實(shí)現(xiàn)一定的制冷量，N值必然只能在一定范圍內(nèi)變化。此外，當(dāng)N值較大時(shí)，各對pn結(jié)之間橫向的熱傳遞更明顯，影響整個(gè)制冷片的傳熱模型，COP與N之間的關(guān)系也發(fā)生改變。但本文沒有考慮各對pn結(jié)之間橫向的熱傳遞，所以N對COP的影響較理想化。

2.2 LA對Qc最大值、Tc最小值和COP的影響

取Tc=298 K，LA對Qc最大值的影響規(guī)律由式(2)可知，如圖11所示。

圖11 在N和Tc給定的情況下，LA對Qc最大值的影響Fig.11 Given N and Tc, the effect of LA on the maximum value of Qc

如3.1節(jié)所述，為了獲得Qc的最大值，給定N值時(shí)，Tc應(yīng)為298 K；隨著LA的增大，pn結(jié)中的I逐漸降低(圖12)，由于制冷片冷端溫度Tc不變，冷端帕爾貼效應(yīng)逐漸降低；采用與圖7相同的分析方法，分析圖12可知，隨著LA的增大，I的平方與LA的乘積降低，焦耳熱效應(yīng)降低；此時(shí)制冷片冷熱端的溫差ΔT(Th-Tc)逐漸變小(圖13)，因此LA的增大會(huì)使傅里葉效應(yīng)降低；由于帕爾貼效應(yīng)在熱電效應(yīng)中占主導(dǎo)地位，所以單對pn結(jié)的制冷量一直降低，因而制冷片的最大制冷量也一直降低。

圖12 在N和Tc給定的情況下，LA對I的影響Fig.12 Given N and Tc, the effect of LA on current

LA對Tc的影響規(guī)律由式(7)可知，如圖14所示。

由圖15可知，給定N和Qw，隨著LA的增大，I逐漸降低，LA的增大速率比I的降低速率大，使焦耳熱效應(yīng)增大；同理，LA與I的乘積變大，導(dǎo)致傅里葉效應(yīng)降低；由于I的降低，從外界吸熱效應(yīng)也增大。當(dāng)LA較小時(shí)，相比焦耳熱效應(yīng)和外界吸熱效應(yīng)的增大，傅里葉效應(yīng)降低的更多；在LA較大時(shí)，相比焦耳熱效應(yīng)和外界吸熱效應(yīng)的增大，傅里葉效應(yīng)降低的較少。因此隨著LA的增大，制冷片冷端帕爾貼效應(yīng)會(huì)先降低后增大，即制冷片冷端溫度Tc先降低后增大。

圖13 在N和Tc給定的情況下，LA對制冷片冷熱端溫差ΔT的影響Fig.13 Given N and Tc, the effect of LA on the temperature difference ΔT

圖14 在N和Qw給定情況下，LA對Tc的影響Fig.14 Given N and Qw, the effect of LA on temperature of cooled object

圖15 在N和Qw給定情況下，LA對I的影響Fig.15 Given N and Qw, the effect of LA on current

給定N和Qw，LA對COP的影響規(guī)律如圖16所示，隨著LA的增大，I逐漸降低(圖15)，又由于Qc和U不變，因此COP一直增大。

圖16 在N和Qw給定情況下，LA對COP的影響Fig.16 Given N and Qw, the effect of LA on COP

3 多目標(biāo)約束下半導(dǎo)體制冷片幾何參數(shù)的優(yōu)化

前文研究了在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積的情況下，N和LA對Qc最大值、Tc最小值和COP的影響。在上述分析過程中，為了使方程可解，Qc或Tc的值必須假定其中一個(gè)。在實(shí)際應(yīng)用中，對于制冷片而言，不僅想獲得最大的制冷量，或最低的表面溫度，或最大的COP，更希望制冷片既能提供所需的制冷量，冷端又能保持一定的溫度，使被冷卻物體在合適的溫度下運(yùn)行實(shí)現(xiàn)節(jié)能，即往往是約束過多的情況，但約束過多可能導(dǎo)致無解。本文將進(jìn)一步分析如何在多目標(biāo)約束下，對制冷片幾何參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

