韓星星,趙麗華

(西安交通大學(xué)城市學(xué)院物理教學(xué)部,陜西 西安 710018)

1 引 言

分步傅里葉算法(SSM)是一種數(shù)值算法,被廣泛用于模擬激光在湍流介質(zhì)中的傳輸和散射。此算法最早由Martin等人于1988年用于大氣湍流中的光傳輸中[1],并限定了算法的適用范圍。1990年,Martin針對(duì)算法中存在的邊界反射問(wèn)題,提出了吸收邊界法對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn),擴(kuò)展了其應(yīng)用范圍[2]。2000年,Belmonte對(duì)算法中各參數(shù)取值問(wèn)題進(jìn)行了深入地研究,明確了參數(shù)取值范圍[3]。2005年,Belmonte 把分步算法擴(kuò)展應(yīng)用到了雙程傳輸問(wèn)題中,研究了漫射目標(biāo)回波平均強(qiáng)度隨著目標(biāo)高度的變化規(guī)律[4]。2006年,Xiao Xifeng等人把分步算法擴(kuò)展到部分相干光束的傳輸模擬中,研究了湍流中部分相干光的閃爍問(wèn)題[5-6]。2009年,錢(qián)仙妹等人研究了非均勻湍流中的波束傳輸模擬算法,比較了三種備用的間距選擇方案[7],結(jié)果顯示過(guò)大的相位屏間距會(huì)顯著增大誤差。之后分步算法雖多有應(yīng)用,但對(duì)參數(shù)取值問(wèn)題的討論并沒(méi)有太大進(jìn)展[8-14],算法中的邊界反射問(wèn)題始終限制了相位屏間距的取值范圍,并造成較大的誤差。

本文針對(duì)邊界反射問(wèn)題,對(duì)湍流大氣中激光波束斜程傳輸?shù)姆抡嫠惴ㄟM(jìn)行了改進(jìn),在吸收邊界法的基礎(chǔ)上,引入濾波函數(shù)法,極大拓展了仿真步長(zhǎng)的取值范圍。在此基礎(chǔ)上,模擬計(jì)算了激光沿斜程路徑上行及下行傳輸過(guò)程中相干長(zhǎng)度及閃爍指數(shù)的變化規(guī)律,并與理論值進(jìn)行了比較。

2 分步傅里葉算法

激光在湍流大氣中的傳輸過(guò)程可以用分步傅里葉算法來(lái)模擬,模擬過(guò)程如圖1所示。

圖1 分步傅里葉算法原理圖

步進(jìn)公式[16]為:

(1)

等效相位屏Si(ρ′)由譜反演法生成,離散形式的相位屏生成公式為:

(2)

(3)

其中,r0是大氣相干長(zhǎng)度:

(4)

大氣湍流結(jié)構(gòu)常數(shù)隨著離地面高度的分布為:

(5)

模擬默認(rèn)參數(shù)如下:D=0.6 m,N=512,λ=1.064 μm。

3 分步傅里葉算法步長(zhǎng)取值要求

分步傅里葉算法把連續(xù)分布的湍流大氣的擾動(dòng)等效為一系列隨機(jī)相位薄屏的擾動(dòng),這是一種近似行為,其適用范圍是有要求的。根據(jù)Martin和Flatte的研究結(jié)果[15],要保證相位屏近似成立,需:

(6)

從物理意義上講,分步算法是把光場(chǎng)分解為一系列不同方向的平面波,各平面波在真空中傳輸后在下一個(gè)相位屏前重新合成新的光場(chǎng)。方向不平行于傳播方向的光場(chǎng)在真空傳播過(guò)程中會(huì)超出相位屏范圍,但是在分步傅里葉算法中,相位屏中的能量是守恒的,這意味著向外發(fā)散的能量會(huì)被邊界反射回來(lái),從而對(duì)屏上的場(chǎng)帶來(lái)誤差。

