☉浙江省寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院 楚秉晶

一、緣從何起

中考專題復習是初中數(shù)學總復習中非常重要的一環(huán).主要是通過復習整合數(shù)學知識，以問題為載體，以思想方法為主線，以發(fā)展學生的數(shù)學思維為目的，對知識和方法的內(nèi)在聯(lián)系進行橫向網(wǎng)構，對蘊含的數(shù)學思想進行縱向剖析.近年來，基本圖形的教學與滲透越來越受到廣大數(shù)學教師的關注.如何在中考復習中，既能抓住主干知識，提煉和總結新方法，又能滲透基本思想，提高學生的思維能力和數(shù)學素養(yǎng)呢？前不久，筆者有幸在區(qū)內(nèi)開設了一節(jié)中考專題復習展示課，備課時對這節(jié)課的定位是一節(jié)九年級專題復習課，課題為“當完美正方形‘邂逅’特殊45°角”.本節(jié)課的立意是用問題驅動學生探究正方形的半角模型，在教材的基礎上適當提升高度，促進學生在數(shù)學學習上的發(fā)展.現(xiàn)將本節(jié)課的教學片段和課后反思整理出來，與同仁分享.

二、教學片段展示及復習效能分析

1.初探嘗試，構建模型.

師：正方形是所有四邊形中最特殊、最完美的，請同學們回顧一下，正方形都有哪些性質？

生1：正方形四條邊相等，四個角相等，兩條對角線相等且互相平分.

圖1

圖2

師：很好，這位同學分別從邊、角、對角線三方面回顧了正方形的性質.當如此完美的正方形“邂逅”了特殊的45°角時又會產(chǎn)生怎樣的結論呢？將三角板中的45°角的頂點與正方形的頂點A重合，將角的一邊與正方形的一邊AB重合（特殊位置），再旋轉到一般位置（動畫演示），如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若∠EAF=45°，則EF、DF、BE之間存在怎樣的數(shù)量關系？

生2：我通過度量發(fā)現(xiàn)EF=DF+BE.師：你們能證明一下這個猜想嗎？

生3：如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADE′，此時點B與點D重合.由∠B+∠D=180°，得E′、D、C三點共線.易得∠EAF=∠E′AF，由SAS可證得△AEF≌△AE′F，則EF=E′F=DF+BE.

師：很好，你的條理非常清楚，通過旋轉我們可以將分散的線段和角拼到一起.這里90°所夾的∠EAF恰好是它的一半，我們把這個模型稱作正方形的半角模型.

小組合作交流討論，得出正方形半角模型的條件是組成大角的兩條線段相等，并且大角與半角具有公共頂點.該模型的結論是EF=BE+DF.

【復習效能分析】本環(huán)節(jié)設問面向全體學生，起點低，步子小，能夠激活學生已有的知識積淀，讓每個學生都能夠獲得成功的體驗.學生經(jīng)歷了基本圖形呈現(xiàn)、大膽猜測、操作測量（合情推理）、證明驗證（演繹推理）、數(shù)學思想方法提煉的數(shù)學學習過程.整個過程以學定教、以教促學，一氣呵成，奠定了本節(jié)課的正方形半角模型，同時為后續(xù)學習作了很好的鋪墊.

2.牛刀小試，初識模型.

圖3師：如圖3，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若∠EAF=45°，AB=12，BE=6，求EF的長.

生4：設EF=x，則DF=x－6，F(xiàn)C=18－x.

在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2.

則（18－x）2+62=x2.

解得x=10，即EF=10.

師：應用EF=DF+BE這一結論，再結合勾股定理，我們能很快求解出EF的長.除此之外，你還能求出什么？

圖3

生5：能求出DF、AF、AE等所有的線段長.

師：除了線段長，你還能求出什么？

生6：這里的線段長是定值，也就是三角形形狀確定了，所以還可以求出這里所有的角度，比如∠AFE.

師：你觀察得很仔細，雖然這里的角度不是我們常見的30°、45°、60°等特殊角，但它們的三角函數(shù)值可求，請你們求一下∠AFE的正切值.

生7：由前面的證明我們知道，∠AFE=∠AFD，則

師：通過分析我們知道這個圖形中所有的線段長和角度都可求，除此之外還能求解什么？

生8：還可以求出三角形的面積，例如△AEF的面積.

師：你的想法很大膽，選擇了一個最有挑戰(zhàn)性的三角形，你能求出它的面積嗎？

生

師：噢，這里線段長可求，從而其余三個三角形和正方形面積可求，我們可以利用大正方形的面積減三個三角形的面積進行求解.

