陳珊珊，夏米西努爾·阿布都熱合曼

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊 830046)

[通訊作者]夏米西努爾·阿布都熱合曼(1969- )，女，教授，碩士生導(dǎo)師，從事常微分動力系統(tǒng)研究。

布魯氏病(下文簡稱布病)，是由布魯氏菌病引起的一種人畜共患的急、慢性傳染病.世界動物衛(wèi)生組織將其列為B類動物疫病，我國將其列為二類動物疫病.動物布病以羊、牛和豬最易感，60余種常見家畜、家禽、野生動物有不同程度的易感性，其特征主要是侵害生殖系統(tǒng)，引起流產(chǎn)、不孕、睪丸炎等.人類布病，其特征為呈現(xiàn)波浪熱、關(guān)節(jié)痛、睪丸炎等癥狀，以牛型和綿羊型布病最為常見，染病的急性期可以治愈，但不易被認(rèn)癥，未經(jīng)治療者的自然病程為3～6個月(平均4個月)，也有的短期1個月或者長達數(shù)年.牛型急性期往往不明顯，病期在7～60天，一般為2～3周，少數(shù)病人在感染后數(shù)月或者1年內(nèi)發(fā)病，嚴(yán)重影響人的身體健康.

布病在地中海國家、中東、阿拉伯半島、中南美洲、亞洲和非洲較為常見，數(shù)據(jù)顯示30%布病患者年齡只有15歲[1-3].在中國，疫區(qū)分布廣泛，新疆、內(nèi)蒙古、吉林、黑龍江、西藏、青海、寧夏、河南等地都受到布魯氏菌病不同程度的感染.近年來，隨著我國家畜飼養(yǎng)量的增加，畜禽的流通日益頻繁，畜間布病疫情相當(dāng)嚴(yán)重[4-6].通過建立和分析相應(yīng)的布魯氏菌病動力學(xué)模型，加強布魯氏菌病的傳染規(guī)律和發(fā)展趨勢的研究，將有利于布魯氏菌病的控制.

本文首先建立牛布魯氏菌病直接和間接傳播模型，給出基本再生數(shù)，并分析該模型的漸近行為，通過數(shù)值模擬證明結(jié)果的有效性，最后對主要結(jié)果進行總結(jié).

1 建立模型

近年來，許多學(xué)者關(guān)注布魯氏病研究，通過傳染病模型研究菌病傳播，在理論上提出了一系列有效的控制措施[7-14].1994年，Jorge Gonzalez-Guzman和Rual Naulin[15]建立如下牛布魯氏病的動力學(xué)模型：

其中，S(t)、I1(t)、I2(t)分別代表易感者類的數(shù)量、第一階段染病類的數(shù)量、第二階段染病類的數(shù)量；θ(t)表示免疫接種的數(shù)量.

進一步的，Ainseba[16]考慮直接傳染(接觸傳染)和間接傳染(環(huán)境傳染)因素，通過引入被感染的環(huán)境項C(t)，建立了具有易感者、染病者和環(huán)境中病菌的牛布魯氏菌病動力學(xué)模型：

其中，b≥m>0,K>0,p∈[0,1],a1>0,a2>0,k1>0,k2>0.

本文考慮如下模型：

(1)

其中，β1表示直接接觸傳染概率，β2表示間接傳染概率，δ為第一階段染病類到第二階段染病類的轉(zhuǎn)化率，μi(i=1,2,3)分別表示易感染者、第一階段染病類的、第二階段染病類的死亡率，k1表示菌病的釋放率，k2表示菌病的死亡率，以上參數(shù)都是非負的.通過直接計算可得：

2 基本再生數(shù)和平衡點

2.1 基本再生數(shù)

(2)

2.2 無病平衡點的穩(wěn)定性

定理1 當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時，系統(tǒng)(1)的無病平衡點E0局部漸近穩(wěn)定.

證明 系統(tǒng)(1)在E0處的特征方程為：

(3)

其中，

直接計算可得：

b1=-β1S0+δ+μ2+μ3+k2

b2=-β2k1S0+k2μ3-δβ1S0+(μ3+k2)(-β1S0+δ+μ2)

b3=k2μ3(-β1S0+δ+μ2)-β2k1S0δ-β2k1S0μ3-β1k2S0δ

>[(δ+μ2)(1-R0)+μ3+k2][k2(δ+μ2)(1-R0)+(1-R0)μ3(δ+μ2)+μ3k2]

即b1>0,b2>0,b3>0,b1b2-b3>0，根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，方程(3)的所有特征值為負.當(dāng)R0<1時，無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時，特征多項式具有正根，即E0不穩(wěn)定.

定理2 當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時，系統(tǒng)(1)的無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的.

(4)

沿系統(tǒng)(1)，對W1(t)求導(dǎo)，

(5)

考慮如下方程：

代入方程(5)得到：

2.3 地方性平衡點的穩(wěn)定性

證明 當(dāng)μ3=μ2時，令I(lǐng)1+I2=I，系統(tǒng)(1)可以轉(zhuǎn)換為以下形式：

(6)

由此可得模型(6)的特征方程：

(7)

其中，

直接計算可得：

B2=-β2S*(k1I*+k2)+(β1I*+β2C*+μ1)(-β2S*+μ2+k1I*+k2)

+β1S*(β1I*+β2C*)(k1I*+k2)-β2S*k1(1-C*)

B3=(β1I*+β2C*+μ1)(-β2S*+μ2)(k1I*+k2)+(β1I*+β2C*)(k1I*+k2)β1S*

+(β1I*+β2C*)β2S*k1(1-C*)-(β1I*+β2C*+μ1)β2S*k1(1-C*)

B1B2-B3=(a1+μ1+a3+a4)[a4a3+(a1+μ1)(a3+a4)+a1β1S*-a2β2S*]

-(a1+μ1)a4a3-a1a3β1S*-a1a2β2S*

根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，系統(tǒng)(6)特征方程的根都為負，故地方性平衡點E*局部漸近穩(wěn)定.

3 數(shù)值模擬

我們利用數(shù)值模擬來探索系統(tǒng)(1)中的易感類，第一階段染病類，第二階段染病類，被污染的環(huán)境的動力學(xué)模型。通過模型的數(shù)據(jù)值，驗證地方性平衡點的全局漸近穩(wěn)定性.假設(shè)地方性平衡點的初值(S(0),I1(0),I2(0),C(0))=(200,50,50,0.4)，Λ=400，μ1=0.03，μ2=0.03，μ3=0.4，β1=0.0025，β2=0.0048，δ=0.4，k1=0.002,k2=0.03，通過這些數(shù)值計算出R0>1，模擬得出圖1至圖4，驗證了地方性平衡點的全局漸近穩(wěn)定性。

圖1 易感類

圖2 第一階段染病類

圖3 第二階段染病類

圖4 環(huán)境中的病菌

4 結(jié)論

與文獻[7,15]相比，本文在系統(tǒng)(1)中討論了一種直接和間接傳播的牛布氏菌病模型，并描述了環(huán)境污染率對系統(tǒng)的影響.通過動態(tài)分析可以得到，當(dāng)R0<1時，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，這表明著牛布氏病菌是不活躍的.而當(dāng)R0>1時，我們在理論上僅僅證明了地方性平衡點的局部漸近穩(wěn)定性，通過數(shù)值模擬圖，當(dāng)R0>1時，可以看出地方性平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.

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