莫泓銘

(四川民族學(xué)院圖書館，四川康定 626001)

在科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的今天，人們的生活中充滿了各種各樣的信息化的系統(tǒng)，如電力系統(tǒng)、交通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、在線社交系統(tǒng)等.這些應(yīng)用系統(tǒng)或者本身就是網(wǎng)絡(luò)化的，或者可以抽象為網(wǎng)絡(luò).復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的“無標(biāo)度”[1]和“小世界”[2]等特性的發(fā)現(xiàn)，掀起了一輪又一輪的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究熱潮[3].在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的眾多研究領(lǐng)域中，節(jié)點(diǎn)重要度識別一直是一個熱門話題.所謂重要節(jié)點(diǎn)，在不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或應(yīng)用領(lǐng)域中有不同的理解.通俗地講，重要節(jié)點(diǎn)是相對的，它或它們相對于網(wǎng)絡(luò)中的其他非重要節(jié)點(diǎn)而言能更大程度地影響網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)或功能[4].網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)的數(shù)量通常比較少，但通過它們，可以快速地影響到網(wǎng)絡(luò)中的絕大部分節(jié)點(diǎn).比如，在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中針對重要節(jié)點(diǎn)的蓄意攻擊可以快速導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效[5]，微博中的大V用戶所發(fā)布的信息可以快速傳遍微博[6]，等等.

尋找網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)，一方面可以通過其進(jìn)一步挖掘網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，另一方面可以對其加以重點(diǎn)利用，從而更好地優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)的良好運(yùn)轉(zhuǎn)[7].研究者們提出了許多關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)重要節(jié)點(diǎn)的識別方法，常見的有節(jié)點(diǎn)的度中心算法[8]、接近中心算法[9]、結(jié)構(gòu)洞中心算法[10-11]等.這些算法大多是從節(jié)點(diǎn)單一屬性出發(fā)，或局部或全局地衡量節(jié)點(diǎn)的重要性.相關(guān)研究表明，節(jié)點(diǎn)是具有多重屬性的[12].如何利用節(jié)點(diǎn)的多屬性這一特性來更好更準(zhǔn)確地識別復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)是一個值得探討的問題.于會等[13-14]基于TOPSIS結(jié)合節(jié)點(diǎn)的度中心性、介數(shù)中心性、接近中心性和結(jié)構(gòu)洞等屬性探討節(jié)點(diǎn)的重要度，常振超等[15]基于節(jié)點(diǎn)多屬性檢測網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)，李文蘭等[16]基于節(jié)點(diǎn)多屬性識別合著網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).證據(jù)理論，又稱信度函數(shù)，作為一種不確定信息處理工具[17-18]，近年來被廣泛地運(yùn)用于各類決策應(yīng)用中[19-22].為了解決復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)重要度識別問題，本文提出了一種基于信度函數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要性識別方法，該方法將節(jié)點(diǎn)的度中心、接近中心性、結(jié)構(gòu)洞等屬性視為不同的信度函數(shù)，運(yùn)用證據(jù)理論中的組合規(guī)則將它們進(jìn)行充分融合，得到節(jié)點(diǎn)的一個綜合評估值.實(shí)例驗(yàn)證表明該方法具有有效性和全面性，能集成單一算法的優(yōu)點(diǎn)同時克服其不足.

1 預(yù)備知識

1.1 常見的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要性算法

節(jié)點(diǎn)的度中心性(Degree Centrality)是指與節(jié)點(diǎn)直接相連的一級鄰居數(shù)量，其計算公式為：

(1)

其中，vij表示節(jié)點(diǎn)i與j直接相連的狀態(tài)，vij=1表示節(jié)點(diǎn)i與j之間有一條邊直接相連，vij=0表示節(jié)點(diǎn)i與j之間無直接邊相連.節(jié)點(diǎn)擁有的直接鄰居越多，其度越大，就越重要.節(jié)點(diǎn)度中心算法從網(wǎng)絡(luò)局部信息出發(fā)來衡量節(jié)點(diǎn)的重要性，具有簡單、快捷等特點(diǎn).然而，網(wǎng)絡(luò)中的許多節(jié)點(diǎn)通常具有相同數(shù)量的一級鄰居，其度值相同，在這種情況下，度中心算法視它們的重要程序一樣，因而無法進(jìn)一步區(qū)分.

