杜大華，賀爾銘，李 磊

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安 710072；2. 液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710100；3. 西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710072)

0 引 言

伴隨著越來越惡劣的動(dòng)力學(xué)服役環(huán)境，大型復(fù)雜裝備結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問題愈來愈突出，對(duì)其動(dòng)力學(xué)分析的建模精度要求不斷提高，而進(jìn)行動(dòng)力學(xué)模型修正是提高其精度的重要環(huán)節(jié)[1-2]。然而，由于結(jié)構(gòu)的大型復(fù)雜化，材料、工藝、安裝誤差及非線性，大量的簡(jiǎn)化及不確定因素等，要建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型本身就非常困難。

某大型液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)再生冷卻噴管十分復(fù)雜，其動(dòng)特性對(duì)搖擺發(fā)動(dòng)機(jī)伺服控制、動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)等均有重要影響，尋找噴管結(jié)構(gòu)動(dòng)力建模與模型修改的相應(yīng)技術(shù)是當(dāng)前研究的一項(xiàng)重要任務(wù)。杜飛平等[3]按剛度和質(zhì)量等效原則將噴管簡(jiǎn)化為各向同性單層殼單元，邵松林[4]將噴管等效為正交各向異性3層殼單元。上述噴管建模只提及等效方法，并未對(duì)模型進(jìn)行修正，所建模型精度偏低，且模型修正技術(shù)在液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)中的應(yīng)用也鮮見報(bào)道。

模型修正的基本思路與結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論類似，其中基于靈敏度分析與優(yōu)化算法的直接參數(shù)型模型修正應(yīng)用最廣泛[5-6]。文獻(xiàn)[7-8]基于靈敏度分析以結(jié)構(gòu)固有頻率為目標(biāo)函數(shù)對(duì)GARTEUR基準(zhǔn)飛機(jī)模型成功進(jìn)行了模型修正。由于參數(shù)型修正法所構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)通常具有高度非線性及多個(gè)局部極值點(diǎn)的特點(diǎn)，因此優(yōu)化算法的選擇對(duì)于問題的求解十分重要。模擬退火法(SAA)具有良好的全局尋優(yōu)能力、穩(wěn)健性等，目前已成為參數(shù)型修正方法的一個(gè)新熱點(diǎn)。但是，采用傳統(tǒng)SAA進(jìn)行模型直接修正則收斂速度緩慢，算法性能與初值密切相關(guān)[9-10]；Rose[11]提出在確保一定優(yōu)化質(zhì)量的基礎(chǔ)上，需對(duì)SAA進(jìn)行改進(jìn)以提高其搜索效率。

本文針對(duì)型號(hào)研制的實(shí)際需求，對(duì)整個(gè)模型修正過程進(jìn)行研究，提出基于特征靈敏度分析與ISAA相結(jié)合的模型修正技術(shù)，在此基礎(chǔ)上基于MSC Patran/Nastran開發(fā)了模型修正模塊，并校驗(yàn)了該方法的有效性，研究表明該模型修正技術(shù)具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

1 參數(shù)化有限元建模及模態(tài)分析

某高壓補(bǔ)燃液氧/煤油發(fā)動(dòng)機(jī)噴管采用再生冷卻形式的薄壁夾層板結(jié)構(gòu)，由帶螺旋銑槽內(nèi)壁和外壁釬焊而成，內(nèi)外壁材料不同，并在冷卻環(huán)帶附近設(shè)計(jì)了冷卻套集液器，尺寸較大，剛度相對(duì)較小，其整體及局部截面如圖1所示。

