執(zhí)教/錢兆蘭 評(píng)析/劉德宏

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級(jí)下冊(cè)第96～97頁。

【教學(xué)過程】

一、聯(lián)系舊知，引入新課

師：同學(xué)們，圖形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，你知道哪些圖形？

生：三角形、正方形、長方形……

師：大家說到的一些圖形，我們用三角板就可以拼出來（課件逐個(gè)出示三角板拼成的部分實(shí)圖：三角形、長方形、正方形、平行四邊形、四邊形、五邊形……），給我們的三角板越多，拼成的圖形形狀也就越多（課件出示三角板實(shí)物隱退后的抽象圖形）

師：像這些由三條或三條以上的線段首尾相接圍成的平面圖形，它們有一個(gè)共同的名字，叫多邊形。（板書：多邊形）

師：三角形是最簡單的多邊形。

師：在多邊形中我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，你想到什么新問題呢？

生：四邊形、五邊形、六邊形等其他多邊形的內(nèi)角和又分別是多少度呢？

師：問題提得真好!是呀，四邊形、五邊形、六邊形等其他多邊形它們的內(nèi)角和又分別是多少度呢？這當(dāng)中有沒有什么規(guī)律呢？今天這節(jié)課我們一起來研究多邊形的內(nèi)角和。

【評(píng)析：學(xué)生已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，這是本課教學(xué)的知識(shí)生長點(diǎn)，“三角板拼圖形”不僅讓學(xué)生感悟圖形之間的關(guān)系，更順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知自主推理產(chǎn)生疑問，讓學(xué)生從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題開始真正經(jīng)歷規(guī)律的探究過程，并為接下來的“四邊形內(nèi)角和探究”埋下伏筆?！?/p>

二、新課探究

師：我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，下面讓我們從四邊形開始，展開對(duì)多邊形內(nèi)角和的研究。課件上正好有幾個(gè)四邊形，你覺得它們的內(nèi)角和是多少呢？

生：360°。

生：我也覺得是360°。

師：為什么？你是怎樣想的？

生：正方形、長方形是四邊形，四個(gè)角都是直角，4個(gè)90°是360°，那么，我想其他四邊形的內(nèi)角和也是 360°。

生：我的想法和他一樣。

師：我們可以確定正方形、長方形的內(nèi)角和是360°（課件在正方形、長方形四個(gè)內(nèi)角處添加直角符號(hào)），但其他四邊形的內(nèi)角和到底是不是360°呢？讓我們小組合作開始探究。

1.探究活動(dòng)：小組合作探究四邊形的內(nèi)角和是多少，初步感受分割法。

師：請(qǐng)大家以小組為單位，選擇方法來探究“四邊形的內(nèi)角和是不是360°”。

課件出示活動(dòng)要求：①任選一個(gè)四邊形作為研究對(duì)象，標(biāo)出其所有內(nèi)角；②小組商議，確定驗(yàn)證方法后動(dòng)手實(shí)踐；③操作完成后，推選代表準(zhǔn)備發(fā)言交流。

（學(xué)生分組探究活動(dòng)）

師：下面請(qǐng)每個(gè)小組將本組的驗(yàn)證方法與結(jié)論和大家交流。

生：我們組用量角器分別量出4個(gè)角的度數(shù)后相加，發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和是360°。

生：我們參考以前學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和的方法，把四個(gè)角撕下來拼到一起，發(fā)現(xiàn)剛好拼成一個(gè)周角，我們認(rèn)為四邊形內(nèi)角和是360°。

生：我們沒有量也沒有撕，我們小組從剛才用三角板拼圖形得到啟發(fā)，加了一條線把四邊形分成兩個(gè)三角形，再用 180°×2就得出這個(gè)四邊形的內(nèi)角和是 360°了。

師：沒有量也沒有撕，只加一條線，聽起來很簡單，給大家具體說說。

生：（實(shí)物投影）從頂點(diǎn)到相對(duì)頂點(diǎn)連一條線將四邊形分割成兩個(gè)三角形，原來的四個(gè)內(nèi)角被分割成了六個(gè)角，分別在兩個(gè)三角形中，三角形的內(nèi)角和是180°，再用180°×2就求出了四邊形的內(nèi)角和是360°了。

師：“求四邊形的內(nèi)角和”可以轉(zhuǎn)化成“求兩個(gè)三角形的內(nèi)角和”（課件將學(xué)生展示的再逐步呈現(xiàn)），兩個(gè)三角形一共六個(gè)內(nèi)角的和就是四邊形的內(nèi)角和，分割、轉(zhuǎn)換是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)經(jīng)常用到的重要的數(shù)學(xué)方法。

師：有結(jié)果不是360°的嗎?

