(安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

主軸系統(tǒng)包括主軸、軸承、刀具和刀柄等零件，是數(shù)控機(jī)床的關(guān)鍵部件。其中主軸部件在自身轉(zhuǎn)動(dòng)和切削力作用下易引起自激和強(qiáng)迫振動(dòng)，致使主軸系統(tǒng)的加工精度和工件的表面質(zhì)量降低，其動(dòng)態(tài)特性直接影響數(shù)控機(jī)床的加工性能。因此，研究主軸動(dòng)態(tài)特性對(duì)機(jī)床的優(yōu)化設(shè)計(jì)和制定合理的切削加工參數(shù)有重要的現(xiàn)實(shí)意義[1-2]。有關(guān)主軸系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析主要采用集中參數(shù)法、傳遞矩陣法、實(shí)驗(yàn)測(cè)試法和有限單元法等方法。其中集中參數(shù)法對(duì)主軸模型分析來(lái)說(shuō)過(guò)于簡(jiǎn)單，目前在主軸線性動(dòng)力學(xué)研究中鮮有采納，但在主軸非線性動(dòng)力學(xué)行為研究中該方法能簡(jiǎn)化問(wèn)題，抓住非線性特征[3]。傳遞矩陣法存在模型精度問(wèn)題，吳文鏡等[4]提出的拓展傳遞矩陣法提高了主軸動(dòng)力學(xué)建模精度，可滿足工程需要。實(shí)驗(yàn)測(cè)試法是主軸動(dòng)力學(xué)研究的常用方法之一，但在主軸設(shè)計(jì)階段實(shí)驗(yàn)無(wú)法進(jìn)行，且約束方式也影響測(cè)試精度[5-6]，目前其多作為理論動(dòng)力學(xué)模型的驗(yàn)證手段。隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的日益發(fā)展，在主軸動(dòng)力學(xué)研究中，有限元法已成為主軸動(dòng)力學(xué)研究的主要方法，學(xué)者們運(yùn)用有限元法對(duì)主軸動(dòng)力學(xué)開(kāi)展了系列研究，Wang等[7]考慮軸承單元的徑向剛度，利用彈簧單元模擬軸承，采用有限元法對(duì)某機(jī)床加工中心進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析；譚峰等[8]以某數(shù)控機(jī)床主軸為研究對(duì)象，將主軸約束簡(jiǎn)化為剛性約束，同時(shí)考慮軸承結(jié)構(gòu)的彈性變形對(duì)主軸的影響，利用ANSYS Workbench軟件對(duì)主軸進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)特性仿真分析。

現(xiàn)有研究文獻(xiàn)表明，在主軸建模過(guò)程中多考慮軸承約束、預(yù)緊力等影響,限于固有頻率和模態(tài)分析[9-10]，實(shí)際加工過(guò)程中主軸對(duì)激勵(lì)(動(dòng)態(tài)切削力)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)是影響切削加工質(zhì)量的重要因素，需考慮具體工況和主軸動(dòng)力學(xué)特性的耦合作用。鑒于此，筆者綜合考量切削工況、軸承預(yù)緊力、主軸轉(zhuǎn)速等影響主軸動(dòng)態(tài)特性的因素，建立主軸單元?jiǎng)恿W(xué)模型，且對(duì)主軸進(jìn)行模態(tài)與諧響應(yīng)分析，以期為下一步的切削穩(wěn)定性研究提供理論基礎(chǔ)。

1 主軸單元的動(dòng)力學(xué)模型

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的知識(shí)可知，主軸單元自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：M表示主軸單元質(zhì)量矩陣；C表示主軸單元阻尼矩陣；K表示主軸單元?jiǎng)偠染仃?；x(t)表示位移向量。

1.1 主軸單元的模態(tài)分析

模態(tài)分析是將動(dòng)力學(xué)微分方程組的物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行解耦，形成由模態(tài)坐標(biāo)和模態(tài)參數(shù)構(gòu)成的獨(dú)立方程組，求解特征方程式(2)可得主軸單元的固有頻率和相應(yīng)的振型。

其中：ωi表示第i階固有振動(dòng)的圓頻率；φi表示第i階振型向量。

1.2 主軸單元的諧響應(yīng)分析

主軸受周期性切削激振力作用，強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中P(t)為激振力。周期性激振力可展成傅里葉級(jí)數(shù)形式，故線性系統(tǒng)只需考慮簡(jiǎn)諧激振力的響應(yīng)，簡(jiǎn)諧激振力可表示為