利用文獻(xiàn)[12]提出的動(dòng)力學(xué)建模方法，將噴管按雙層殼模擬，并使用復(fù)合板屬性。外壁具有較高的強(qiáng)度和剛度，提供彎曲剛度，為主要承載層，按各向同性材料考慮，取實(shí)際彈性模量和厚度。內(nèi)壁(含中間層波紋狀?yuàn)A芯)主要提供剪切剛度，按正交各向異性材料處理，根據(jù)波紋夾芯結(jié)構(gòu)復(fù)合材料等效理論，將其力學(xué)性能參數(shù)等效為垂直于板方向的剪切剛度GXZ、GYZ和拉壓剛度EX、EY和泊松比μXY，取EZ=GXY=0。外壁較大的集液器采用與推力室主體模型一體的殼單元模擬，較小的集液器則采用偏置梁?jiǎn)卧?、與推力室主體模型相應(yīng)部位共節(jié)點(diǎn)處理。建立的噴管參數(shù)化初始有限元模型見圖2。

圖2 噴管有限元模型Fig.2 FE model of nozzle

對(duì)噴管進(jìn)行自由狀態(tài)正則模態(tài)分析，提取前3階模態(tài)，得到噴管結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率與振型。

2 模態(tài)測(cè)試

利用錘擊法進(jìn)行噴管模態(tài)測(cè)試。試驗(yàn)時(shí)，將噴管噴口朝下正放置于海綿墊上模擬自由邊界，采用LMS Test.Lab模態(tài)分析系統(tǒng)、B&K4524B三向加速度傳感器和B&K8206力錘，通過模態(tài)測(cè)試識(shí)別出噴管結(jié)構(gòu)高精度的模態(tài)頻率、振型及阻尼比等參數(shù)，其前三階振型如圖3所示。

圖3 噴管模態(tài)振型Fig.3 Modal shapes of nozzle

3 模型修正

模型修正的基本思想是通過不斷改變有限元模型的參數(shù)，來促使模態(tài)分析結(jié)果和試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果一致。本文建立了一種模型修正方法，通過靈敏度分析進(jìn)行設(shè)計(jì)變量選取，并基于優(yōu)化算法迭代尋優(yōu)，其基本流程見圖4。

圖4 修正流程Fig.4 Flowchart of model updating

3.1 模型匹配與動(dòng)力相關(guān)性分析

為進(jìn)行相關(guān)性分析，首先需要對(duì)理論模型、實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖杂啥冗M(jìn)行完全匹配。由于模態(tài)型縮聚法(MR法)能很好地保證縮聚前后所關(guān)心的低階模態(tài)頻率和振型非常好的吻合，故本文采用MR法對(duì)計(jì)算模型進(jìn)行動(dòng)力減縮，將計(jì)算模型的自由度減縮到試驗(yàn)測(cè)量自由度上形成一個(gè)“試驗(yàn)分析模型”(TAM)。相關(guān)性分析是判斷有限元分析結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果在一定準(zhǔn)則上相符程度的關(guān)鍵技術(shù)，本文采用以下判斷標(biāo)準(zhǔn)

1)頻率相關(guān)性

(1)

2)振型相關(guān)性，計(jì)算振型φa與實(shí)驗(yàn)振型φt的相關(guān)性通過模態(tài)置信準(zhǔn)則(MAC，量符號(hào)記為C)來計(jì)算

(2)

試驗(yàn)與理論分析結(jié)果比較見表1。前三階模態(tài)振型對(duì)應(yīng)頻率的相對(duì)誤差最大達(dá)14.5%，MAC最小僅為0.61。文獻(xiàn)[13]指出，修正后的有限元模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭g的頻率誤差不超過±5%、MAC大于0.9 為相關(guān)性好的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。因此，本文建立的模態(tài)分析模型不能準(zhǔn)確反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，必須對(duì)其進(jìn)行修正，使其間的差異降低到可接受的水平。

