姜紅梅

摘 要：組織課題學(xué)習(xí)研討活動(dòng)能促進(jìn)教師深入反思教法，強(qiáng)化對(duì)專業(yè)知識(shí)的領(lǐng)悟。數(shù)學(xué)課題活動(dòng)能有效引導(dǎo)師生共同思考如何建立高度概括并揭示本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型；突破思維難點(diǎn)、提升思維水平；解決實(shí)際問(wèn)題，積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：初中課題；模型；素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2018）11-0034-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）中將初中階段的課程內(nèi)容分為：“數(shù)與代數(shù)” “圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四部分，其中“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容的設(shè)置目的在于訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)與方法解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。人教版教科書在每章后面設(shè)置了一項(xiàng)內(nèi)容——“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，但在實(shí)際教學(xué)中一些老師對(duì)這部分內(nèi)容不夠重視，經(jīng)常忽略“數(shù)學(xué)活動(dòng)”及“課題學(xué)習(xí)”等內(nèi)容對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的升華功能，使得此部分授課環(huán)節(jié)處理得比較草率。筆者就“如何開展數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)”主題以同課異構(gòu)和評(píng)課研討的形式，對(duì)人教版八年級(jí)上冊(cè)“13.4課題學(xué)習(xí)——最短路徑問(wèn)題”進(jìn)行了較細(xì)致的探究，并將幾點(diǎn)反思整理出來(lái)，以期得到同行的指正。

思考一：如何建立數(shù)學(xué)模型？

問(wèn)題一（將軍飲馬問(wèn)題）：相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程來(lái)拜訪海倫，求教一個(gè)他百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A城堡出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后回到B城堡，問(wèn)到河邊的什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

抽象過(guò)程：兩個(gè)城堡是兩個(gè)位置，所以抽象成點(diǎn)A和點(diǎn)B ，筆直的河岸抽象成直線l。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如圖1，點(diǎn)A， B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，PA+PB最?。?/p>

問(wèn)題二（造橋選址問(wèn)題）：如圖2，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

教材中的抽象過(guò)程體現(xiàn)得非常好，可以直接用。A和B兩地在一條河的兩岸，已經(jīng)抽象為兩點(diǎn)，把河的兩岸看成一對(duì)平行線a和b，橋MN是垂直于兩條平行線的，問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橹恍杞鉀Q：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最小？

實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要體現(xiàn)抽象過(guò)程，數(shù)學(xué)抽象是舍去物理屬性從而得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的學(xué)科素養(yǎng)。就本例而言，某個(gè)位置用點(diǎn)表示，筆直的河岸、公路等用直線表示，有一定寬度的河流用一組平行線表示等；抽象思維要返回原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題，明確事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么，進(jìn)而以數(shù)學(xué)模型概括表示，從而高效地運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題。

思考二：如何突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)？怎樣在課題學(xué)習(xí)中提高思維能力？

如本節(jié)課的難點(diǎn)在于，利用對(duì)稱和平移的方法解決問(wèn)題，以及證明線段和最小。

1.為什么作對(duì)稱點(diǎn)？怎么想到作對(duì)稱點(diǎn)的方法？

如圖3，不改變距離和PA+PB的情況下，如何將直線同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化成異側(cè)的兩點(diǎn)，不妨將點(diǎn)B固定，即不改變PB，將點(diǎn)A進(jìn)行處理，即對(duì)PA進(jìn)行等量代換，得到PA′——以點(diǎn)P為圓心，以PA為半徑的圓上各點(diǎn)到點(diǎn)P的距離都等于PA，是不是圓上任意一點(diǎn)都可以是A′，當(dāng)然不行！為什么不行？因?yàn)闊o(wú)論點(diǎn)P在直線l上的哪個(gè)位置，必須始終保證PA′=PA。

