劉昕明，呂東東

（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電氣工程與控制工程學(xué)院，葫蘆島125105）

滑模變結(jié)構(gòu)控制以其對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化和外部擾動(dòng)的魯棒性而著稱，線性滑?？刂疲↙SMC）是系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，跟蹤誤差漸進(jìn)收斂至零[1]，并且可以通過選擇滑動(dòng)模態(tài)參數(shù)來調(diào)整漸進(jìn)收斂的速度，但是無論如何調(diào)整，狀態(tài)跟蹤誤差都不能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零。為了解決無限時(shí)間收斂問題，采用終端滑?？刂疲ㄟ^在線性滑模面中引入非線性函數(shù)項(xiàng)和適當(dāng)設(shè)計(jì)控制器，使得跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，并且相對(duì)于線性滑?？刂启敯粜愿鼜?qiáng)。由于TSMC自身也存在缺點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)奇異問題[2-3]，為了避免奇異問題的出現(xiàn)，對(duì)終端滑模面進(jìn)行了改進(jìn)[4]。由于要設(shè)計(jì)的控制器依賴于機(jī)械手的精確數(shù)學(xué)模型，而機(jī)械手的某些項(xiàng)是不能確定的，可以采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去逼近不確定項(xiàng)。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種非線性模型，具有收斂速度快、全局逼近能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于復(fù)雜不確定問題具有自適應(yīng)能力和自學(xué)習(xí)能力，可以應(yīng)用于非線性和不確定系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)中[5]。為了簡(jiǎn)化自適應(yīng)算法，增強(qiáng)實(shí)時(shí)控制的要求，用單個(gè)參數(shù)取代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。把RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和終端滑模算法結(jié)合起來控制兩關(guān)節(jié)的機(jī)械手，并用Lyapunov定理證明穩(wěn)定性，然后用Matlab/Simulink仿真實(shí)驗(yàn)。

1 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型

一個(gè)串行N關(guān)節(jié)機(jī)器人機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型可以用拉格朗日形式表示為[6]

式中：q∈Rn是關(guān)節(jié)角位移量；∈Rn是關(guān)節(jié)速度矢量；τ∈Rn是施加的扭矩輸入向量；M（q）∈Rn×n是非奇異的正定慣性力矩陣；C（q，）∈Rn是離心力和哥氏力項(xiàng)；G（q）∈Rn是重力力矩矢量；B=diag｛B1，B2，…，Bn｝是代表機(jī)器手的粘性摩擦系數(shù)的對(duì)角矩陣。

1.1 機(jī)械手的混合動(dòng)力學(xué)模型

為了應(yīng)用適當(dāng)?shù)目刂扑惴?，機(jī)器手動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)該轉(zhuǎn)換為每個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)執(zhí)行器的等效動(dòng)力學(xué)模型[7-8]。機(jī)械臂的每個(gè)關(guān)節(jié)是由直流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)的，在電機(jī)軸上機(jī)械手驅(qū)動(dòng)器動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型可以描述為

式中：τm∈Rn是電機(jī)提供的轉(zhuǎn)矩矢量；qm∈Rn是電機(jī)軸的角位移；τ1∈Rn表示在電機(jī)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩矢量；Jm=diag｛Jm1，Jm2，…，Jmn｝是電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)角矩陣；Bm=diag｛Bm1，Bm2，…，Bmn｝是電機(jī)軸的粘性摩擦系數(shù)的對(duì)角矩陣。

由于每個(gè)關(guān)節(jié)是由一個(gè)直流伺服電機(jī)通過諧波傳動(dòng)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)，我們可以得到式中：N=diag｛n1，n2，…，nn｝是一個(gè)齒輪比的對(duì)角矩陣。

直流電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩是與電樞電流成比例的。所以，我們可以得到：

式中：Kτ=diag｛Kτ1，Kτ2，…，Kτn｝是一個(gè)轉(zhuǎn)矩常數(shù)的對(duì)角矩陣；u∈Rn是電動(dòng)機(jī)電樞電流矢量。

式（1）～式（5）機(jī)械手的動(dòng)態(tài)模型可以寫成：

式中：

一般情況下，機(jī)械手系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)具有以下三個(gè)特性：

特性1 慣性矩陣MH（q）是對(duì)稱正定矩陣，存在正數(shù) m1，m2滿足

特性 2 矩陣 CH（q，）和慣性矩陣 MH（q）的導(dǎo) 數(shù)滿足屬于正實(shí)數(shù)）；

1.2 控制目標(biāo)

