李文濤，白瑞林，朱淵渤

（1.江南大學(xué) 輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 2141222.無錫信捷電氣股份有限公司，江蘇 無錫 214072）

伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械傳動(dòng)裝置大部分是存在一定彈性，通常會(huì)引發(fā)機(jī)械諧振。如果不對(duì)諧振進(jìn)行抑制或諧振抑制不當(dāng)，諧振不但會(huì)帶來聲學(xué)污染，而且還會(huì)造成機(jī)械裝置嚴(yán)重?fù)p害[1]。目前伺服系統(tǒng)的速度環(huán)大多采用PI控制，而提高控制器增益經(jīng)常會(huì)帶來諧振，影響伺服的性能[2]。因此機(jī)械諧振的研究及抑制已經(jīng)成為提高伺服系統(tǒng)性能的一個(gè)重要課題。

伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主要有兩大諧振抑制方法，即主動(dòng)抑制和被動(dòng)抑制。主動(dòng)抑制方式主要是改變控制器的結(jié)構(gòu)或改變控制器的參數(shù)。被動(dòng)抑制方式是在速度環(huán)和電流環(huán)之間插入濾波器，控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不變[3]。目前工業(yè)伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主要采用陷波濾波器的方法[4]。文獻(xiàn)[4]提出了自適應(yīng)陷波濾波器的設(shè)計(jì)方案，可以快速地獲取諧振頻率并匹配陷波參數(shù)，消除諧振頻率變化而使諧振抑制失效的問題。文獻(xiàn)[5]針對(duì)諧振頻率會(huì)隨著環(huán)境和時(shí)間變化，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)IIR濾波器，通過最小二乘遞推算法對(duì)諧振頻率進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，該方法可以提高頻率的估算精度。文獻(xiàn)[6]對(duì)速度偏差做FFT變換和諧振定量分析來確定陷波濾波器的頻率。上述方案中濾波寬度和深度參數(shù)都采用估計(jì)值，難以保證參數(shù)的合理性。

為了確定陷波濾波器的寬度和深度參數(shù)，文獻(xiàn)[7]對(duì)濾波器設(shè)定了4個(gè)不同的零極點(diǎn)，利用循環(huán)查找的方法來確定諧振寬度和深度參數(shù)，該方法極點(diǎn)數(shù)目少，并不能確定最優(yōu)參數(shù)值。文獻(xiàn)[8]提出自適應(yīng)陷波濾波方案，陷波深度用一個(gè)比較小的經(jīng)驗(yàn)值。文獻(xiàn)[9]在一個(gè)閾值內(nèi)對(duì)每次匹配的濾波參數(shù)做FFT變換，雖然可以獲得閾值內(nèi)幅值最小的參數(shù)，但并不能保證參數(shù)最優(yōu)。

本文在分析了不同彈性系數(shù)幅頻特性的基礎(chǔ)上，提出一種機(jī)械諧振抑制的參數(shù)優(yōu)化方法。該方法利用改進(jìn)型粒子群尋優(yōu)算法對(duì)深度和寬度參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化；并將控制效果和離線設(shè)置參數(shù)進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法可以大幅度抑制機(jī)械諧振。

1 機(jī)械諧振的建模與分析

1.1 機(jī)械諧振的建模

在實(shí)際系統(tǒng)中，傳動(dòng)裝置大部分是存在彈性的，并且每個(gè)裝置都有固有的諧振頻率。由電機(jī)、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、執(zhí)行機(jī)構(gòu)組成的雙慣量系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 典型雙慣量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