在教學(xué)中有些教師處理這個(gè)問(wèn)題的方法是讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，再找一個(gè)會(huì)做的（或提前預(yù)習(xí)過(guò)的）學(xué)生展示自己的作法，然后教師就可以對(duì)此進(jìn)行后續(xù)的證明。是的，作對(duì)稱點(diǎn)之后解決了線段和最小的問(wèn)題，但關(guān)鍵是怎么想到作對(duì)稱點(diǎn)的呢？筆者曾就這個(gè)問(wèn)題與其他教師進(jìn)行過(guò)討論，最后可將問(wèn)題總結(jié)為“在點(diǎn)A和直線l的位置確定的條件下，在直線l的另一側(cè)確定一點(diǎn)A′，使得對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P，都有PA′=PA″。如圖4，對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P，都有PA′=PA，從而確定最后解決方案為：作點(diǎn)A的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′。

2.如何證明線段和最?。?/p>

在以往的教學(xué)過(guò)程中鮮見證明線段和最小的例子，缺乏解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，因此，應(yīng)該讓學(xué)生有個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程?？梢栽谥本€l上先任選一點(diǎn)P′，連接P′A，P′B，通過(guò)測(cè)量等方法驗(yàn)證PA+PB

以上過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了由淺入深的認(rèn)識(shí)過(guò)程，經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、歸納、推理的過(guò)程，先有實(shí)驗(yàn)歸納，再有推理論證，將實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何有機(jī)結(jié)合，推理論證在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力方面起著重要作用，而幾何實(shí)驗(yàn)則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效途徑，在培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維和創(chuàng)造性思維方面起著很大作用。最后進(jìn)行方法歸納：遇到類似的最值問(wèn)題都可以這樣處理。

3.分別作點(diǎn)A、B的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，得到的點(diǎn)P位置是相同的嗎？

在教學(xué)中，一般是作點(diǎn)A的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。若有學(xué)生作點(diǎn)B的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。老師會(huì)說(shuō)都對(duì)，這樣作出來(lái)的點(diǎn)P位置是相同的。為什么相同？沒(méi)有人問(wèn)，也沒(méi)人解釋，就這樣過(guò)去了。

重新審視一下這個(gè)問(wèn)題：如圖5，先作點(diǎn)A的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P。再證明作點(diǎn)B的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。這相當(dāng)于一個(gè)三點(diǎn)共線的問(wèn)題。

證明思路1：作點(diǎn)B的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接PB′，

∵點(diǎn)A，點(diǎn)A′關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)B，點(diǎn)B′關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴∠APC=∠A′PC

∠BPD=∠B′PD

∵∠A′PC=∠BPD

∴∠APC=∠B′PD

∵∠APC+∠APC=180°

∴∠B′PD+∠APC=180°

即A，P， B′在同一條直線上.

證明思路2：延長(zhǎng)AP到B′，使PB′=PB，易證∠BPD=∠B′PD，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，證出點(diǎn)B，點(diǎn)B′關(guān)于直線l對(duì)稱。

以上兩種方法中，簡(jiǎn)單地說(shuō)，思路1是作B與B′對(duì)稱，證A，P，B′三點(diǎn)共線；思路2是作A，P，B ′三點(diǎn)共線，證B與B ′對(duì)稱。這個(gè)一題多解問(wèn)題還是值得帶領(lǐng)學(xué)生研究的.

4.思維拓展

題1：如圖6，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使∠APC=∠BPD.

光行最速原理：光線所行進(jìn)的“光程”最短。光線行進(jìn)時(shí)入射角等于反射角，光行進(jìn)的時(shí)間最短。由于在同一媒介中傳播，即光線行進(jìn)的路程最短。這是物理學(xué)科的一個(gè)原理，其證明過(guò)程就是“將軍飲馬問(wèn)題”的證明過(guò)程，可見數(shù)學(xué)學(xué)科是基礎(chǔ)性的學(xué)科，也體現(xiàn)了學(xué)科之間的聯(lián)系。

題2：如圖7，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫出最短路徑。

這是將“將軍飲馬問(wèn)題”中的一條直線換成了兩條直線，解決問(wèn)題的思路與原問(wèn)題類似，只是需要作兩次軸對(duì)稱變換。

題3：如圖8，已知A（1，-1），B（6，-3），點(diǎn)M，N在x軸上且MN=2，求AMNB的最短路徑.