3.1 不同設(shè)計(jì)目標(biāo)下最佳幾何參數(shù)的確定

為了分析在制冷片幾何參數(shù)優(yōu)化這一特定的應(yīng)用中，約束過多是否仍然存在特定解，本節(jié)將根據(jù)不同的設(shè)計(jì)目標(biāo)，計(jì)算相應(yīng)的最佳制冷片幾何參數(shù)。在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積，以制冷片制冷量為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，基于前文制冷片幾何參數(shù)對制冷量影響的研究結(jié)果可知，Qc隨著N的增大先增大后降低，隨著LA的增大一直降低。當(dāng)要求Qc不小于一定值時(shí)，N的取值范圍隨著LA的增大而縮小且LA的取值范圍會(huì)被限定在0.1到某一個(gè)值內(nèi)，從而使N和LA的取值范圍在幾何參數(shù)選擇圖上圍成一個(gè)四邊形。假設(shè)給定制冷片制冷量優(yōu)化目標(biāo)為15 W，經(jīng)計(jì)算得出，當(dāng)N在70～2 400且LA在0.1～2.8這個(gè)四邊形范圍內(nèi)任何一點(diǎn)均能滿足該制冷量的優(yōu)化目標(biāo)，如N=1 200，LA=1.5或N=1 200，LA=2.8，只是不同N或LA取值，對應(yīng)的冷端溫度不同。當(dāng)以制冷片冷端溫度為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，基于前文制冷片幾何參數(shù)對制冷片冷端溫度影響的研究結(jié)果可知，Tc隨著N的增大先降低后增大，Tc隨著LA的增大先降低后增大，那么當(dāng)要求Tc不高于一定值時(shí)，N和LA都會(huì)被限定在有限的取值范圍內(nèi)，從而圍成一個(gè)四邊形。假設(shè)給定制冷片冷端溫度的優(yōu)化目標(biāo)為280 K，經(jīng)計(jì)算得出，當(dāng)N在50～400且LA在0.1～10這個(gè)四邊形范圍內(nèi)任何一點(diǎn)均能滿足該優(yōu)化目標(biāo)，如N=200，LA=3或N=300，LA=5，只是不同N或LA取值，對應(yīng)的制冷片冷量不同。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)分別以制冷量和制冷片冷端溫度為目標(biāo)時(shí)，得出的制冷片結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍存在一定的區(qū)別，說明不同的優(yōu)化目標(biāo)有不同的最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍，因此一種優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果并不一定適用于另一種優(yōu)化目標(biāo)。但是，各目標(biāo)優(yōu)化的結(jié)果存在交集，即存在一定的結(jié)構(gòu)尺寸范圍能滿足多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，多目標(biāo)約束下，仍然存在特定解，為下文提出多目標(biāo)優(yōu)化的幾何參數(shù)選擇圖提供了可能。當(dāng)優(yōu)化目標(biāo)為COP時(shí)，由上述的LA和N對COP的影響規(guī)律可知，為了獲取最大的COP，LA和N都應(yīng)該選擇值域中的最大值，因此該優(yōu)化結(jié)果不再是一個(gè)范圍而是一個(gè)點(diǎn)。可知該優(yōu)化目標(biāo)為上述優(yōu)化目標(biāo)下的最佳幾何參數(shù)從一個(gè)范圍縮小至一個(gè)點(diǎn)提供了可能。

3.2 多目標(biāo)約束下最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定

基于多目標(biāo)約束的情況，需要提出如圖17所示的多目標(biāo)優(yōu)化的幾何參數(shù)選擇圖。

圖17 多目標(biāo)優(yōu)化的幾何參數(shù)選擇圖Fig.17 Multi-objective optimization of the geometric parameters based on the selecting map

圖17(a)是以制冷量為15 W、制冷片冷端溫度為280 K且COP最大為目標(biāo)時(shí)的制冷片幾何參數(shù)選擇圖。其中虛線四邊形是由制冷量確定的，將需要的制冷量代入程序中，解出所有可能提供所需制冷量的制冷片幾何參數(shù)組合，繪制近似四邊形。實(shí)線四邊形是由制冷片冷端溫度確定的，同理，將要求的冷端溫度輸入程序中，解出所有可能滿足制冷片冷端溫度要求的制冷片幾何參數(shù)組合，繪制近似四邊形。圓點(diǎn)由最大COP確定，由于COP隨著N和LA的增大而增大，因此N和LA值最大的交叉處COP最大，從而確定最節(jié)能的點(diǎn)。該點(diǎn)對應(yīng)的幾何參數(shù)可滿足多目標(biāo)約束要求的最佳制冷片幾何參數(shù)。