表1 計(jì)算與試驗(yàn)?zāi)B(tài)匹配表Table 1 The mode-matching of simulation and test

3.2 目標(biāo)函數(shù)確定

由于模態(tài)頻率反映結(jié)構(gòu)的整體信息，振型包含結(jié)構(gòu)振動(dòng)行為的空間信息和局部信息，一個(gè)更加合理的方法是聯(lián)合使用頻率與振型作為目標(biāo)函數(shù)，以提高模型修正的準(zhǔn)確性。選取多目標(biāo)優(yōu)化構(gòu)造的復(fù)合目標(biāo)函數(shù)為

(3)

式中：p為設(shè)計(jì)變量，fa,j，ft,j分別為第j階計(jì)算頻率和與之對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)頻率，Cj為理論分析與實(shí)驗(yàn)的第j階模態(tài)振型的MAC值，n表示待修正的模態(tài)階數(shù)；Wfreq,j，Wshape,j分別為第j階模態(tài)頻率權(quán)重和MAC值權(quán)重，當(dāng)各階模態(tài)頻率及振型測(cè)試精度均較高時(shí)，不考慮權(quán)重的作用，取一致的加權(quán)系數(shù)或平均分配各加權(quán)系數(shù)。

3.3 修正參數(shù)選擇

設(shè)計(jì)變量的選取原則多基于靈敏性分析，并兼顧初始模型的誤差來源。在ISS-P5中針對(duì)靈敏度分析的不足，通過靈敏度分析和經(jīng)驗(yàn)共同確定修正參數(shù)。經(jīng)靈敏度分析，找出對(duì)結(jié)構(gòu)總體動(dòng)態(tài)特性影響最大、最有效的修正參數(shù)；利用模型誤差診斷與誤差定位技術(shù)，進(jìn)一步確定待修改參數(shù)。因此，進(jìn)行靈敏度分析與誤差定位，使修改更具針對(duì)性和有效性，從而提高模型修正的質(zhì)量與效率。

根據(jù)特征方程得特征值、特征向量靈敏度公式

(4)

(5)

由于噴管外壁參數(shù)的確定性較高，故主要針對(duì)內(nèi)壁選擇參數(shù)，初選的修正參數(shù)有內(nèi)壁厚度δ、密度ρ及μXY，GXZ，GYZ，EX，EY共7個(gè)參數(shù)。結(jié)合發(fā)動(dòng)機(jī)噴管內(nèi)壁結(jié)構(gòu)尺寸、材料的實(shí)際情況與工程經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)為便于參數(shù)的敏度分析與模型修正迭代優(yōu)化，本文給出參數(shù)一致的變化范圍，將參數(shù)上下限定為原值的±20%。

基于MSC Nastran的設(shè)計(jì)靈敏度分析與優(yōu)化功能(SOL200求解器)，在Matlab的GUI用戶界面開發(fā)了設(shè)計(jì)靈敏度計(jì)算軟件，循環(huán)調(diào)用計(jì)算/試驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行相關(guān)性分析(MAC)→特征量、目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造→參數(shù)選擇→靈敏度分析(DSA)→確定最終設(shè)計(jì)變量。分析得目標(biāo)函數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度見圖5，μXY，GXZ，GYZ對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響較小，因此在利用優(yōu)化技術(shù)對(duì)模型進(jìn)行修正時(shí)將這些參數(shù)從設(shè)計(jì)變量中剔除，最終確定的設(shè)計(jì)變量只有δ，ρ，EX及EY。

圖5 目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度Fig.5 Sensitivity of objective function to design parameters

3.4 改進(jìn)模擬退火算法

3.4.1 模擬退火算法(SAA)

SAA是一種基于Monte Carlo迭代求解策略的隨機(jī)尋優(yōu)算法，其出發(fā)點(diǎn)是一般組合優(yōu)化問題求解過程與物理中固體物質(zhì)的退火過程之間的相似性，目的在于為具有NP復(fù)雜性的問題提供有效的近似求解算法，是一種用于求解大規(guī)模組合全局優(yōu)化問題的有效方法。退火過程由冷卻進(jìn)度表控制，包括控制參數(shù)T的初值T0及其衰減因子K，每個(gè)T值時(shí)的迭代次數(shù)L，Markov鏈長(zhǎng)度及停止條件。優(yōu)化問題的一個(gè)解xi及其目標(biāo)函數(shù)J(xi)分別與固體的一個(gè)微觀態(tài)ψi及其能量E(ψi)對(duì)應(yīng)，進(jìn)行“產(chǎn)生新解-計(jì)算目標(biāo)函數(shù)殘差-接受或舍棄”的迭代求解，算法主要流程為