式中：θ表示相位角；p表示激振力的振幅；ω表示激振力的圓頻率。

采用模態(tài)疊加的方法可得到主軸單元的動(dòng)力響應(yīng)，如

2 主軸單元的有限元模型

基于主軸動(dòng)力學(xué)模型，采用有限元法(finite element method,FEM)對(duì)VDF850數(shù)控機(jī)床的主軸單元?jiǎng)恿W(xué)特性進(jìn)行分析。由三維軟件Solidworks構(gòu)建的主軸三維模型如圖1。將建立的三維實(shí)體模型導(dǎo)入有限元軟件ANSYS，主軸材料選用45號(hào)鋼，材料屬性設(shè)置為：密度7.8×103kg/m3；彈性模量2.1×105MPa；泊松比0.3。采用Solid45三維實(shí)體單元對(duì)主軸劃分網(wǎng)格。圖2為網(wǎng)格劃分后的主軸有限元模型。主軸網(wǎng)格劃分后節(jié)點(diǎn)數(shù)為18 348，單元數(shù)為16 820。

圖2 主軸單元有限元模型Fig.2 Finite element model of spindle unit

主軸單元包括主軸和軸承，主軸的動(dòng)力學(xué)特性和軸承的位置及剛度緊密相關(guān)。VDF主軸的前軸承(兩個(gè)串聯(lián)使用)、后軸承(兩個(gè)背靠背使用)型號(hào)分別為7012A5TYNSUMP4和7011A5TYNSUMP4的角接觸球軸承，接觸角為25°。在主軸單元有限元分析建模時(shí)，由4個(gè)周向均勻分布的彈簧模擬軸承結(jié)構(gòu)的彈性支承，單元類型為Combin14，如圖3。并假定預(yù)緊后的軸承只有徑向剛度。對(duì)彈簧單元一端(連接主軸)的節(jié)點(diǎn)(圖3中T5,T6,T7,T8)自由度進(jìn)行軸向約束，另一端(連接主軸箱)的節(jié)點(diǎn)(T1,T2,T3,T4)進(jìn)行自由度全約束，約束情況和實(shí)際約束一致。圖2為采用彈簧模擬軸承作用的主軸單元有限元模型。

圖3 虛擬彈簧模擬軸承對(duì)軸的彈性支承Fig.3 Virtualspringsimulationofbearing’s elastic support to spindle

3 主軸單元?jiǎng)恿W(xué)仿真分析

3.1 預(yù)緊力與主軸固有頻率

基于上述的主軸單元有限元模型進(jìn)行主軸模態(tài)和諧響應(yīng)仿真分析，軸承預(yù)緊力通過(guò)徑向接觸剛度對(duì)主軸固有頻率產(chǎn)生影響。文中以VDF850數(shù)控機(jī)床主軸裝配的角接觸軸承計(jì)算徑向接觸剛度，預(yù)緊力和徑向剛度關(guān)系方程式如下[11]

式中：kr為軸承徑向剛度，N/m；D為軸承滾動(dòng)體直徑，m；Z為軸承滾動(dòng)體數(shù)目；α為軸承接觸角，°；Fa為軸承預(yù)緊力，N。

對(duì)軸承施加0～500 N的預(yù)緊力，運(yùn)用式(6)計(jì)算軸承的徑向剛度。有限元模型中，根據(jù)軸承位置輸入不同預(yù)緊力作用下的剛度系數(shù)，通過(guò)ANSYS軟件對(duì)主軸單元進(jìn)行仿真計(jì)算，提取前7階固有頻率，圖4為主軸在不同預(yù)緊力作用下的固有頻率變化曲線。由圖4可得出：主軸的第2與第3階，第4與第5階，第6與第7階固有頻率相同，振型表現(xiàn)為正交，可將其看作重根，重根和主軸的軸對(duì)稱特性有關(guān)；軸承在0～500 N預(yù)緊力作用下，主軸的各階固有頻率均隨預(yù)緊力增加而增大，第6，7階固有頻率變化幅度最小。增大預(yù)緊力對(duì)提高系統(tǒng)的高階固有頻率作用有限，其一般不作為提高系統(tǒng)動(dòng)剛度的主要方法。

圖4 不同預(yù)緊力的固有頻率變化曲線Fig.4 Variation curves of natural frequencies with different preload forces

3.2 主軸模態(tài)分析

將150 N預(yù)緊力下的徑向剛度輸入主軸單元的有限元模型，在有限元軟件ANSYS中進(jìn)行模態(tài)仿真計(jì)算，各階振型如圖5。由圖5可看出：第2，3階振型分別對(duì)應(yīng)xz和yz平面的一彎模態(tài)，模態(tài)的節(jié)點(diǎn)位于主軸后端，主軸前端(安裝銑刀處)振型幅值最大，可見(jiàn)該模態(tài)對(duì)切削精度的影響較大；第4，5階振型也是xz和yz平面的一彎模態(tài)，但模態(tài)的節(jié)點(diǎn)位于主軸前端，對(duì)切削精度的影響相對(duì)較小；第6階振型為yz平面的二彎模態(tài)，該模態(tài)最大幅值也位于主軸后端，對(duì)主軸前端的影響不大。

圖5 主軸模態(tài)振型Fig.5 Modal vibration mode of spindle

主軸為回轉(zhuǎn)構(gòu)件，第i階臨界轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)主軸的第i階固有頻率，由式(7)計(jì)算