為了解決這個(gè)問(wèn)題,傳統(tǒng)方法是給相位屏邊界設(shè)置一個(gè)吸收層,到達(dá)邊界一定距離的場(chǎng)被逐漸衰減。設(shè)吸收層的厚度為Da,一般Da的取值不超過(guò)相位屏寬度的1/8。對(duì)于距離邊界距離為xa的網(wǎng)格點(diǎn),衰減系數(shù)為[15]:

Sa=[1-cos(πxa/Da)]/2

(7)

圖2是利用分步傅里葉算法模擬一個(gè)準(zhǔn)直高斯波束在真空中傳播5000 m后形成的光強(qiáng)分布曲線,其中,M是路徑上的相位屏數(shù)目。在無(wú)吸收邊界的情況下,光強(qiáng)分布曲線與相位屏數(shù)目無(wú)關(guān),高頻分量反射造成的光強(qiáng)的劇烈起伏充滿整個(gè)相位屏,此時(shí)的光場(chǎng)的模擬顯然是無(wú)效的。在設(shè)置吸收邊界的情況下,相位屏數(shù)越多,模擬得到的光強(qiáng)分布曲線與理論曲線越吻合。當(dāng)M=20時(shí),在吸收邊界以?xún)?nèi),光強(qiáng)模擬值與理論值已經(jīng)非常接近了。這說(shuō)明吸收邊界可以有效地解決高頻分量的邊界反射問(wèn)題。

圖2 在真空中利用分步傅里葉算法模擬準(zhǔn)直高斯波束傳輸距離L后的光強(qiáng)分布(附加吸收邊界),其中,L=5000 m,W0=0.5 cm

4 濾波函數(shù)法

在斜程路徑上,湍流主要分布在大氣底層,而在高空中湍流很弱。根據(jù)公式(6),超過(guò)一定高度后,不論路徑長(zhǎng)度,只需要設(shè)置一個(gè)相位屏就可以。但圖2表明,吸收邊界對(duì)相位屏間距的拓展是有限的,即使不考慮湍流,步長(zhǎng)超過(guò)一定值后也會(huì)引起較大誤差,步長(zhǎng)的最大值約為250 m。

這種情況下,現(xiàn)有文獻(xiàn)中的解決方法是增加相位屏數(shù)目[4],但這會(huì)降低模擬效率。為了提高模擬效率,本文提出濾波函數(shù)法。

當(dāng)激光傳播極遠(yuǎn)的距離后,光軸附近的場(chǎng)會(huì)趨向于平面波,這意味著在屏間傳輸過(guò)程中高頻分量被衰減,低頻分量才能到達(dá)下一個(gè)相位屏,即相位屏間的自由傳輸相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器。而傳統(tǒng)分步算法中各空間頻率分量的強(qiáng)度是不變的,這顯然不符合現(xiàn)實(shí)。因此需要給算法中引入一個(gè)低通濾波函數(shù)。濾波函數(shù)形式參照邊界吸收函數(shù):

(8)

其中,截止頻率為:

κh=kD/Δz

(9)

圖3顯示了使用濾波法模擬得到的準(zhǔn)直激光在傳播不同距離后的光強(qiáng)分布情況,在模擬過(guò)程中保持M=1。在相位屏中間區(qū)域,模擬結(jié)果與理論值吻合得很好,但在靠近邊界處,模擬結(jié)果出現(xiàn)較大的誤差。在不同傳播距離條件下,模擬結(jié)果有效的區(qū)間都大致相同,約為-D/4

圖3 在真空中利用分步傅里葉算法

5 大氣湍流中斜程路徑上相位屏的設(shè)置方式

在斜程路徑上,湍流沿路徑分布不均勻,高度越高,湍流越弱,相位屏之間的間距也應(yīng)該越大。但考慮到濾波函數(shù)法對(duì)有效區(qū)域縮減嚴(yán)重,不宜多用,因此綜合吸收邊界法和濾波函數(shù)法,圖4給出了一種斜程路徑上的相位屏設(shè)置方式,此路徑傾斜角(即路徑方向與水平面的夾角) θ=10°,地面處湍流結(jié)構(gòu)常數(shù)C0=1×10-13m-2/3,圖4中的曲線是湍流強(qiáng)度隨高度的分布,水平線代表了相位屏的位置。在z<1750 m這一段路徑上,相位屏均勻設(shè)置且間距250 m,相位屏附加吸收邊界。在z=1750 m處設(shè)置相位屏,同時(shí)附加吸收邊界和濾波函數(shù),其后不論路徑長(zhǎng)度不再設(shè)置相位屏。