(1)設(shè)定冷卻進(jìn)度表及初始解x0；

(6)

溫度更新函數(shù)Tk=T0/(1+K)；

(3)Tk+1=Tk，若滿足終止條件時(shí)退火結(jié)束，輸出近似最優(yōu)解xk，否則轉(zhuǎn)入(2)。

3.4.2 改進(jìn)模擬退火算法(ISAA)

經(jīng)典SAA存在某些不足：退火速度問題，在溫度較高時(shí)算法可以快速收斂到全局最優(yōu)解，而到達(dá)最優(yōu)解附近時(shí)速度明顯變慢；由于采用Metropolis準(zhǔn)則概率接受劣質(zhì)解而遺失當(dāng)前最優(yōu)解，導(dǎo)致收斂

速度慢、波動(dòng)性強(qiáng)；SAA在全局優(yōu)化方面具有明顯優(yōu)勢(shì), 而在局部?jī)?yōu)化方面作用并不顯著等。因此，為改善SAA的求解性能，本文提出改進(jìn)模擬退火算法(ISAA)，改進(jìn)思路如下：

一是對(duì)算法設(shè)置記憶器和增加返回隨機(jī)搜索功能，以記住并返回曾經(jīng)歷的最優(yōu)解；設(shè)變量X*和J*分別為記憶當(dāng)前迭代的最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)值。算法開始時(shí)令X*和J*分別等于初始解及其目標(biāo)函數(shù)值；以后每接受一個(gè)新解時(shí)，就將當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)值與J*作比較，若優(yōu)于J*，就用當(dāng)前解替代X*和J*；算法結(jié)束時(shí)，將所得最優(yōu)解與記憶器中的解進(jìn)行比較，取最優(yōu)的一個(gè)作為此輪降溫的最優(yōu)解，避免了由于概率接受而遺失當(dāng)前遇到的最優(yōu)解，可以在一定程度上提高算法的穩(wěn)定性。

二是在算法后鏈接一個(gè)局部搜索過程，以上步所得當(dāng)前最優(yōu)解為起點(diǎn)，用新解產(chǎn)生裝置產(chǎn)生新解，再對(duì)所有所得最終解施行局部搜索，僅當(dāng)優(yōu)于當(dāng)前解時(shí)接受，重復(fù)若干次后結(jié)束程序。局部搜索相當(dāng)于“淬火”改善，通過“退火-淬火”結(jié)果比較，提高“退火”結(jié)果的可靠性，且可獲得更好的近似解甚至整體最優(yōu)解。

3.4.3 算法性能測(cè)試

為檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)SAA與ISAA的性能，不失一般性，選取一個(gè)多極值函數(shù)進(jìn)行測(cè)試[14]：

min (F)=x2+2y2-0.3cos(3πx)-

0.4cos(4πy)+0.7

(7)

約束條件：x,y∈[-100,100]，該函數(shù)最小值為F(0,0)=0；取冷卻進(jìn)度表為：T0=0.5，dT=0.5，Lk=20，Tk=1×10-4；初始解x=y=10。

采用SAA得到的解為：當(dāng)x=y=-3.141×10-3時(shí)，F(xiàn)=5.308×10-4，這與最優(yōu)解Fopt=0比較接近。而采用ISAA得到的解為：當(dāng)x=y=-2.503×10-4時(shí)，F(xiàn)=2.963×10-6。經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)， ISAA的結(jié)果更接近最優(yōu)解；進(jìn)一步分析其優(yōu)化歷程發(fā)現(xiàn)，ISAA的收斂速度也更快。