生：沒有。（若有，關(guān)注方法及測(cè)量誤差）

師：那還有不同證明方法嗎？

生：沒有了。

師：好，我們現(xiàn)在可以確認(rèn)“任意四邊形的內(nèi)角和都是 360°”。

師：量、撕、分割三種方法，你更喜歡哪種方法？

方法優(yōu)化：運(yùn)用“分割法”將多邊形分成幾個(gè)三角形，幾個(gè)三角形的內(nèi)角和就是多邊形內(nèi)角和的方法較簡單。

【評(píng)析：四邊形的內(nèi)角和是探究多邊形內(nèi)角和的第一層面紗，從“自然量”、“ 按需撕”到“嘗試分”求和是重要的思維跨越，給足時(shí)間、空間，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，自主思考，小組合作探究初步感知規(guī)律，滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展思維。】

2.探究活動(dòng)：引導(dǎo)多維思考，自主探究五邊形、六邊形的內(nèi)角和，優(yōu)化分割方法。

師：下面請(qǐng)大家從材料袋中取出老師給大家準(zhǔn)備的五邊形，求出它的內(nèi)角和。

（學(xué)生自主操作，教師巡視）

（匯報(bào)交流）

生：我分割成了3個(gè)三角形（教師引導(dǎo)學(xué)生感受從任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分割），180°×3=540°。

生：老師，我和他不同，我分成了四個(gè)三角形（教師引導(dǎo)學(xué)生感受從邊上任意一點(diǎn)出發(fā)分割），180°×4=720°。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種結(jié)果，有沒有和這兩種都不一樣的了？

生：沒有了。

師：讓我們分別請(qǐng)這兩種結(jié)果的一位同學(xué)作代表，帶著他們的圖展示給大家看一下，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察，說說你的想法。

（投影展示，學(xué)生觀察）

生：我認(rèn)為720°的錯(cuò)了，他多算了角。

生：我也認(rèn)為720°的錯(cuò)了。

師：他多算了哪里的角呢？請(qǐng)學(xué)生上來指一指。

師：是的，他多算了邊上新出現(xiàn)的角，那我們只要再用720°-180°就可以得出五邊形的內(nèi)角和是540°。

師：分法不同，角的變化情況就不同，要仔細(xì)靈活處理。

師：老師剛剛還看到有同學(xué)這樣（課件或投影，教師引導(dǎo)學(xué)生感受從圖形中間任一點(diǎn)到多邊形頂點(diǎn)連線分割）將多邊形分成了幾個(gè)三角形，你們看，又該怎樣處理呢？

生：他這樣分成5個(gè)三角形也可以，但中間多出了一個(gè)周角，要用 180°×5-360°=540°。

生：對(duì)，把中間多出來的角減掉。

師：分法不止一種，請(qǐng)仔細(xì)觀察“從任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分割”、“ 從邊上任意一點(diǎn)出發(fā)分割”、“從圖形中間任一點(diǎn)到多邊形頂點(diǎn)連線分割”這三種分法，他們分別分了幾次？五邊形被分成了幾個(gè)三角形？你覺得哪一種分法在算五邊形內(nèi)角和時(shí)更方便？（課件出示）

明確：從五邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別與它不相鄰的所有頂點(diǎn)（2個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)）連線分最方便（不會(huì)產(chǎn)生新的角，只是將原來多邊形的內(nèi)角進(jìn)行了分割）。

師：請(qǐng)你分一分，求出六邊形的內(nèi)角和。

（學(xué)生自主連線分割，求六邊形的內(nèi)角和）

匯報(bào)交流并明確：

（課件出示）從六邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別與它不相鄰的3個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)連線，將六邊形分割成4個(gè)三角形，則六邊形的內(nèi)角和是180°×4=720°。

【評(píng)析：揭開四邊形的內(nèi)角和這第一層面紗后，鼓勵(lì)學(xué)生自主遷移，從“任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分割”、“邊上任意一點(diǎn)出發(fā)分割”、“圖形中間任一點(diǎn)出發(fā)分割”這三種分割角度重點(diǎn)對(duì)五邊形的內(nèi)角和展開多維立體探究，進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)思想?！?/p>