圖4 斜程路徑上的相位屏設(shè)置方式

圖5給出了準(zhǔn)直高斯波束(W0=3 cm)在湍流大氣中沿圖4所示的傾斜路徑上行、下行傳輸距離L=5 km的光斑樣本。

圖5 高斯波束在湍流中沿斜程路徑傳輸?shù)墓獍邩颖?/p>

由圖5可見(jiàn),在上行路徑上,光束充滿了整個(gè)相位屏(除了邊界吸收區(qū)域內(nèi)),且形成較大的散斑。在下行路徑上,光束仍局限在相位屏中心較小區(qū)域內(nèi),形成的散斑也較小。這是因?yàn)閷?duì)激光有明顯影響的湍流基本上只存在于距地面高度1500 m以下,上行傳輸?shù)募す庠诔跏茧A段就受到湍流的影響,相位受到較大的擾動(dòng),反映在接收屏上即光束的擴(kuò)展較大。在之后的更長(zhǎng)的路徑上,激光相當(dāng)于在真空中傳輸,散斑場(chǎng)在真空中傳輸越遠(yuǎn),散斑尺寸就越大。而下行波束則相反,在初始路徑上不受擾動(dòng),波束基本保持完全相干,在接近地面時(shí)光場(chǎng)才受到湍流的影響,形成了尺寸很小的散斑。

6 光斑統(tǒng)計(jì)特征計(jì)算驗(yàn)證

6.1 相干長(zhǎng)度

在大氣湍流中,模擬得到的每個(gè)光斑樣本都是隨機(jī)的,但這些光斑符合特定的統(tǒng)計(jì)特性。為了驗(yàn)證本文提出的濾波函數(shù)法在湍流環(huán)境下的有效性,我們?cè)谀M得到100個(gè)樣本的基礎(chǔ)上,統(tǒng)計(jì)計(jì)算了湍流中光場(chǎng)的散斑場(chǎng)尺寸和強(qiáng)度起伏方差,即相干長(zhǎng)度和光強(qiáng)閃爍指數(shù),并與理論值作對(duì)比。

要計(jì)算光場(chǎng)的相干長(zhǎng)度,首先要計(jì)算光場(chǎng)的相干度函數(shù)[14]:

(10)

其中,I(m,n)是對(duì)所有光斑樣本上在同一位置(m,n)上對(duì)光強(qiáng)求平均得到。

對(duì)所有的γ(iΔx,jΔx)求平均得到γT(iΔx,jΔx),沿幅角求平均可得相干度函數(shù)γ(ρ),利用γ(ρ0)=e-1得到接收?qǐng)鱿喔砷L(zhǎng)度ρ0。

圖6是準(zhǔn)直激光波束激光沿斜程路徑傳輸時(shí)的場(chǎng)相干長(zhǎng)度?？梢?jiàn)模擬值與理論值吻合得很好,說(shuō)明本文提出的濾波函數(shù)及相應(yīng)的相位屏設(shè)置方式是可行的。在大部分情況下,模擬值比理論值略小,尤其在上行路徑上,這時(shí)的波束發(fā)散比較強(qiáng)烈,雖然附加了吸收邊界和濾波函數(shù),及仍然不能完全消除部分高頻成分的邊界反射。