機(jī)械手的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的新型控制器，使換到機(jī)械手輸出軌跡q快速準(zhǔn)確地跟蹤給定期望軌跡qd，即保證跟蹤誤差e在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。qd是給定的二階連續(xù)可導(dǎo)的期望軌跡，定義跟蹤誤差e=qd-q。

2 改進(jìn)終端滑模面的設(shè)計(jì)

式中：；p=p1/p2，p1和 p2是正奇數(shù)滿足p2＞p1，Λ是正定對(duì)角參數(shù)矩陣。

在式（7）中S的第i個(gè)元素可以寫成如下形式：

當(dāng)終端滑模中Si=0，表明：

從式（9）中知，ei=0 是系統(tǒng)（7）的終端吸引子，然后對(duì)跟蹤誤差ei到達(dá)零的時(shí)間tei為

是可導(dǎo)的，我們得到由于含有負(fù)分?jǐn)?shù)冪 p-1，如果0，ei=0時(shí)，可能會(huì)引起奇異問題。

在終端滑模面上時(shí)（S=0），根據(jù)式（9）則有：

如果 p＞1/2，中就會(huì)沒有負(fù)分?jǐn)?shù)冪。 但是，在Si≠0和ei=0的情況下仍然存在奇異性問題?？梢圆捎瞄g接的方法避免奇異性問題[10]，通過切換終端滑模面和線性滑模面來避免奇異問題，但是由于簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換并不能完全消除奇異，提出了改進(jìn)的終端滑模面。 我們首先改進(jìn)為

式中

式中：是一個(gè)正常數(shù)；Λii是一個(gè)正常數(shù)。

改進(jìn)的滑模面如圖1所示，表示為

式中：λ（e）= [λ1（e1），λ2（e2），…，λn（en） ]T。

圖1 改進(jìn)的終端滑模面Fig.1 Improved terminal sliding surface

通過選擇p＞1/2，終端滑模控制（Si=0）的奇異問題是可以避免的。在Si≠0情況下，當(dāng)ei進(jìn)入到|ei|≤esi區(qū)域時(shí)，從終端滑動(dòng)面切換到一般滑動(dòng)面上。因此，在Si≠0且ei=0的情況下，奇異性問題也可以被克服。

3 新型控制器的設(shè)計(jì)

3.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)的TSMC控制器設(shè)計(jì)

由和式（8），閉環(huán)動(dòng)力學(xué)公式可以寫成：

式中機(jī)器手非線性函數(shù)為

如果機(jī)器手的非線性函數(shù)f是已知的，那么控制器可以定義為

式中：K是一個(gè)正定對(duì)角常數(shù)矩陣；r=r1/r2，其中r1和r2是正奇數(shù)滿足

在式 （17）中控制輸入u包含一個(gè)非線性PD項(xiàng)，就是把式（17）代入式（8）中，我們可以得到如下的閉環(huán)系統(tǒng)：

用Lyapunov理論證明閉環(huán)系統(tǒng)（18）的穩(wěn)定性。問題是如果f的參數(shù)和結(jié)構(gòu)是未知的，那么基于模型的控制器是不可用的。因此，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性函數(shù) f。

假設(shè)存在一個(gè)不變的理想權(quán)重矩陣w，由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性函數(shù)的性質(zhì)可知f可以寫成：

式中：為輸入向量；ε是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模誤差；h（x）為常用的高斯函數(shù)。

上述控制器中RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性函數(shù)f中的未知參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了無需模型信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制，但是該算法不利于實(shí)時(shí)控制。那么，我們對(duì)該算法進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)，采用單個(gè)參數(shù)φ，不需要基于數(shù)學(xué)模型信息，可代替RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)值W，以此來實(shí)現(xiàn)基于單參數(shù)估計(jì)的自適應(yīng)控制[11]。

取為第 i個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)權(quán)值，并且令=wi-，取單個(gè)參數(shù) φ，令，φ 為正常數(shù)，為 φ 的估計(jì)值，

定義根據(jù)GL算子[12]，我們定義：

式中的?表示矩陣相乘。

把式（19）可以改寫成

那么控制輸入u就設(shè)計(jì)為

把改進(jìn)的控制輸入（21）代入式（6）中得：

3.2 新型控制器穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)：

式中，γ＞0。

于是：

由于：

又由于：

式中：n為機(jī)械手關(guān)節(jié)的個(gè)數(shù)。

于是由式（24）～式（28）計(jì)算，可以推導(dǎo)出式（29）為

設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

則：

為了保證（t）≤0，只需要保證≤STKSr。經(jīng)過理論推導(dǎo)可以證明控制器的穩(wěn)定性。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