節(jié)點(diǎn)的接近中心性(Closeness Centrality)衡量的是從某個特定節(jié)點(diǎn)出發(fā)到網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)的最短路徑所含邊的數(shù)量的倒數(shù)，其計算公式為：

(2)

其中，dij代表節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的最短路徑中的邊的數(shù)量.

接近中心算法是節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中所處的位置這一屬性出發(fā)來衡量節(jié)點(diǎn)的重要性.節(jié)點(diǎn)的接近中心值越大，說明其在網(wǎng)絡(luò)中處于中心位置的可能越大，就越重要.節(jié)點(diǎn)的接近中心算法從網(wǎng)絡(luò)全局的角度來衡量節(jié)點(diǎn)的重要程序，需遍歷整個網(wǎng)絡(luò)，相對度中心算法而言，其運(yùn)算復(fù)雜度較高.

1.2 結(jié)構(gòu)洞

結(jié)構(gòu)洞理論是由美國社會學(xué)家Burt在其著作《結(jié)構(gòu)洞：競爭的社會結(jié)構(gòu)》中提出的[9].Burt認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)中的位置比關(guān)系的強(qiáng)弱更為重要，節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的位置決定了其地位的高低，相應(yīng)地?fù)碛懈嗟男畔ⅰ①Y源與權(quán)力.結(jié)構(gòu)洞理論認(rèn)為，如果兩個節(jié)點(diǎn)之間無法直接聯(lián)系，必須通過第三者才能取得聯(lián)系，那么這兩個節(jié)點(diǎn)之間的第三者就占據(jù)了一個結(jié)構(gòu)洞.衡量結(jié)構(gòu)洞的指標(biāo)有網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)(Constraint，CT)、網(wǎng)絡(luò)有效規(guī)模(Effective Size，ES)、效率(Efficient，EF)、等級度(Hierarchy，HI)等，不同的指標(biāo)適用于不同的應(yīng)用場合.在本文中，采用網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)作為衡量結(jié)構(gòu)洞的指標(biāo).網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)是指網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)形成結(jié)構(gòu)洞時所受到的約束，其計算公式為：

(3)

其中，Γ(i)為節(jié)點(diǎn)i的所有一級鄰居的集合，節(jié)點(diǎn)q為節(jié)點(diǎn)i與j的共同鄰居.pij為節(jié)點(diǎn)i為維持與節(jié)點(diǎn)j的鄰居關(guān)系所付出的精力與總精力的比例，piq和pqj分別為節(jié)點(diǎn)i與j與共同鄰居q維持關(guān)系所付出精力占其總精力的比例.pij的計算公式如下：

(4)

其中，zij表示節(jié)點(diǎn)i到j(luò)的關(guān)系，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i到j(luò)之間有聯(lián)系時，其值為1，否則為0.piq和pqj的計算公式與pij類似.

結(jié)合公式(3)和(4)可知，節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)指標(biāo)能夠反映節(jié)點(diǎn)的一級鄰居數(shù)量及它們之間聯(lián)系的緊密程度情況.節(jié)點(diǎn)i的度越大，則其一級鄰居數(shù)量越多，pij的值就越小，說明一級鄰居數(shù)量越多的節(jié)點(diǎn)更容易形成結(jié)構(gòu)洞.piq和pqj從節(jié)點(diǎn)的共同鄰居的角度出發(fā)，節(jié)點(diǎn)i,j,q之間聯(lián)系越緊密，它們之間形成的三角形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)就越多.由此可見，節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)值就越大，說明該節(jié)點(diǎn)的鄰居很少且與其他鄰居的閉合或重合程度很高，這類節(jié)點(diǎn)的影響范圍有限，不易獲得更多的新的關(guān)系支援，因而在競爭中處于不利的地位.反之，節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)越小，其越容易形成結(jié)構(gòu)洞，進(jìn)而有利于獲得新的關(guān)系支援，在競爭中處于有利的地位，即網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)小的節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的影響力較大.結(jié)構(gòu)洞理論在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)重要度識別[23-26]、社會網(wǎng)絡(luò)分析[27-28]和企業(yè)管理[29]等方面得到了廣泛應(yīng)用.