電機(jī)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)通過傳動(dòng)機(jī)構(gòu)聯(lián)接，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的軸系具有一定的彈性Ks和阻尼系數(shù)D。當(dāng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)將產(chǎn)生軸系轉(zhuǎn)矩Ts，此轉(zhuǎn)矩對(duì)電機(jī)側(cè)可看作是負(fù)載轉(zhuǎn)矩，而對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)可看作是驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩。伺服驅(qū)動(dòng)器提供的電磁轉(zhuǎn)矩Te和軸系轉(zhuǎn)矩Ts共同作用于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jm、阻尼系數(shù)為C1的電機(jī)轉(zhuǎn)軸。在負(fù)載側(cè)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有阻尼系數(shù)C2以及等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jl。軸系轉(zhuǎn)矩Ts與負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tl共同作用，最終決定負(fù)載轉(zhuǎn)速。根據(jù)上述分析建立如下微分方程組

其中：θ1，θ2為

對(duì)公式(1)和式(2)做拉普拉斯變換得

系統(tǒng)中的阻尼系數(shù)很小，可忽略從而對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。根據(jù)公式(3)得電機(jī)速度與電磁轉(zhuǎn)矩之間的傳遞函數(shù)。

由式(5)得到圖2所示的伯德圖，從圖中可以看出其幅頻特性有一個(gè)幅值較高的諧振點(diǎn)和一個(gè)幅值較低的反諧振點(diǎn)。

圖2 雙慣量系統(tǒng)伯德圖

因此當(dāng)電流的振蕩頻率或速度的振蕩頻率與諧振頻率相等時(shí)會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，造成設(shè)備嚴(yán)重?fù)p害。

1.2 機(jī)械諧振的影響

在伺服系統(tǒng)中，速度環(huán)采用PI控制器，其傳遞函數(shù)如式(6)所示。圖3為Kp=0.1，KI=12.5，速度給定為ωc=3000 rad/s時(shí)的速度響應(yīng)曲線。從速度曲線看出，響應(yīng)在3000 rad/s持續(xù)振蕩。如果電機(jī)持續(xù)在這種情況下運(yùn)行將會(huì)降低機(jī)械壽命。

圖3 電機(jī)速度響應(yīng)曲線

2 機(jī)械諧振抑制及參數(shù)確定

2.1 陷波濾波器分析

為了能方便地調(diào)節(jié)濾波器的寬度和深度參數(shù)，選用雙T型濾波器。雙T型濾波器的傳遞函數(shù)為

f為陷波中心頻率，ζ為陷波深度參數(shù)，K為陷波寬度。

設(shè)置陷波濾波器參數(shù)時(shí)，過大的陷波深度和陷波寬度將會(huì)導(dǎo)致在頻率f的附近發(fā)生相角的超前或滯后，因此應(yīng)該選擇合適的濾波參數(shù)。

2.2 陷波參數(shù)的確定

(1)中心頻率f的確定方法

陷波濾波器的中心頻率點(diǎn)即為頻譜圖中對(duì)應(yīng)的幅值最大的位置所對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)，在中心頻率點(diǎn)處濾波器提供最大的陷波幅值。圖4所示的頻譜特性曲線f即為陷波頻率。

圖4 諧振頻譜圖

(2)寬度參數(shù)k的確定方法

陷波濾波器寬度的確定是在頻譜圖上做水平線如圖4所示，水平線將會(huì)與頻譜圖有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)頻率為f0，另一個(gè)頻率為f1。在一般情況下f0與f，f1與f所確定的寬度并不相同。因此為了能更好的抑制機(jī)械諧振，陷波濾波器的寬度k取為f-f0與f1-f最大值的2倍。即

(3)深度參數(shù)ζ的確定

深度參數(shù)ζ表示在陷波中心頻率點(diǎn)處所提供的最大幅值衰減，經(jīng)過FFT之后，可以通過式(9)來確定陷波深度，其中Hl是陷波之后的幅度值。

此時(shí)陷波的深度表示為式(10)所示。

3 機(jī)械諧振頻率辨識(shí)

