石宇

摘要：初中數學課堂上，思維訓練應成為重點。只有培養(yǎng)出學生良好的思維能力，才有助于后期發(fā)展。思維訓練的前提是要求教師具備有效的提問能力，可以通過提問題開拓學生的思維空間；思維訓練的成果是通過學生課堂上的發(fā)言直觀呈現、課后習題完成間接呈現；思維訓練的方式是提升學生構建模型、深層剖析、歸納概括的能力。這些內容需要教師給學生留有思考空間，改變傳統(tǒng)的講授方式，而且有設計地訓練學生的思維能力，借此更有效地達成知識的接受能力。

關鍵詞：數學；思維；發(fā)言；訓練

一、引言

在數學課堂中，如果有教無方，學生無法體會知識的內涵。而這個“方”，包含一個重要的內容——數學思維培養(yǎng)。教師如何利用有限的課堂時間，培養(yǎng)學生的思維能力，成為重中之重。本文結合數學課堂中的案例，探究培養(yǎng)學生數學思維的方法。

二、前提——提問的藝術

思維是需要發(fā)散的，正如外語單詞都是由詞根衍生而來的，只需要記住詞根，便可以分析出任意一個單詞的含義。只要教師為學生提供思維發(fā)散的問題平臺，便可以訓練學生的數學思維能力。“四問”就是要求教師提出四類有效的問題，并給予學生足夠的思考時間，這樣便可以達成思維訓練的目標。

1.生成性問題

目前數學課堂采用學案教學法，在學案上給出學生本節(jié)課需要掌握的知識、完成的過程、練習的題目等內容，這些問題含有確定的答案，試圖讓學生去猜測結果，學生思維沒有得到訓練，只是簡單地應用所學知識。而生成性的問題，是“不給出，留空間”。

例如，在《函數的圖象》一課中，需要訓練學生分析圖象的能力、解答問題的能力。原有的學案中給出一個函數圖象，8個從淺入深的問題，讓學生逐一解答。在第一個班級中，學生10分鐘內就寫出了答案，但同時出現以下問題：

（1）在解答第二道相似例題時，不會進行舉一反三，又耗費一段時間去重新思考解答；

（2）在課后作業(yè)完成中，沒有掌握有效的分析函數圖象的方法，完全利用舊知識進行解答。

經過調整，第二個班級的學案中只給出一個圖象，給學生的問題是：你能根據圖象提出哪些問題？課堂將20分鐘主動權交給學生，共有30多名學生進行不同的提問并逐一解答，范圍和難度都遠遠超過設定的8個問題。緊接著給出第二道例題，學生游刃有余地快速解決。

第二種具有生成性的問題，給學生很大的思維空間，但這種發(fā)散式的教學方式對教師是一個挑戰(zhàn)。第一，課前需要預設出學生必須掌握的知識并進行合理分類，課上引導其挖掘出未思考到的內容。第二，課上需要給學生留有足夠的思考時間，通過提出問題的順序，把握學生思維過程，由淺入深的教學過程需要的時間也是遞增的。但這也是一種變相的高效課堂，看似耗費時間研究一個問題，但是卻可以從中解決多種問題。

2.建設性問題

這類問題是在數學課堂中最常見的，例如給出情境的問題、需要猜想結論的問題等，一般出現在壓軸題中。但這類問題在課堂上出現時，有時為了節(jié)約課堂時間，教師往往會急于引導學生走到自己的解決方式中而加以提示，這樣就完全喪失了問題的建設性。真正建設性問題的原則，是“只拋出，不插手”。

在課堂結尾部分，會針對所學內容進行復習鞏固，有時考慮到學習能力的差異性，還會為尖子生擬定附加題，目的在于檢驗學生是否通過新知掌握思考能力。如果教師可以將這兩類問題進行階梯式地融合，轉變?yōu)榻ㄔO性問題，就可以幫助學生既完成本節(jié)課的學習目標，也幫助他們把握關鍵的問題和提高解決問題的能力。

例如，在研究距離與時間的函數圖象時，教師要求學生觀察圖象說出小明在做什么運動，然后說出運動的全過程，于是學生給出以下描述：小明一直在向前走、中途停止運動、后期走得比前期快等。之后，教師要求學生解釋原因：“僅憑觀察你知道他運動得快慢嗎？”“你不能確定的是哪個階段？”“如何說明他的行走方向？”表面上看，這些問題很好解決，可一旦學生想深入探究教師提問的原因，就會發(fā)現問題很難回答。假如不提這些問題，學生學習不到其中的思考方式。

3.追問性問題

數學考試是要求學生針對解決一個問題即可。但數學課堂，需要讓學生具備觸類旁通的能力，因而教師必須通過有限的題目進行演變。追問性問題的原則，是“求深入，達目標”。

“你為什么這么認為？”應該成為教師與學生最常用的互動方式。教師針對題目中的問題，追問學生思考的切入點、解決的方式、答題的思路、考察的知識點等，要求學生有順序的分析問題，并可以刨根問底地挖掘出隱含問題。教師可以通過追問的方式，強化學生不斷探究的能力，讓學生通過不斷地思考，深刻地理解數學本質內容。

4.轉化性問題

數學課堂的主體由教師轉變?yōu)閷W生，傾聽學生的回應將成為提高思維能力的最大助力。這個過程中，教師可以重新定位所要提出的問題。轉化性問題的原則，就是“重傾聽，尋思考”。