1.3 信度函數(shù)

信度函數(shù)理論又稱為證據(jù)理論，是Dempster于1967年提出的[17]，其試圖運(yùn)用傳統(tǒng)概率中的上下限來表達(dá)實(shí)際問題中的不確定性，隨后其學(xué)生Shafer于1976年對其進(jìn)行了進(jìn)一步推廣[18].證據(jù)理論相比較傳統(tǒng)的主觀貝葉斯理論，最大的特點(diǎn)在于不需要先驗(yàn)信息，并且可以直接表達(dá)“不確定”與“不知道”.證據(jù)理論中的信度函數(shù)允許我們基于信度和組合規(guī)則，使用一個問題的概率來推導(dǎo)另一個相關(guān)問題的概率.證據(jù)理論的相關(guān)概念簡要介紹如下：

(5)

2 基于信度函數(shù)的融合節(jié)點(diǎn)重要度識別模型

基于信度函數(shù)的節(jié)點(diǎn)重要度識別模型如圖1所示，主要由以下幾部分構(gòu)成：①選擇節(jié)點(diǎn)相關(guān)屬性；②測定相關(guān)選定屬性值；③構(gòu)建信度函數(shù)框架并將測得的屬性值轉(zhuǎn)換為信度函數(shù)；④運(yùn)用Dempster組合規(guī)則融合節(jié)點(diǎn)屬性信度函數(shù)；⑤分析融合結(jié)果并據(jù)此排序.

圖1 基于信度函數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要度識別模型

3 實(shí)例應(yīng)用

在本例中，采用USAir97數(shù)據(jù)集來驗(yàn)證本模型的有效性.USAir97是一個加權(quán)的有向網(wǎng)絡(luò)，為簡便描述，將其視為無權(quán)的無向網(wǎng)絡(luò).USAir97數(shù)據(jù)集中包含了332個節(jié)點(diǎn)、2126條邊，節(jié)點(diǎn)的最大度值為139，最小為1[30].USAir97網(wǎng)絡(luò)如圖2所示.下面將運(yùn)用新建立的節(jié)點(diǎn)重要度識別模型來識別USAir97網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的重要度情況.

圖2 USAir97網(wǎng)絡(luò)

Step1 結(jié)合USAir97網(wǎng)絡(luò)特性，選取節(jié)點(diǎn)的度、緊密度和結(jié)構(gòu)洞等屬性作為測定指標(biāo).

Step2 分別運(yùn)用相關(guān)算法，測得節(jié)點(diǎn)的度、緊密度和結(jié)構(gòu)洞等屬性值，如表1中第2、4、6列所示.需要說明的是，由于結(jié)構(gòu)洞屬性中的網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)是一個逆指標(biāo)，即數(shù)值越小其影響力越大，而度與緊密度指標(biāo)均是正向指標(biāo)，為統(tǒng)一測量指標(biāo)體系，需對節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)值進(jìn)行相應(yīng)處理.由于該網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)眾多，限于篇幅，表1只列出了部分節(jié)點(diǎn).

表1 節(jié)點(diǎn)相關(guān)屬性值及排序

Step3 構(gòu)建信度函數(shù)理論框架.在本例中，主要測試節(jié)點(diǎn)的重要程度，即可簡單地將節(jié)點(diǎn)的重要與否劃分為重要與不重要，即其辨識框架為{重要，不重要}，數(shù)學(xué)化表示為Θ={H,L}.Θ為辨識框架，H代表重要，L代表不重要.建立好辨識框架后，接下來需要將相關(guān)屬性值轉(zhuǎn)化為信度函數(shù)的形式.