為了獲取諧振特性，本文將研究基于頻率抽取的FFT算法，通過蝶形運(yùn)算原理，實(shí)現(xiàn)頻率抽取快速傅里葉變換，完成信號(hào)分析。對(duì)于數(shù)字控制系統(tǒng)首先采樣一段有限長(zhǎng)序列的數(shù)據(jù)x[n]。下式分別是傅里葉變換x[k]和反變換x[n]。

其中：WknN為旋轉(zhuǎn)因子，RN[n]如式(13)所示。

基于上式可推導(dǎo)出離散傅里葉變換公式

在FFT變換的過程中輸入的是自然序輸出倒位序，因此要將得到的序列按順序放置。根據(jù)香農(nóng)采樣定理，連續(xù)信號(hào)的最高頻率為fmax，為了使FFT之后的信號(hào)不發(fā)生混疊，采樣頻率滿足fS≥2fmax。對(duì)于時(shí)域的采樣頻率fs，頻域中的采樣間隔F0滿足如下關(guān)系N=f0/F0，因此在實(shí)際的應(yīng)用中要考慮到采樣點(diǎn)數(shù)和頻率分辨率。

永磁同步電機(jī)采用磁場(chǎng)定向，在矢量控制中把電機(jī)的定子電流轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的直軸分量和交軸分量，直軸分量主要是來給電機(jī)勵(lì)磁而交軸分量主要是用來產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩。通過對(duì)電機(jī)定子進(jìn)行解耦之后，電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩和交軸電流呈線性關(guān)系。當(dāng)產(chǎn)生機(jī)械諧振時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩將會(huì)持續(xù)振蕩，最終會(huì)變?yōu)殡姍C(jī)的速度振蕩。機(jī)械諧振抑制的框圖如圖5所示。

圖5 機(jī)械諧振抑制框圖

在圖中參數(shù)匹配策略在速度環(huán)中并不是一直運(yùn)行的，而是開啟之前首先要檢測(cè)一段速度偏差的振動(dòng)情況以避免干擾而引起誤動(dòng)作，對(duì)匹配的參數(shù)采用中斷方式計(jì)算FFT，并利用尋優(yōu)算法匹配最優(yōu)參數(shù)。整個(gè)參數(shù)匹配策略步驟如下：

(1)利用速度偏差數(shù)據(jù)做FFT變換得到諧振頻譜圖。

(2)根據(jù)頻譜圖確定濾波參數(shù)。

(3)利用陷波濾波器對(duì)速度偏差進(jìn)行濾波。

(4)利用下述算法對(duì)寬度和深度參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

4 參數(shù)優(yōu)化

4.1 優(yōu)化分析

圖6所示是在彈性系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，匹配不同的深度參數(shù)后FFT的最大幅值；從圖中可以看出彈性系數(shù)變化時(shí)，也會(huì)存在一個(gè)最小的幅值。

圖6 不同彈性系數(shù)的幅值

圖7 所示在不同的深度參數(shù)下，寬度匹配后的FFT最大幅值，從圖中可以看出即使是在不同的深度下也會(huì)存一個(gè)最小的幅度值。

基于以上分析無論是深度或?qū)挾榷即嬖谝粋€(gè)最小的幅值。如果取一個(gè)比較小的深度值，雖然可以抑制機(jī)械諧振；但長(zhǎng)期運(yùn)行將會(huì)降低機(jī)械設(shè)備的使用壽命。因此為了能更好地對(duì)機(jī)械諧振進(jìn)行抑制，可通過優(yōu)化方法來匹配最優(yōu)陷波濾波器參數(shù)。

4.2 優(yōu)化方法

在理想的情況下，深度參數(shù)和幅值呈現(xiàn)單峰曲線，但是當(dāng)在噪聲和負(fù)載變化時(shí)并不是單峰曲線，為了避免使參數(shù)陷入局部最優(yōu)，本文采用改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法(PSO)對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