生9：他的方法太麻煩，還可以過點A作AH⊥EF，垂足為F（如圖4）.

∠AFE=∠AFD，AH⊥EF，AD⊥DF，則由角平分線上的點到角的兩邊距離相等得AD=AH=12，

則

師：太棒了，通過生9的求解我們得到了一個非常重要的結論，點A到EF的距離等于正方形的邊長.

圖4

圖5

變式練習：如圖5，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC上的點，若∠EAD=45°，AB=BC=12，BE=6，求DE的長.

學生將直角梯形補全成正方形半角模型后，問題迎刃而解.

【復習效能分析】本環(huán)節(jié)以基本圖形為背景，從線段、角度、面積等多個方面進行挖掘，考查正方形、三角函數(shù)、角平分線性質定理、勾股定理、一元二次方程的解法等知識.巧用開放性問題，打開學生的“話匣子”，讓學生再次對正方形半角模型隱含的結論有了更深入的了解.

3.逆向運用，運用模型.

師：如圖6，△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，BD=6，CD=4，求S△ABC.

圖6

圖7

生10：如圖7，分別作△ABD和△ACD關于AB、AC的軸對稱圖形△ABE和△ACF，延長EB、FC交于點G.

易得∠EAF=2∠BAC=90°.

又∠E=∠F=90°，則四邊形AEGF為矩形.

又AE=AF，則矩形AEGF為正方形.

設AD=x，則BG=x－6，CG=x－4.

在Rt△BCG中，BG2+CG2=BC2.

則（x－6）2+（x－4）2=102.解得x=12或x=－2（舍），即AD=12.

【復習效能分析】基本圖形的掌握不僅僅只是停留在順向思維的層面，還需要逆向思維的靈活貫通.本題是由正方形的半角模型演變而來的，從圖3的開放探究中不難看出，四邊形AEGF的形狀 （正方形）依賴于△ABC（含45°角的銳角三角形）的形狀，正方形的邊長就等于△ABC的邊BC上的高AD，這正是解決本題的一個“有用特征”［1］，再靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，補全正方形的半角模型，進行巧妙解答.

4.抽繭剝絲，提煉模型.

師：如圖8，已知點A是反比例函數(shù)的圖像上一點，將OA繞原點O逆時針旋轉45°，恰好與反比例函數(shù)圖像上的點B重合，求點A的橫坐標.

圖8

圖9

生11：如圖9，反比例函數(shù)圖像關于直線y=x對稱，以O為圓心、OA為半徑的圓也關于直線y=x對稱，所以A、B關于直線y=x對稱.

過點A作x軸的垂線，垂足為C.

過點B作y軸的垂線，垂足為E.

CA和EB交于點F.

設

由AB=BE+AC，得

則a2=1.

又a＞0，則a=1.

圖10

圖11

師：（2017麗水）如圖10，在平面直角坐標系中，直線y=－x+m分別交x軸、y軸于A、B兩點，已知點C（2，0）.點P為線段OB的中點，連接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，求m的值.

生12：如圖11，過點P作PD⊥BO交AB于D，過點D作DE⊥AO于E，連接CG.

易證△PDG≌△AEG.

則

在Rt△CGE中，GE2+CE2=CG2.

則（

解得m=12或m=0（舍）.

生13：也可作如圖12所示的輔助線，類似于圖11的解法列方程求解.

圖12

【復習效能分析】初看本題，與正方形旋轉基本模型無關，但傾斜45°角暴露了其“行蹤”.解題時首先要會“讀題”，讓條件在大腦中有個整體認識.本環(huán)節(jié)例題的綜合性很強，對學生的思維能力、探究能力、分析問題和解決問題的能力都有較高的要求.需要學生挖掘隱含條件，抽繭剝絲，提煉正方形半角模型.正方形半角模型出現(xiàn)的范圍很廣，能把眾多的平面幾何知識融合在一起，結論比較開放，變式較多，但不管以怎樣的形態(tài)呈現(xiàn)，利用圖形變換思想進行邊或角的轉化得出三條關鍵線段之間的數(shù)量關系，是解決這類問題的關鍵所在［2］.

5.縱向延伸，跳出模型.