3.5 動(dòng)力學(xué)修正模塊開發(fā)

基于MSC Patran/Nastran平臺(tái)，利用DMAP語(yǔ)言對(duì)修正算法進(jìn)行程序編制并嵌入到MSC Patran中，運(yùn)用PCL語(yǔ)言在Patran中建立模型修正操作界面，整個(gè)過程是通過編寫PCL程序以及調(diào)用外部算法自動(dòng)進(jìn)行的，從而二次開發(fā)出液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析模型修正軟件ZDXZ V1.0(該軟件已取得計(jì)算機(jī)軟件著作權(quán))，可對(duì)已建立的特定振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型在材料屬性、幾何參數(shù)等方面進(jìn)行修正，程序整體框架如圖6所示。

圖6 程序流程圖
Fig.6 Flow diagram of the program

軟件具體架構(gòu)如下：

(1)主界面，如圖7所示。

圖7 軟件界面Fig.7 Interface of the software

(2)前處理主要用于快速生成模型相關(guān)參數(shù)，并為模型修正模塊增加用戶所需的附加設(shè)計(jì)參數(shù)。

(3)選擇并聲明優(yōu)化變量，通過設(shè)置上下限將這些變量設(shè)定在具有實(shí)際物理意義的條件下。

(4)修正目標(biāo)設(shè)定用于定義優(yōu)化目標(biāo)和約束。每一個(gè)模型修正參數(shù)的設(shè)定內(nèi)容包括：參數(shù)名、類型(目標(biāo)最大、目標(biāo)最小)、對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)重、設(shè)計(jì)變量的上下限、初始值。在該模塊中，需要添加實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或其他數(shù)據(jù)對(duì)目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行比對(duì)，優(yōu)化時(shí)每一步計(jì)算出來的結(jié)果都要與該數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，通過計(jì)算誤差百分比，將各階模態(tài)頻率和振型的誤差控制在要求范圍內(nèi)。

(5)修正過程控制模塊提供常見的優(yōu)化算法及工具。選擇優(yōu)化算法組成優(yōu)化算法組合策略，并對(duì)算法運(yùn)行進(jìn)行控制。提供的優(yōu)化算法包括：自編非線性序列二次規(guī)劃，SAA、ISAA等。指定優(yōu)化循環(huán)控制方式，在迭代修正過程中, 可以借助Patran軟件進(jìn)行參數(shù)化建模并反復(fù)調(diào)用Nastran軟件進(jìn)行求解。

(6)修正過程可視化及模型輸出模塊可讀取優(yōu)化結(jié)果文件，并對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行后處理，如輸出優(yōu)化參數(shù)數(shù)據(jù)、模型數(shù)據(jù)、選定優(yōu)化步中的振型及固有頻率等數(shù)據(jù)。

3.6 修正結(jié)果及有效性檢驗(yàn)

采用多目標(biāo)達(dá)到法進(jìn)行迭代優(yōu)化，收斂準(zhǔn)則采取目標(biāo)函數(shù)收斂容差小于1%，初始迭代步設(shè)為1000，優(yōu)化程序在第403步收斂結(jié)束，最佳設(shè)計(jì)序列為第352步。模型優(yōu)化前后的結(jié)果對(duì)比見表2，部分設(shè)計(jì)變量及狀態(tài)變量迭代歷程如圖8所示。

表2 噴管模型修正前后模態(tài)頻率結(jié)果比較Table 2 The mode-matching of simulation by modified and original model to the test result