粒子群優(yōu)化(PSO)是J.Kennedy和R.Eberhart提出的基于群體智能的計(jì)算技術(shù)，是迭代的優(yōu)化工具。粒子群優(yōu)化算法(PSO)參數(shù)設(shè)置較少，算法簡(jiǎn)單，因此被廣泛應(yīng)用。為了能快速收斂和取消最大速度的限制，文獻(xiàn)[10]中的壓縮因子γ來代替慣性權(quán)值，其改進(jìn)更新過程如下

圖7 不同寬度幅值

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將式(8)和式(10)的深度參數(shù)和寬度參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。其參數(shù)優(yōu)化步驟如下：

步驟1：設(shè)置種群規(guī)模M和迭代次數(shù)N，隨機(jī)初始化各個(gè)粒子的位置x和速度v，且每個(gè)粒子都包含兩個(gè)變量。

步驟2：匹配濾波參數(shù)后，采集速度偏差，計(jì)算FFT變換后諧振頻率處的幅值作為適應(yīng)度。

步驟3：比較每個(gè)粒子的當(dāng)前適應(yīng)度和自身的最優(yōu)值Pbest。若當(dāng)前的適應(yīng)度優(yōu)于Pbest，則當(dāng)前適應(yīng)度更新為Pbest，并設(shè)定Pbest的位置為當(dāng)前位置。

步驟4：比較每個(gè)粒子當(dāng)前的適應(yīng)度與種群的最優(yōu)解gbest，如果當(dāng)前適應(yīng)度優(yōu)于gbest，則將gbest設(shè)置為當(dāng)前粒子的適應(yīng)度。

步驟5：采用式(15)和式(17)更新群體中的各個(gè)粒子的位置和速度。

步驟6：判斷是否滿足終止條件，即達(dá)到最大迭代次數(shù)或小于給定的誤差精度，如果滿足條件則輸出深度參數(shù)和寬度參數(shù)，否則轉(zhuǎn)步驟2繼續(xù)迭代。

步驟7：得到最優(yōu)的寬度和深度參數(shù)。

5 實(shí)驗(yàn)仿真

5.1 仿真結(jié)果

仿真參數(shù)如表1所示，速度的給定值為3000 rad/s。仿真過程中為了能使FFT變換后的頻率分辨率高并且運(yùn)算量小，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，采樣頻率為1 kHz。

表1 仿真參數(shù)

圖8 優(yōu)化后速度響應(yīng)

圖8 是獲得優(yōu)化參數(shù)后的速度響應(yīng)曲線。圖9是在獲取幅頻特性圖之后，手動(dòng)設(shè)置陷波濾波器的深度參數(shù)為0.16時(shí)的速度響應(yīng)曲線。從兩幅圖的速度響應(yīng)曲線可以看出優(yōu)化后的速度響應(yīng)曲線逐漸變得平滑，而手動(dòng)設(shè)置參數(shù)的速度響應(yīng)曲線有小幅度振蕩。

圖9 設(shè)定參數(shù)速度響應(yīng)曲線

圖10 是優(yōu)化后的幅頻特性和未優(yōu)化的幅頻特性圖。從圖中可以看出優(yōu)化可以抑制69%的諧振幅值，大大降低機(jī)械諧振。

圖11是迭代次數(shù)和深度參數(shù)的變化圖，從圖中可以看出迭代10次以后深度參數(shù)收斂于0.0897，收斂速度快。

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

諧振實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖12所示。工控機(jī)連接轉(zhuǎn)接板，轉(zhuǎn)接板連接測(cè)試平臺(tái)400 W的電機(jī)，電機(jī)連接諧振平臺(tái)的同步帶。在諧振測(cè)試平臺(tái)上可以通過安裝負(fù)載的方法來改變諧振頻率。