首先，選擇參考值.選擇相關(guān)屬性值的最大值和最小值作為參考值，則：

DCmax=max{DC1,DC2,DC3,…,DCn},

DCmin=min{DC1,DC2,DC3,…,DCn},

CCmax=max{CC1,CC2,CC3,…,CCn},

CCmin=min{CC1,CC2,CC3,…,CCn},

Cmax=max{C1,C2,C3,…,Cn},

Cmin=min{C1,C2,C3,…,Cn}.

其中，DCmax為度值中的最大值，DCmin為度值中的最小值，CCmax為聚集系數(shù)值中的最大值，CCmin為聚集系數(shù)值中的最小值，Cmax為結(jié)構(gòu)洞屬性中網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)值中的最大值，Cmin為結(jié)構(gòu)洞屬性中網(wǎng)絡(luò)約束系數(shù)值中的最小值，即DCmax=139,DCmin=1,CCmax=0.6073,CCmin=0.1978,Cmax=0.9596,Cmin=0.

其次，構(gòu)建信度函數(shù)轉(zhuǎn)換模型.以節(jié)點(diǎn)i的度為例，mDCi(H)和mDCi(L)分別代表節(jié)點(diǎn)i在度中心算法中的重要程度與不重要程度，同理有mCCi(H)、mCCi(L)、mCi(H)和mCi(L).節(jié)點(diǎn)i的相關(guān)屬性的信度函數(shù)可通過下列模型轉(zhuǎn)換得到：

其中，ω為可調(diào)節(jié)參數(shù)，其目的在于避免當(dāng)最大值與最小值一樣時上述轉(zhuǎn)換模型出現(xiàn)分母為0的情況.理論上，ω可取值為任意非零實(shí)數(shù)，為簡便，在本模型中ω取值為1.節(jié)點(diǎn)i的各相關(guān)屬性信度函數(shù)經(jīng)整理，有：

MDC(i)=(mDCi(H),mDCi(L),mDCi(Θ)),

MCC(i)=(mCCi(H),mCCi(L),mCCi(Θ)),

MC(i)=(mCi(H),mCi(L),mCi(Θ)).

其中，

mDCi(Θ)=1-mDCi(H)-mDCi(L),

mCCi(Θ)=1-mCCi(H)-mCCi(L),

mCi(Θ)=1-mCi(H)-mCi(L).

以節(jié)點(diǎn)118為例，節(jié)點(diǎn)118的度、聚集系數(shù)、結(jié)構(gòu)洞為：

整理可得節(jié)點(diǎn)1的各屬性信度函數(shù)有：

MDC(118)=(mDC118(H),mDC118(L),mDC118(Θ))=(0.9928,0,0.0072).

(6)

MCC(118)=(mCC118(H),mCC118(L),mCC118(Θ))=(0.2905,0,0.7095).

(7)

MC(118)=(mC118(H),mC118(L),mC118(Θ))=(0.4897,0,0.5103).

(8)

Step4 融合相關(guān)信度函數(shù).在得到節(jié)點(diǎn)各屬性的信度函數(shù)后，運(yùn)用Dempster組合規(guī)則，對節(jié)點(diǎn)屬性的信度函數(shù)進(jìn)行兩兩融合，最終得到節(jié)點(diǎn)的一個綜合決策信度函數(shù)：

M(i)=(mi(H),mi(L),mi(Θ)).

(9)

在本例中，對節(jié)點(diǎn)1，運(yùn)用公式(5)，依次融合公式(6)～(8)，得到節(jié)點(diǎn)118的綜合決策信度函數(shù)：

M(118)=(m118(H),m118(L),m118(Θ))=(0.9974,0,0.0026).

(10)

Step5 公式(9)中的mi(Θ)代表系統(tǒng)無法進(jìn)一步將該部分?jǐn)?shù)值分配給H或L，在本模型中，為簡便起見，將mi(Θ)平均分配給mi(H)和mi(L).則節(jié)點(diǎn)的融合最終值可由如下公式獲得：

(11)

對節(jié)點(diǎn)1，有F(118)=m118(H)-m118(L)=0.9947-0=0.9947.

重復(fù)上述步驟，同理可得其它節(jié)點(diǎn)的融合最終值，如表1中第8列所示.

