孫文文，何兆容

（1.四川省攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)，四川攀枝花617000；2.汕頭大學(xué)理學(xué)院，廣東汕頭515063）

緊空間[1]最早由Alexandroff和Urysohn提出以覆蓋性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)的一種拓?fù)淇臻g，它可以看作實(shí)直線上的Heine-Borel有限覆蓋定理在一般拓?fù)淇臻g中的推廣。隨后Dieudonne提出仿緊空間[2]的概念，并用加細(xì)覆蓋來(lái)描述仿緊空間。仿緊空間再進(jìn)一步推廣，可以得到更多用加細(xì)覆蓋來(lái)描述的空間，這為拓?fù)淇臻g的研究提供了新的方向。Levine在拓?fù)淇臻g中引入半開(kāi)集的概念[3]，此后又有了半閉集等概念，隨著拓?fù)淇臻g中概念的不斷提出和完善，一部分學(xué)者開(kāi)始對(duì)S-類(lèi)空間進(jìn)行研究，如Alzoubi的S-paracompact Spaces等[4]。近幾年來(lái)，國(guó)內(nèi)諸多拓?fù)鋵W(xué)者對(duì)S-仿緊空間再作推廣，先后定義了S-meso緊空間[5]、S-弱θ-加細(xì)空間[6]、S-亞緊空間[7-8]、S-次仿緊空間[9-10]等，并對(duì)這些空間的性質(zhì)進(jìn)行了相應(yīng)的研究，得到一些良好的結(jié)果。本文結(jié)合仿緊空間和S-類(lèi)空間的定義及其相關(guān)性質(zhì)，引入了S-可數(shù)仿緊空間，并研究其覆蓋性質(zhì)、正規(guī)性、映射性質(zhì)和乘積性質(zhì)。下面先給出相關(guān)的基本定義。

定義1[2]X是拓?fù)淇臻g，若存在X的一個(gè)開(kāi)集U使得U?A?Uˉ，稱(chēng)X的子集A為半開(kāi)集。半開(kāi)集的補(bǔ)集X-A為半閉集。包含A的所有半閉集的交稱(chēng)為A的半閉包，記作sclA。

定義2[4]若任給x∈X，存在x的一個(gè)開(kāi)鄰域U使得U?A≠?只對(duì)有限個(gè)A∈A成立，則稱(chēng)空間X中的集族A為局部有限的。

定義3[5]設(shè)A、B是空間X的覆蓋。若任給B∈B，存在A∈A使得B?A，則稱(chēng)B為A的加細(xì)。若B是X開(kāi)（閉、半開(kāi)、半閉）覆蓋，則稱(chēng)B為A的開(kāi)（閉、半開(kāi)、半閉）加細(xì)。

定義4[6]若X的任意開(kāi)覆蓋有局部有限的開(kāi)加細(xì)覆蓋，則稱(chēng)空間X為仿緊空間。

定義5[4]若任給x∈X，x∈A只對(duì)有限個(gè)A∈A成立，則稱(chēng)空間X中的集族A為點(diǎn)有限的。

定義6若任給閉集A，B?X，存在X中不交的半開(kāi)集U，V使得A?U，B?V，則稱(chēng)空間X為半正規(guī)空間。

定義7[4]若任給y∈Y，f←()y為X的緊子集，則連續(xù)閉映射f:X→Y為完備映射（或稱(chēng)緊映射）。

定義8[4]若任給y∈Y，f←( )y為X的可數(shù)緊子集，則閉映射f:X→Y為準(zhǔn)完備映射。

定義9[4]若X的每一可數(shù)開(kāi)覆蓋具有局部有限的半開(kāi)加細(xì)覆蓋，則空間X稱(chēng)為S-可數(shù)仿緊空間。

下面是本文的主要結(jié)論。

定理1下列結(jié)論等價(jià)：

（i）X是S-可數(shù)仿緊空間；（ii）對(duì)X的每一可數(shù)開(kāi)覆蓋{ }Unn∈N，存在局部有限的可數(shù)半開(kāi)覆蓋{ }Vnn∈N使得Vn?Un，n∈N；（iii）對(duì)X的每一遞增的開(kāi)覆蓋，存在X的半閉集序列{ }Fnn∈N使得Fn? Wn（n ∈ N）且

（iv）對(duì)X的每一遞減閉集序列{ }Fnn∈N滿(mǎn)足存在X的半開(kāi)集序列{ }Wnn∈N，使得

證明 （i）?（ii）設(shè)U={ }Unn∈N是 S-可數(shù)仿緊空間X的可數(shù)開(kāi)覆蓋，由（i）知存在局部有限半開(kāi)覆蓋，存在

令是

[1]ALEXANDROFF P S,URYSHON P.Surles spaces topologies compacts[J].Bull InterAcad Pol Sci,1923(A):5-8.

[2]DIEUDONNE J.One Generalization dense compact spaces[J].Math pureAppl,1944,23:65-76.

[3]LEVINE N.Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces[J].Amer Math Monthly,1963,70:36-41.

[4]ALZOUBI K Y.S-paracompact spaces[J].Acta Math Hungar,2006,110:165-174.

[5]楊思鑫,幸華雄.S-meso緊空間[J].山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,27(6):60-62.

[6]吳昭鑫,張焰杰,楊思鑫.S-弱θ-加細(xì)空間[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,31(4):609-611.

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[8]彭知南,朱培勇.關(guān)于S-亞緊空間的一些結(jié)果[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,42(6):692-695.

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[10]高國(guó)士.拓?fù)淇臻g論[M].北京:科學(xué)出版社,2000:154-223.

[11]ENGELKING R.General topology[M].Revised and Completed Edition.Berlin：Heldermann Verlag,1989:373-418.