式中：ni為第i階臨界轉(zhuǎn)速，r/min；fi為主軸第i階固有頻率，Hz。

不考慮剛體模態(tài)，實(shí)際工況中，如果主軸轉(zhuǎn)速與臨界轉(zhuǎn)速相近，主軸將獲得最大的撓度，產(chǎn)生共振，嚴(yán)重影響加工質(zhì)量，在銑削加工過(guò)程中應(yīng)避免。臨界轉(zhuǎn)速是表征回轉(zhuǎn)構(gòu)件動(dòng)力學(xué)特性的重要指標(biāo)之一，主軸前階臨界轉(zhuǎn)速見(jiàn)表1。VDF850數(shù)控機(jī)床主軸最高工作轉(zhuǎn)速為8 000 r/min，通過(guò)表1可看出，主軸的一階臨界轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)大于最高工作轉(zhuǎn)速，在實(shí)際銑削加工過(guò)程中應(yīng)考慮多齒銑刀對(duì)激勵(lì)頻率的放大作用，以本文的四齒銑刀為例，最高工作轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的激振頻率為32 000 r/min，低于一階臨界轉(zhuǎn)速36 009 r/min。表明主軸單元能有效避免共振區(qū)，動(dòng)力性能良好。

表1 主軸前6階固有頻率和主軸臨界轉(zhuǎn)速Tab.1 The first 6 natural frequencies of the spindle and spindle critical speed

3.3 主軸諧響應(yīng)分析

數(shù)控機(jī)床加工時(shí)，主軸受到的激勵(lì)是工件傳遞到輸出軸上的動(dòng)態(tài)切削力，該激勵(lì)為周期性激勵(lì)，激勵(lì)周期與主軸轉(zhuǎn)速、銑刀齒數(shù)有關(guān)。主軸刀柄型號(hào)BT40，刀具選用直徑為22 mm的4齒立銑刀加工45號(hào)鋼，加工方式為順銑，銑削力計(jì)算公式如∶下[12]：

式中：CF為銑削力系數(shù)，取669；ae為切削寬度，取16.5 mm；af為每次進(jìn)給量，取0.22 mm；ap為背吃刀量，取1.3 mm；N為銑刀齒數(shù)，取4；d為銑刀直徑，取22 mm；Fx為周向切削力；Fy為徑向力；Fz為軸向力。據(jù)此求出三向切削力的幅值Fx=911.49 N；Fy=729.19 N，F(xiàn)z=546.89 N。

根據(jù)模態(tài)分析的固有頻率范圍，取0～3 000 Hz區(qū)間段的頻率對(duì)主軸進(jìn)行諧響應(yīng)分析，主軸前端在x(周向)、y(徑向)、z(軸向)3個(gè)方向上的動(dòng)柔度幅值和頻率的關(guān)系如圖6。由圖6可知，激振力作用下，在x，y和z3個(gè)方向動(dòng)柔度幅值頻率響應(yīng)曲線有3處峰值，說(shuō)明在600，971，2 512 Hz附近發(fā)生明顯的共振現(xiàn)象，這和模態(tài)分析的前6階固有頻率的數(shù)值吻合；其中600 Hz附近的動(dòng)柔度幅值最大，模態(tài)分析也表明第2，3階模態(tài)對(duì)刀尖處的影響最為顯著；x和y方向的動(dòng)柔度幅值相近，這和主軸的軸對(duì)稱特性有關(guān)，而z方向的動(dòng)柔度幅值較x，y方向小，說(shuō)明軸向動(dòng)剛度最大，故主軸的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)往往忽略軸向振動(dòng)，建立xy兩自由度的銑削動(dòng)力學(xué)模型。

圖6 主軸動(dòng)柔度諧響應(yīng)譜線Fig.6 Harmonic response spectrum of spindle dynamic flexibility

4 結(jié) 論

以VDF850數(shù)控機(jī)床主軸為研究對(duì)象，利用彈簧單元模擬主軸軸承的彈性支承，并以改變預(yù)緊力的方式改變其接觸剛度，借助ANSYS有限元軟件對(duì)主軸進(jìn)行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，所得主要結(jié)論如下：

1)主軸軸承在0～500 N預(yù)緊力作用下的模態(tài)頻率總體呈上升趨勢(shì)，主軸的各階固有頻率隨預(yù)緊力增大略有增大；

2)模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析皆表明影響切削質(zhì)量主要是第2，3階的模態(tài)，后期主軸動(dòng)力學(xué)優(yōu)化和減振分析中應(yīng)重視；

3)主軸第一階非零固有頻率對(duì)應(yīng)的臨界速度為36 009.6 r/min，實(shí)際銑削加工過(guò)程中應(yīng)考慮多齒銑刀對(duì)激勵(lì)頻率的放大作用，主軸所受激勵(lì)的頻率在600，971，2 512 Hz附近時(shí)易產(chǎn)生共振，加劇刀具的磨損，影響零件的加工精度，在制定切削工藝參數(shù)時(shí)應(yīng)避免。