根據(jù)與圖17類似的多目標(biāo)優(yōu)化幾何參數(shù)選擇圖能快速判斷制冷片幾何參數(shù)的改變能否滿足制冷量和制冷片冷端溫度的要求。如果以制冷量和制冷片冷端溫度為目標(biāo)的兩個(gè)四邊形沒有交叉區(qū)域(圖17(b))，說明在現(xiàn)有的電壓及制冷片冷熱端散熱條件下，制冷片在制冷溫度(240 K)下無法提供相應(yīng)的制冷量(100 W)。說明在這兩個(gè)目標(biāo)下，無論怎么改變制冷片的幾何參數(shù)，均無法同時(shí)實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的目標(biāo)。采用這樣的設(shè)計(jì)和選型方法，為制冷片結(jié)構(gòu)參數(shù)的改變能否滿足相應(yīng)目標(biāo)提供了一種快速判斷的依據(jù)，也極大地提高設(shè)計(jì)者的設(shè)計(jì)和選型效率。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)的半導(dǎo)體制冷片幾何參數(shù)優(yōu)化研究，都是基于給定制冷片自身的冷熱端溫度，研究其對制冷量和COP的影響，和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用情況難以直接對應(yīng)。本文基于制冷片外部換熱條件固定的情況，不僅以制冷量和COP為優(yōu)化目標(biāo)，還以常被忽略的制冷片冷端溫度為優(yōu)化目標(biāo)，為在換熱熱阻受限制條件下的制冷片進(jìn)行幾何參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。在本文的約束條件下，當(dāng)所需制冷量明確時(shí)，為優(yōu)化COP，幾何參數(shù)的變化導(dǎo)致制冷片冷端溫度發(fā)生變化。同理，當(dāng)所需冷端溫度明確時(shí)，幾何參數(shù)的變化同時(shí)影響制冷量和COP。在實(shí)際應(yīng)用中，如果對制冷量、COP和冷端溫度同時(shí)提出要求，則屬于多目標(biāo)約束下的優(yōu)化要求。

為研究多目標(biāo)約束的優(yōu)化方法，本文分析了在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積的情況下，制冷片幾何參數(shù)分別對制冷量、COP和制冷片冷端溫度的影響，對每個(gè)影響項(xiàng)的物理含義給出詳細(xì)說明。并綜合制冷量、COP和制冷片冷端溫度3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)對制冷片幾何參數(shù)選取范圍的約束特性，提出基于多目標(biāo)優(yōu)化的幾何參數(shù)選擇圖，為今后制冷片幾何參數(shù)的設(shè)計(jì)提供直觀地參考，得到如下結(jié)論：

1) 在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積的情況下，當(dāng)LA和Tc不變時(shí)，Qc隨著N的增大先增大后降低；當(dāng)LA和Qc不變時(shí)，Tc隨著N的增大先降低后增大，COP隨著N的增大而增大。

2) 在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積的情況下，當(dāng)N和Tc不變時(shí)，Qc隨著LA的增大一直降低；當(dāng)N和Qc不變時(shí)，Tc隨著LA的增大先降低后增大，COP隨著LA的增大而增大。

3) 在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積的情況下，針對制冷片有不同的設(shè)計(jì)目標(biāo)時(shí)，得出的結(jié)構(gòu)尺寸范圍不同，但不同目標(biāo)下的結(jié)構(gòu)參數(shù)可能存在交集，這為本文提出多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)構(gòu)選擇圖提供了可能。

4) 在給定換熱條件及制冷片表面積的情況下，通過多目標(biāo)優(yōu)化的幾何參數(shù)選擇圖可以幫助設(shè)計(jì)者判斷多目標(biāo)約束下是否存在制冷片幾何參數(shù)滿足相應(yīng)要求。如果存在，該圖可以幫助設(shè)計(jì)者確定最佳制冷片的幾何參數(shù)，為用戶定制制冷片。其中制冷量和制冷片冷端溫度可以確定幾何參數(shù)的范圍，COP有助于縮小范圍，最終確定最佳的幾何參數(shù)。

符號說明

Ta——制冷片熱端散熱流體溫度，K

To——被冷卻物體的表面溫度，K

Tc——制冷片冷端溫度，K

Th——制冷片熱端溫度，K

ΔT——冷熱端溫差，K

αp——p型半導(dǎo)體的塞貝克系數(shù)，V/K

αn——n型半導(dǎo)體的塞貝克系數(shù)，V/K

αpn——半導(dǎo)體材料的溫差電動(dòng)勢率，V/K

I——電路中電流，A

ρ——p結(jié)和n結(jié)熱電偶的電阻率,(Ω5m)

U——輸入電壓,V

Qw——被冷卻物體的發(fā)熱量,W

Qc——制冷片冷端吸熱量,W

k——p結(jié)和n結(jié)的熱導(dǎo)率,W/(m5K)

S——制冷片表面積,m2

Rc——制冷片冷端吸熱熱阻,K/W

Rh——制冷片熱端散熱熱阻,K/W

LA——p結(jié)和n結(jié)高度與截面積之比,(1/mm)

N——pn結(jié)的對數(shù)

本文受浙江省自然科學(xué)基金(LY17E060002)項(xiàng)目資助。(The project was supported by Natural Science Foundation of Zhejiang Province(No.LY17E060002).)

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