3.探究活動(dòng)：探究其他多邊形的內(nèi)角和，嘗試發(fā)現(xiàn)規(guī)律并小結(jié)明確。

師：讓我們繼續(xù)探究其他多邊形的內(nèi)角和。請(qǐng)同學(xué)們從材料袋中選一個(gè)或自己畫一個(gè)多邊形（六邊形以上、小組內(nèi)爭(zhēng)取不同圖形），求出它的內(nèi)角和，并小組填寫“表格一”。

（學(xué)生自主探究填寫）

匯報(bào)交流：（板書）

七邊形 180°×5=900°

八邊形 180°×6=1080°

……

師：大家通過分割又快又好地求出了這些多邊形的內(nèi)角和。接下來請(qǐng)大家再算算五十邊形的內(nèi)角和。

（學(xué)生動(dòng)手畫，又放棄）

師：大家怎么不動(dòng)手了？

生：邊數(shù)太多，不好畫、分。

師：看來，碰上邊數(shù)較多的圖形，分割后算不是最好的方法，我們有必要來找找規(guī)律。請(qǐng)大家借助板書，小組完善“表格二”的填寫（課件出示“表格二”）。

（學(xué)生小組填寫表格）

集體交流，完善課件表格填寫。

?

師：請(qǐng)大家仔細(xì)觀察表格中相關(guān)數(shù)據(jù),看看能發(fā)現(xiàn)什么,在小組里說一說。

（學(xué)生觀察，小組交流）

集體匯報(bào)交流：

（1）多邊形的內(nèi)角和與多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)。

n邊形n個(gè)頂點(diǎn)，任意一個(gè)頂點(diǎn)有（n-3）個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)，分（n-3）次，分成（n-3+1）個(gè)三角形，n邊形內(nèi)角和為（n-3+1）×180°。

（2）多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)有關(guān)。

n邊形n條邊，分成（n-2）個(gè)三角形，多邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°。

4.立體切換，多維溝通。

師：用乘法分配律將多邊形的內(nèi)角和公式變一變，（邊數(shù)-2）×180°=邊數(shù)×180°-2×180°=邊數(shù)×180°-360°（課件出示四邊形分割圖），你又有什么新發(fā)現(xiàn)？

說明：“從多邊形中間任一點(diǎn)出發(fā)分割”比“從多邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分割”總是多出一個(gè)周角，只要“邊數(shù)×180°-360°”即可求出多邊形的內(nèi)角和?！皬亩噙呅芜吷先我庖稽c(diǎn)出發(fā)分割”，只要“（邊數(shù)-1）×180°-180°”即可，（邊數(shù)-1）×180°-180°=邊數(shù)×180°-360°

【評(píng)析：把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知矛盾，激發(fā)規(guī)律探索需求，引領(lǐng)學(xué)生自發(fā)、自主探究規(guī)律，提升觀察、比較、歸納等多項(xiàng)能力?！?/p>

三、規(guī)律應(yīng)用

師：現(xiàn)在你能求出五十邊形的內(nèi)角和嗎？

生：（50-2）×180°=8640°。

師：n邊形呢？

生：（n-2）×180°。

師：一個(gè)多邊形內(nèi)角和是1080°，你知道它是幾邊形嗎？

生：1080°÷180°+2=8，八邊形。

【評(píng)析：應(yīng)用拓展，幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)規(guī)律，培養(yǎng)運(yùn)用意識(shí)及解決問題意識(shí)，提升解決問題的能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。】

四、回顧感悟探究過程，文化鏈接

1.回顧感悟探究過程。

師：我們是怎樣探索發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和規(guī)律的？

師：回顧探究過程，你有什么收獲？

2.數(shù)學(xué)文化介紹。

（課件出示“古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯、歐幾里得等人多邊形內(nèi)角和的探索歷程”簡介）

【評(píng)析：引領(lǐng)學(xué)生從知識(shí)探究過程本身、探究方法及數(shù)學(xué)思想等多個(gè)不同層面回顧感悟，再一次讓學(xué)生經(jīng)歷探究規(guī)律活動(dòng)的全過程，感悟規(guī)律探究的一般方法，提升素養(yǎng)并增加文化積累?！?/p>

五、總結(jié)提升

師：回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

（引導(dǎo)學(xué)生多角度說，相機(jī)小結(jié)提升）

師：我們的收獲不該止于某個(gè)規(guī)律、公式，掌握探究學(xué)習(xí)新知、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法將會(huì)使我們受益終生。

【評(píng)析：引領(lǐng)學(xué)生多角度對(duì)整節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)行回顧小結(jié)，培養(yǎng)反思總結(jié)能力，從重知識(shí)、規(guī)律的理解記憶轉(zhuǎn)變?yōu)橹匾?guī)律探究方法的感悟?！?/p>