為了說明驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制算法的優(yōu)點(diǎn)，把RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)的終端滑?？刂坪蚏BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與線性滑模結(jié)合的算法進(jìn)行比較，然后通過Matlab/Simulink進(jìn)行盾構(gòu)機(jī)換刀機(jī)械手模型建模仿并進(jìn)行仿真驗(yàn)證，取機(jī)械手的模型參數(shù)：

為了更好地顯示動(dòng)態(tài)的跟蹤效果，取p=［p1，p2，p3，p4，p5］=［2.9，0.76，0.87，3.04，0.87］。 兩個(gè)關(guān)節(jié)輸入的期望軌跡分別是 qd1=0.05sint，qd2=0.07sint。

4.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的LSMC控制器

LSMC控制采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這種控制方案應(yīng)用很廣泛，控制律為

式中：

RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重更新律為控制參數(shù)為 K=diag［30，30］，Λ＝diag［5，5］，Γ＝20，σ＝0.006。 選取模型的初始狀態(tài)值為［0.09，0，-0.09，0］，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

4.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)的TSMC控制器

TSMC控制采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)，控制參數(shù)為 K=diag［50，50］，Λ=diag［20，20］，σ＝0.003，diag ［1，1］，選取模型的初始狀態(tài)值為［0.5，0，0.5，0］，仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖2 RBFNN的LSMC機(jī)械手關(guān)節(jié)位置跟蹤Fig.2 RBFNN LSMC manipulator joint position tracking

圖3 RBFNN的LSMC機(jī)械手關(guān)節(jié)速度跟蹤Fig.3 RBFNN LSMC manipulator joint velocity tracking

圖4 RBFNN的LSMC機(jī)械手關(guān)節(jié)‖f（x）‖與逼近對(duì)比曲線Fig.4 RBFNN LSMC manipulator joint and approximation comparison curve

圖5 RBFNN最小參數(shù)TSMC機(jī)械手關(guān)節(jié)位置跟蹤Fig.5 RBFNN minimum parameter TSMC manipulator joint position tracking

圖6 RBFNN最小參數(shù)TSMC機(jī)械手關(guān)節(jié)速度跟蹤Fig.6RBFNN minimum parameter TSMC manipulator joint velocity tracking

圖7 RBFNN最小參數(shù)TSMC機(jī)械手關(guān)節(jié)‖f（x）‖與逼近對(duì)比曲線Fig.7 RBFNN minimum parameter TSMC manipulator joint and approximation comparison curve

兩種控制器分別對(duì)兩關(guān)節(jié)機(jī)械手控制的仿真結(jié)果從圖中可以很明顯地看出，從圖2和圖5對(duì)比和圖3和圖6對(duì)比得到，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)的TSMC控制器的機(jī)械手各關(guān)節(jié)的位置跟蹤和速度跟蹤性能方面均不到1 s就跟蹤上期望值了，而采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的LSMC控制器的機(jī)械手各關(guān)節(jié)的跟蹤性能都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過1 s。在逼近性能方面，比較圖4和圖7，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的LSMC控制器的機(jī)械手也沒有采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)的TSMC控制器的機(jī)械手的逼近速度快?？梢宰C明本文所設(shè)計(jì)的控制器在各關(guān)節(jié)位置跟蹤、速度跟蹤及其逼近未知參數(shù)性能方面均優(yōu)于前者。

5 結(jié)語

本文提出的基于RBF網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)學(xué)習(xí)法的機(jī)械手終端滑?？刂品椒?，不依賴于機(jī)械手的精確數(shù)學(xué)模型，當(dāng)機(jī)械手的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能確定或者未知時(shí)，仍然能保證機(jī)械手系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能。采用改進(jìn)的終端滑模面，既避免了一般線性滑模面，不能再有限時(shí)間收斂的問題，又避免了終端滑模的奇異問題；用一個(gè)單一的參數(shù)來代替神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，簡(jiǎn)化了自適應(yīng)算法，設(shè)計(jì)了性能優(yōu)化的控制器；用Lyapunov理論證明了該算法的穩(wěn)定性，并且用仿真的方法驗(yàn)證了算法的正確性、有效性和優(yōu)良性。在本文的基礎(chǔ)上，我們今后在以下方面進(jìn)一步研究：我們會(huì)進(jìn)一步的優(yōu)化算法，并應(yīng)用到機(jī)械手實(shí)體上，不斷地提高該算法控制機(jī)械手實(shí)體的精度、速度和準(zhǔn)確性。

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