圖10 優(yōu)化前后幅頻特性對(duì)比圖

圖11 迭代次數(shù)和深度變化圖

用Labview編寫的伺服系統(tǒng)速度環(huán)的運(yùn)算周期是0.125 ms，即采樣頻率為8 kHz。實(shí)驗(yàn)中采樣點(diǎn)數(shù)越多，F(xiàn)FT變換后頻率的分辨率越高，但是數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量大且運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，綜合考慮最終選擇點(diǎn)數(shù)為4096。

圖13是在速度給定為150 r/min時(shí)的幅頻特性圖，經(jīng)過分析得出諧振頻率為251 Hz。在經(jīng)過優(yōu)化陷波諧振抑制之后的FFT如圖14所示。

通過圖中的曲線可以看出參數(shù)優(yōu)化可以大幅度降低機(jī)械諧振。

圖13 初始FFT變換圖

圖14 優(yōu)化抑制后的FFT

6 結(jié)語(yǔ)

(1)本文針對(duì)離線條件下陷波濾波器不能設(shè)置合適的參數(shù)而使諧振抑制效果不理想的問題，在分析了陷波濾波參數(shù)對(duì)諧振影響的基礎(chǔ)上，提出了一種機(jī)械諧振抑制參數(shù)優(yōu)化方法。

(2)分析了不同彈性系數(shù)的諧振系統(tǒng)中，對(duì)配置的陷波濾波參數(shù)得到FFT的諧振幅值會(huì)存在一個(gè)最優(yōu)值。然后利用改進(jìn)型粒子群算法尋找最優(yōu)的深度和寬度值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改進(jìn)型粒子群優(yōu)化算法(PSO)可以快速收斂。

(3)對(duì)離線陷波參數(shù)的速度響應(yīng)曲線和參數(shù)優(yōu)化后的速度響應(yīng)曲線進(jìn)行比較，結(jié)果表明優(yōu)化后的速度響應(yīng)曲線更加平滑；從仿真和實(shí)物實(shí)驗(yàn)看出最大諧振抑制幅度可以降低原來最高幅值的69%，大大提高了諧振抑制能力，同時(shí)優(yōu)化提高了諧振抑制的效率。

[1]楊明，王璨，徐殿國(guó).基于軸矩限幅控制的機(jī)械諧振抑制技術(shù)[J].電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2015，19(4)：58-64.

[2]WANG W,XU J,SHEN A.Detection and reduction of middle frequency resonance forindustrialservo[C].International Conference on Information Science and Technology.IEEE,2012:153-160.

[3]王璨，楊明，徐殿國(guó).基于PI控制的雙慣量彈性系統(tǒng)機(jī)械諧振的抑制[J].電氣傳動(dòng)，2015，45(1)：49-53.

[4]楊明，郝亮，徐殿國(guó).基于自適應(yīng)陷波濾波器的在線機(jī)械諧振抑制[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，46(4)：63-69.

[5]李娜，李世華.基于自適應(yīng)IIR濾波器的伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振抑制[C].第27屆中國(guó)控制與決策會(huì)議，2015：3418-3423.

[6]李宗亞，羅欣，沈安文.基于陷波器參數(shù)自調(diào)整的伺服系統(tǒng)諧振抑制[J].計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化，2013，32(4)：7-11.

[7]KIM T I,BAHN W,YOON J M,et al.Online tuning method for notch filter depth in industrial servo systems[C].Chinese Control Conference,2016:9514-9518.

[8]LEE D H,LEE J H,AHN J W.Mechanical vibration reduction control of two-mass permanent magnet synchronous motor using adaptive notch filter with fast Fourier transform analysis[J]. Iet Electric Power Applications,2012,6(7):455-461.

[9]KANG J,CHEN S,DIX.Onlinedetectionand suppression of mechanical resonance for servo system[C].Third International Conference on Intelligent Control and Information Processing.IEEE,2012:16-21.

[10]王秋生，楊浩，袁海文.基于粒子群優(yōu)化的數(shù)字多頻陷波濾波器設(shè)計(jì)[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2012，33(7)：1661-1667.