當教師一味地以需要完成教學任務為目的而提出問題時，很多學生已經不會思考了，只會猜測教師要的答案。在課堂上，教師真正要傾聽的是學生提出的問題、說出的思路等。因此從傾聽學生的每一句話人手，抓住他的思考過程，有時只需要教師一個點睛之筆，就可以順利打通學生的“任督二脈”。

三、方式——思維的訓練

1.集思廣益——構建數學模型

初中數學接觸到的題型非常有限，而且題目都可以模型化。如果學生在做題過程中，可以在腦海中構建出所需要的數學模型，并找到這一類題型的處理方式，就可以產生相應的思維方式，可以“直覺”地處理問題。

例如，在處理函數圖象的問題時，最基本的模型就是平面直角坐標系與一條線之間的關系，而整個平面直角坐標系的本質就是由兩個軸和無數個點組成，因此只需關注兩者之間的交集——所有的折點。如果問題加深到兩條線，只需再額外關注兩條線之間的交點。這種數學思維的整理，便是從不同的題目中吸收關鍵，構建數學模型。

2.深思熟慮——分析深層含義

學生需要學會自己分析題目背后的深層含義，這樣才能在應對不同問題時做到舉一反三。

例如2005年長春市中考數學選擇題：十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當你抬頭看信號燈時，求黃燈的概率。熟悉生活的學生，從數學思維角度加以分析，就可以順利解決。同時在這個背景下，還可以挖掘出相似類型題，從數據分析角度出發(fā)可以求出相應概率，從圖表分析角度思考可以得出條形統(tǒng)計圖。

3.思前想后——歸納知識網絡

在數學課本每個章節(jié)最后的復習部分，會列出一個知識框架圖。教師在課堂上與學生共同分析每步相互連結的原因，但是如果讓學生自己列框架圖，他們會強行回憶書中的寫法，造成思路混亂。

所以，在我的復習課堂上，會嘗試讓學生自己寫出本章所有的知識點、需要掌握的題型、自己的額外思考等，然后將這些內容按照自己喜歡的方式進行排序、分類，在互相分享的過程中進行補充。這種效果遠超越記憶方式，雖需要進行長時間訓練，但卻遵循每個人的思維方式，因而印象深刻。

四、產物——精妙的表達

思維是不可以被具體描述的，因此教師需通過學生的表達，獲取學生的思維方式。這里提到“表達”的意義，絕不僅僅是從學生發(fā)言中獲取。初中學生在課堂上的發(fā)言程度有很大差異，要分析學生特點，才能有效地接收到每個學生不同方式的“表達效果”，這就是表達的精妙之處?！岸浴保褪菑膬煞N不同的發(fā)言發(fā)式，分析出學生的思考過程。

1.言之有物——發(fā)言傳遞所想

課堂中最直接的表達方式——發(fā)言。范仲淹曾說：“寧鳴而死，不默而生?！睂W生的表達能力越強，越能展現出他面對問題時的思考能力。結合數學課堂上對學生的觀察，發(fā)言大致可分為三種。

第一種，例如楊同學“想到什么就說什么”。這種方式有助于教師最直接地把握學生的思維過程，弊端是學生因為考慮不全面而出現偏差，同時會造成對其他學生的思路干擾。

第二種，例如劉同學“明確答案表達不清”。這種方式有助于教師幫助學生訓練表達能力，但如果教師給予學生時間的不夠充足，就會打消學生的積極性。而這種表達欲望是需要教師保護的。

第三種，例如田同學“謹慎思考，而后表達”。這種方式有助于學生獲得肯定，但會錯過表達的最佳時機，而無法在課堂上與老師有效交流。

這三種發(fā)言方式都值得肯定，可以互相取長補短，證明若想得到思維訓練，需要在一定時間的基礎上，提高學生對課堂的參與性、思考的獨立性和對問題的理解能力，這樣才能使學生通過發(fā)言傳遞自己的所想。

2.言之有理——思考傳遞所思

還有一部分同學，課堂上幾乎不發(fā)言，教師如果想了解他們，可以通過后期的答題過程，關注到學生對于問題的思考結果。這種方式不如發(fā)言直接，更需要教師關注學生的后期反饋。

發(fā)言不是完成任務，因而不發(fā)言的學生也可以通過教師的引導加以思考，可以通過眼神與老師有效交流，傳達出思考的結果。

五、升華——思維的靈動

數學思維需要通過訓練形成，同時也需要靈動的思考過程。通過關注學生靈動的思考過程，繼而為接下來的教學做好準備。死記硬背在面對數學創(chuàng)新題型時就顯得手足無措。初中數學中，最重要的一部分是幾何學習，特別是動點題。如何將文字題干轉化為圖形，將圖形信息轉化為結論，成為學生需要重點掌握的內容，也正是體現數學思維訓練成果的關鍵部分。

這里需要學生具備空間想象能力，在腦海中可以構建出圖形的變化趨勢。同時需要學生有數學直覺思維，根據直觀想象，大膽地猜測相應結論；還需要學生從猜想人手，通過嚴謹的思考、完整的理論依據得出結論。整個過程，需要在數學課堂上對學生加以合理的思維訓練。

思維的訓練從開始的無從下手，到大膽放手。學生的大腦不是一臺機器，因此學生的思維是不可復制的，不可以將教師的思維模式強加給學生，而需要通過關注每個學生的思維特點，幫助學生找尋到自己的思維方式。

數學思維需要逐漸形成，掌握提問的藝術、訓練的方式，關注表達的內容，引導思維的靈動，這對教師提出了更高的要求。學會通過神奇的雙手去加以引導，給數學一點時間，這樣一定可以培養(yǎng)出靈動的數學思維。