圖6 湍流大氣中激光波束斜程傳輸時(shí)相干長(zhǎng)度模擬結(jié)果

在傳輸路徑較短時(shí),激光經(jīng)過(guò)同樣距離的上行或下行傳輸后,相干長(zhǎng)度差別很小,這是因?yàn)榇藭r(shí)路徑全部位于湍流范圍中。隨著路徑長(zhǎng)度的增大,上行路徑與下行路徑的差別越來(lái)越大,激光相干長(zhǎng)度差別也越大。在下行路徑上,相干長(zhǎng)度隨著路徑長(zhǎng)度的增大而逐漸減小,最終穩(wěn)定在1 cm左右,所以在大多數(shù)下行傳輸?shù)膶?shí)際應(yīng)用中,如衛(wèi)星對(duì)地面的激光通信中,不論衛(wèi)星高度如何,地面接受到的激光散斑大小是固定的。相干長(zhǎng)度逐漸減小。隨著路徑長(zhǎng)度的增大,上行路徑和下行路徑上波束特性的差別越來(lái)越大。在上行路徑上,相干長(zhǎng)度存在一個(gè)最小值,在越過(guò)最小值位置后,路徑越長(zhǎng),激光散斑越大。這和圖5中得到的信息是一致的。

6.2 閃爍指數(shù)

光斑的閃爍指數(shù)是另一個(gè)很重要的統(tǒng)計(jì)量,由于光斑不同位置處,閃爍指數(shù)是不同的,本文只統(tǒng)計(jì)計(jì)算了光斑的中心閃爍指數(shù)。理論上只能利用相位屏中心點(diǎn)處光強(qiáng)來(lái)統(tǒng)計(jì),但實(shí)際上為了節(jié)省計(jì)算量,光斑中心一個(gè)圓域內(nèi)的所有點(diǎn)都可以作為有效點(diǎn)。假設(shè)光斑的有效半徑為We,有效區(qū)域半徑取為Ne=0.2We/Δx。

對(duì)于每個(gè)光斑樣本,都得到對(duì)應(yīng)的閃爍指數(shù)[14]:

(11)

對(duì)所有光斑的閃爍指數(shù)求平均得:

(12)

圖7是準(zhǔn)直激光波束激光沿斜程路徑傳輸時(shí)的閃爍指數(shù)。理論顯示對(duì)于同一條路徑,上行傳輸和下行傳輸時(shí)的閃爍指數(shù)是相同的。模擬得到的閃爍指數(shù)比理論值略大,而下行路徑上的閃爍指數(shù)又比上行路徑上的大,但總體來(lái)說(shuō)三條曲線之間的誤差在合理范圍內(nèi),本文提出的算法是可行的。

圖7 湍流大氣中激光波束斜程傳輸時(shí)閃爍指數(shù)模擬結(jié)果

7 結(jié) 論

本文主要研究了斜程路徑上相位屏的設(shè)置問(wèn)題,結(jié)果顯示吸收邊界法可以有效提高分步算法的效率(更少的相位屏)和精度(更小的誤差),但步長(zhǎng)存在上限。而濾波函數(shù)法徹底消除了對(duì)步長(zhǎng)的上限(在真空中),但是相位屏有效區(qū)域縮小較嚴(yán)重(只有整個(gè)相位屏面積的1/4)。兩種方法相結(jié)合用于大氣湍流中激光波束斜程傳輸?shù)姆抡?減小了相位屏的設(shè)置,提高了仿真效率。在此基礎(chǔ)上,本文對(duì)斜程湍流中激光光斑的相干長(zhǎng)度及閃爍指數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)計(jì)算,結(jié)果與Rytov理論給出的結(jié)果比較吻合,再一次證明了本文提出的算法的有效性。

參考文獻(xiàn):

[1] Martin J M,Flatte S M.Intensity images and statistics from numerical simulation of wave propagation in 3-D random media[J].Appl.Opt.,1988,27(11):2111-2126.

[2] Martin J M,Flatte S M.Simulation of point-source scintillation through three-dimensional random media[J].J.Opt.Soc.Am.A.,1990,7(5):838-847.

[3] Belmonte A.Feasibility study for the simulation of beam propagation:consideration of coherent lidar performance[J].Appl.Opt.,2000,39(30):5426-5445.

[4] Belmonte A.Coherent return turbulent fluctuations in ground lidar systems profiling along slant paths[J].Optics Express,2005,13(23):9598-9604.