這是將問(wèn)題放在了坐標(biāo)系中，通過(guò)坐標(biāo)系確定了已知點(diǎn)和已知直線的位置，便于計(jì)算線段長(zhǎng)。但是解決問(wèn)題的方法與前面的“造橋選址問(wèn)題”類似，通過(guò)平移和軸對(duì)稱變換將問(wèn)題解決。

以上問(wèn)題是對(duì)教科書上兩個(gè)典型問(wèn)題的運(yùn)用和鞏固，都是通過(guò)軸對(duì)稱和平移等變換，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的問(wèn)題，滲透了化歸思想。

……

在進(jìn)行這樣的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師是不是應(yīng)該對(duì)問(wèn)題有個(gè)全面的清晰的認(rèn)識(shí)？設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)或進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，給學(xué)生充分的時(shí)間，讓學(xué)生有自己的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)，找出研究問(wèn)題的方法，進(jìn)而進(jìn)行思考和行動(dòng)。

思考三：數(shù)學(xué)活動(dòng)和課題學(xué)習(xí)到底要學(xué)生學(xué)會(huì)什么？

“數(shù)與代數(shù)” “圖形與幾何” “統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容，師生都很重視，教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)目標(biāo)都比較清晰；而作為“綜合與實(shí)踐”部分的數(shù)學(xué)活動(dòng)和課題學(xué)習(xí)等相關(guān)內(nèi)容，在實(shí)際教學(xué)中處理時(shí)，教學(xué)目標(biāo)不是很清晰。

以三角形一章后面的數(shù)學(xué)活動(dòng)“鑲嵌”為例來(lái)說(shuō)，解決問(wèn)題要用到多邊形的內(nèi)角和公式，通過(guò)這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生可以經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，綜合應(yīng)用已有知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，從而加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，提高思維能力。

這個(gè)活動(dòng)可按照三個(gè)層次的實(shí)驗(yàn)來(lái)設(shè)計(jì)：1.只用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，發(fā)現(xiàn)正三角形、正方形、正六邊形可以，正五邊形和其它正多邊形不行；2.只用兩種正多邊形進(jìn)行鑲嵌；3.只用一種任意形狀的三角形、四邊形、五邊形……進(jìn)行鑲嵌。記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果、觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果、解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果，一方面使所學(xué)內(nèi)容（多邊形的內(nèi)角和公式）得到鞏固和運(yùn)用，更重要的是在這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生學(xué)會(huì)了研究問(wèn)題的方法，思維能力得到很好的發(fā)展。表面上看，數(shù)學(xué)活動(dòng)是對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的鞏固和運(yùn)用，可是從深層次來(lái)思考，它的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不僅于此。

《課標(biāo)》中強(qiáng)調(diào)：積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，應(yīng)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)課程之中?！熬C合與實(shí)踐”是實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的重要和有效的載體?！熬C合與實(shí)踐”的教學(xué)，重在實(shí)踐、重在綜合。重在實(shí)踐是指在活動(dòng)中，注重學(xué)生自主參與、全過(guò)程參與，重視學(xué)生積極動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口；重在綜合是指在活動(dòng)中，注重?cái)?shù)學(xué)與生活實(shí)際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)系和綜合應(yīng)用。在日常備課時(shí)多思考，學(xué)生認(rèn)識(shí)事物需要一個(gè)過(guò)程，在一些教師認(rèn)為簡(jiǎn)單的地方，不要想當(dāng)然地以為學(xué)生也都明白。多問(wèn)幾個(gè)“為什么”，思考知識(shí)、方法背后隱藏的能力、素養(yǎng)等，才能真正落實(shí)《課標(biāo)》的要求。