圖8 迭代歷程Fig.8 The iteration process

由表2可知，模型修正后，噴管結(jié)構(gòu)的前3階模態(tài)頻率相對(duì)誤差從14.5%下降至1.76%，MAC值從0.61提高到0.93。相比文獻(xiàn)[5-6,13]的模型修正精度，本文所得結(jié)果的精度較高(高于頻率相對(duì)誤差小于±5%、MAC大于0.9的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn))。計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果一致性較好，最終所得的噴管結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型可以真實(shí)反映產(chǎn)品的實(shí)際動(dòng)力學(xué)特性，修正后模型準(zhǔn)確性可滿足工程應(yīng)用要求。

對(duì)本文的修正方法及分析結(jié)果的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)。為防止該結(jié)果并非全局較優(yōu)解，選擇其他起始序列重新進(jìn)行優(yōu)化，同樣得到本文的結(jié)果，說明該解確實(shí)是本優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，而非局部最優(yōu)解。其次，選擇試驗(yàn)測(cè)得的前3階頻率參與模型修正，試驗(yàn)測(cè)得的第4階頻率作為對(duì)修正后有限元模型的驗(yàn)證。第4階試驗(yàn)、計(jì)算頻率接近(在文獻(xiàn)[11]要求范圍內(nèi))，模型的動(dòng)力計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值基本吻合，從而證明了該方法的有效性。

文中的有限元模型規(guī)模為節(jié)點(diǎn)數(shù)2592，梁?jiǎn)卧獢?shù)71和四邊形殼單元數(shù)2591，計(jì)算機(jī)配置為Intel Xeon E5-2643V3 3.4 2133 6C 1st CPU、Intel Xeon E5-2643V3 3.4 2133 6C 2nd CPU及主頻2.60 GHz，采用在大范圍粗略和局部精細(xì)的隨機(jī)搜索+記憶功能的改進(jìn)模擬退火優(yōu)化算法(ISAA)進(jìn)行多目標(biāo)全局迭代優(yōu)化，優(yōu)化時(shí)間平均在110分鐘。采用ISAA進(jìn)行模型修正，具有優(yōu)化質(zhì)量高、穩(wěn)定性好、收斂速度快及執(zhí)行高效等優(yōu)點(diǎn)。

4 結(jié) 論

以工程應(yīng)用為切入點(diǎn)對(duì)模型修正技術(shù)展開研究，介紹了模型修正基礎(chǔ)理論及其技術(shù)實(shí)現(xiàn)，研究結(jié)論如下：

1)將噴管簡(jiǎn)化為復(fù)合材料雙層合殼結(jié)構(gòu)，建立噴管參數(shù)化有限元模型；構(gòu)建模態(tài)頻率及振型的聯(lián)合目標(biāo)函數(shù)，基于動(dòng)力信息特征靈敏度分析確定設(shè)計(jì)變量，建立了噴管結(jié)構(gòu)模型修正優(yōu)化模型；

2)以SAA為基礎(chǔ)，利用設(shè)置記憶器和在算法后鏈接一個(gè)局部搜索過程的方法，提出一種改進(jìn)模擬退火優(yōu)化算法(ISAA)，經(jīng)驗(yàn)證改進(jìn)算法具有更高的收斂穩(wěn)定性與收斂速度；

3)在MSC Patran/Nastran軟件平臺(tái)上二次開發(fā)了液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析模型修正軟件，發(fā)展了基于模型修正算法的應(yīng)用軟件研制，該軟件具有友好交互功能及強(qiáng)大數(shù)據(jù)管理功能，可實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜模型的自動(dòng)修正；

4)通過對(duì)噴管模型修正，前3階計(jì)算、試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率相對(duì)誤差從14.5%降低至1.76%，MAC值從0.61升高到0.93，有限元模型精度和可靠性得以大幅度提高，修正后模型可為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)、動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)等工程服務(wù)；

5)對(duì)本文提出的模型修正方法進(jìn)行了驗(yàn)證，該方法的有效性滿足模型修正標(biāo)準(zhǔn)要求，且具有較高的修正質(zhì)量與效率，適用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模型修正。

參 考 文 獻(xiàn)

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