[5] Xiao X,Voelz D.Wave optics simulation of pseudo-partially coherent beam propagation through turbulence:application to laser communications[J].USA:SPIE-The International Society for Optical Engineering,2006:63040-63041.

[6] Xiao X,Voelz D.Wave optics simulation approach for partial spatially coherent beams[J].Optics Express,2006,14(16):6986-6992.

[7] QIAN Xianmei,ZHU Wenyue,RAO Ruizhong.Phase screen distribution for simulating laser propagationalong an inhomogeneous atmospheric path[J].Acta Physica Sinica,2009,58(9):6633-6639.(in Chinese)

錢(qián)仙妹,朱文越,饒瑞中.湍流路徑上光傳播數(shù)值模擬的相位屏分布[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(9):6633-6639.

[8] Xiao X,Voelz D.Wave optics simulation of partially coherent and partially polarized beam propagation in turbulence[J].Proc.SPIE,2009,7464：74640T.

[9] Qian X M,Zhu W Y,Rao R Z.Numerical investigation on propagation effects of pseudo-partially coherent Gaussian Schell-model beams in atmospheric turbulence[J].Optics Express,2009,17(5):3782-3791.

[10] QIAN Xianmei,ZHU Wenyue,RAO Ruizhong.The aperture averaging effect of scintillation of pseudo-partially Gaussian-Schell model beampropagation in turbulent atmosphere[J].Acta Physica Sinica,2013,42(4):044203.(in Chinese)

錢(qián)仙妹,朱文越,饒瑞中.偽部分相干高斯-謝爾模型光束在湍流大氣中傳播的閃爍孔徑平滑效應(yīng)[J].物理學(xué)報(bào),2013,42(4):044203.

[11] QIAN Xianmei,RAO Ruizhong.Spatial distribution of Gaussian-beam scintillation in atmosphere by numerical simulation[J].Chinese Journal of Quantum Electronics,2006,23(3):320-324.(in Chinese)

錢(qián)仙妹,饒瑞中.間分布的數(shù)值模擬研究[J].量子電子學(xué)報(bào),2006,23(3):320-324.

[12] QIAN Xianmei,ZHU Wenyue,RAO Ruizhong.Numerical simulation of turbulent effects of laser propagation alonga ground-space slant atmospheric path[J].Infrared and Laser Engineering,2008,37(5):777-782.(in Chinese)

錢(qián)仙妹,朱文越,饒瑞中.地空激光大氣斜程傳輸湍流效應(yīng)的數(shù)值模擬分析[J].紅外與激光工程,2008,37(5):777-782.

[13] QIAN Xianmei,ZHU Wenyue,HUANG Yinbo,et al.Selection of computing parameters in numerical simulation of laser beam propagationin turbulent atmosphere[J].Acta Photonica Sinica,2008,37(10):1986-1991.(in Chinese)

錢(qián)仙妹,朱文越,黃印博,等.激光湍流大氣傳輸數(shù)值模擬中計(jì)算參量的選取[J].光子學(xué)報(bào),2008,37(10):1986-1991.

[14] QIAN Xianmei,ZHU Wenyue,RAO Ruizhong.Simulation of the focal shift of a focused gaussian-beam propagating in turbulent atmosphere[J].Journal of Atmospheric and Environmental Optics,2006,1(2):85-88.(in Chinese)

錢(qián)仙妹,朱文越,饒瑞中.湍流大氣中聚焦高斯光束焦移的數(shù)值模擬分析[J].大氣與環(huán)境光學(xué)學(xué)報(bào),2006,1(2):85-88.

[15] Flatte S M,Gerber J S.Irradiance-variance behavior by numerical simulation forplane-wave and spherical-wave optical propagation through strong turbulence[J].J OptSoc Am A,2000,17(6):1092-1097.

[16] WANG Liguo.Characteristics of reflected wave from targets illuminated by laser beam in turbulent atmosphere[D].Xi′an:Xidian University,2014:169.(in Chinese)

王利國(guó).湍流大氣中激光波束目標(biāo)回波特性[D].西安：西安電子科技大學(xué),2014:169.