4 分析討論

由表1中第2～3列可看出，度中心算法從節(jié)點(diǎn)的鄰居數(shù)量這一局部屬性出發(fā)，能快速地計算出網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的一級鄰居數(shù)量，并依此進(jìn)行排序，然而對于度值相同的節(jié)點(diǎn)，其無法進(jìn)一步區(qū)分其重要性，只能將它們視作同等重要，如節(jié)點(diǎn)182和節(jié)點(diǎn)152，節(jié)點(diǎn)293和節(jié)點(diǎn)162等.緊密度中心從節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中所處的位置這一全局屬性出發(fā)來衡量節(jié)點(diǎn)的影響力，表1的第4～5列表明，那些處于網(wǎng)絡(luò)拓樸中心地位的節(jié)點(diǎn)更為重要，能識別不同網(wǎng)絡(luò)的不同影響力，特別是對于那些度值相同的節(jié)點(diǎn)，能根據(jù)它們的位置信息進(jìn)行有效的區(qū)分，如節(jié)點(diǎn)182和節(jié)點(diǎn)152雖然都具有相同的鄰居數(shù)，但由于它們在網(wǎng)絡(luò)中所處的位置不同，因而其排名也不同，分別為6和11.結(jié)構(gòu)洞算法從當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的鄰居的角度來考量節(jié)點(diǎn)的影響力，其不僅考量節(jié)點(diǎn)的一級鄰居數(shù)量，還將節(jié)點(diǎn)的鄰居對該節(jié)點(diǎn)的貢獻(xiàn)及鄰居的影響力等納入了考慮范圍.表1中的第6～7列表明，節(jié)點(diǎn)所擁有的鄰居數(shù)量及鄰居的影響力也是很重要的，如節(jié)點(diǎn)182和節(jié)點(diǎn)152，雖然都擁有相同數(shù)量的一級鄰居，但由于鄰居的影響力不一樣，因而它們的排序也不一樣.總體而言，上述三種方法都是從特定角度來衡量節(jié)點(diǎn)的影響力，有側(cè)重，也有不足，得到的結(jié)果也有差異.網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)不是孤立存在的，它受網(wǎng)絡(luò)拓樸、節(jié)點(diǎn)鄰居數(shù)量、鄰居的影響力等多方因素的影響.節(jié)點(diǎn)是多屬性的.在本文中，基于信度函數(shù)通過融合節(jié)點(diǎn)的多種屬性，以期更為準(zhǔn)確地衡量節(jié)點(diǎn)的影響力.從表1中的第8～9列可以看出，新方法通過融合節(jié)點(diǎn)的度、緊密度和結(jié)構(gòu)洞等屬性，最終得到節(jié)點(diǎn)的綜合唯一評估值，且不存在無法進(jìn)一步區(qū)分的情況.從排序結(jié)果來看，本文方法較好地考慮了節(jié)點(diǎn)的度中心、緊密度中心和結(jié)構(gòu)洞中心等因素，排名前10的節(jié)點(diǎn)分別覆蓋了度中心、緊密度中心和結(jié)構(gòu)洞中心的前10、9和7個節(jié)點(diǎn).

5 結(jié)語

本文提出了一種基于信度函數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中識別節(jié)點(diǎn)重要性的方法，通過將節(jié)點(diǎn)的相關(guān)屬性轉(zhuǎn)換為信度函數(shù)并據(jù)此進(jìn)行融合，最終得到節(jié)點(diǎn)的綜合評價指標(biāo)值并以此排序.實(shí)例驗(yàn)證表明，此方法是有效的，能夠綜合節(jié)點(diǎn)單一屬性算法的優(yōu)點(diǎn)，并克服單一屬性算法的不足.需要說明的是，本文提出的方法僅考慮了節(jié)點(diǎn)的少數(shù)屬性，并且僅運(yùn)用于無向無權(quán)的網(wǎng)絡(luò)中，在下一步的工作中，我們將考慮融合節(jié)點(diǎn)更多的屬性，并且將該方法進(jìn)一步推廣運(yùn)用到有向有權(quán)的網(wǎng)絡(luò)中.

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