師：（改變條件∠EAF=45°）如圖13，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，點E、F分別是線段BC、CD上的動點，且∠DAB=60°，∠EAF=30°，結論EF=DF+BE是否成立？

師：（弱化一個條件，∠EAF為任意角）如圖14，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，點E、F分別是線段BC、CD上的動點，結論EF=DF+BE是否成立？

師：（弱化兩個條件，∠B+∠D=180°，∠EAF為任意角）如圖15，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E、F分別是線段BC、CD上的動點結論EF=DF+BE是否成立？

教師還可以引導學生課后思考：等邊三角形夾半角問題，等腰直角三角形夾半角問題……甚至可以繼續(xù)探究在正方形中∠EAF=30°或者60°時，圖形中還存在什么結論［3］.

圖13

圖14

圖15

【復習效能分析】本環(huán)節(jié)在原正方形半角模型的基礎上改變或弱化某些條件，即跳出模型，縱向拓展延伸.變換不同的背景、角度進行探究，引導學生淡化技巧，挖掘技巧背后解決問題的本質，逐漸領悟蘊含其中的數(shù)學知識、方法和思想，從而真正意義上培養(yǎng)學生的思維能力，使學生達到做一題、學一法、會一類、通一類的目的.

三、課后反思

1.提煉基本模型，抓住思維“生長點”.

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中指出，數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志.數(shù)學活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學學習活動過程中逐步積累的［4］.正方形是所有四邊形中最特殊與完美的圖形.正因為正方形的特殊性，45°特殊角成為活躍在正方形中的特殊音符.這節(jié)課通過正方形與一個45°角疊合而成的圖形，以核心知識點（正方形、全等三角形、45°角）為線索展開探究教學，將核心思想方法（轉化、從特殊到一般）穿插其間，通過數(shù)學模型的構建與變化，引導學生大膽猜想、小心求證，直抵數(shù)學的本質，引導學生發(fā)現(xiàn)并歸納“基本模型”的條件和結論，抓住思維“生長點”，為解決問題搭建“腳手架”，從而提高學生的思維能力和數(shù)學素養(yǎng).

2.拓展基本模型，尋求思維“延伸點”.

數(shù)學學習可以采用由淺入深、逐級遞進、螺旋上升的方式，逐步滲透重要的數(shù)學思想方法，進而領悟數(shù)學的本質.基本模型經(jīng)過提煉與歸納之后，學生不應該僅僅停留在思維“生長點”的層次，還需要對該基本模型的應用進行深入探究，即尋求思維“延伸點”［5］.本節(jié)課，教師以基本圖形為出發(fā)點，通過層層遞進、由淺入深的各個問題，引導學生在提煉和總結基本模型后，及時對該基本模型進行拓展延伸，從逆向運用、改變背景條件等方面，再次領悟“基本模型”的本質，尋求學生思維的“延伸點”，使學生的思維更具深刻性和靈活性.讓學生在拓展基本模型的過程中，體悟解題的通法，從而做到化題為形、凝題成鏈、結題成網(wǎng)，真正實現(xiàn)由“做一題”到“通一類”的飛躍.

3.關注模型教學，追求思維“發(fā)散點”.

近幾年的各地中考試卷中逐漸涌現(xiàn)出由同一類“基本模型”延伸而來的試題.雖然這些試題千變?nèi)f化、各不相同，但萬變不離其宗，解決這些問題的方法和策略基本相通.波利亞在《怎樣解題》中提出：在擬定方案時應當回顧是否解過類似的問題，能否將問題轉化為已解決的問題［6］.在解題前增加一個提煉基本模型的過程，可以使學生減少大量數(shù)據(jù)記憶，提高信息檢索的效率，從而更好地拓展解題思維.這就要求教師通過研究試題不斷挖掘并提煉各類新的“基本模型”，甚至可以引導學生自主發(fā)現(xiàn)并提煉“基本模型”，追求思維“發(fā)散點”，最終提升學生的數(shù)學素養(yǎng).本節(jié)課小結中，教師跳出特殊的正方形半角模型，走向更一般的數(shù)學模型，達到“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”的境界.

中考專題復習課要彰顯“復習味”，要提煉、要提升、要發(fā)展.通過尋找具有共性的模型，為學生解題提供準確的思考方向和線索.同時在教學中我們還要給學生充分的思考時間，為學生搭建真正的探究空間，善待嘗試過程中的錯誤，正所謂“冬去，且若流水；春來，且待花開”.

1.曹嘉興.挖掘隱含結論 提升解題能力［J］.中學數(shù)學（下），2013（2）.

2.沈岳夫.抓住“半角”模型 巧用旋轉突破［J］.數(shù)學教學，2017（7）.

3.唐芬.半角模型的縱橫遷移［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2014（5）.

4.中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

5.姜曉翔.關注“模型教學” 提升“思維品質”［J］.中國數(shù)學教育，2017（5）.

6.波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2002.F