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(泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)圣湖校區(qū),福建 泉州 362000)

筆者從命題角度對2017年浙江省數(shù)學(xué)高考壓軸試題進(jìn)行了分析，追根溯源，發(fā)現(xiàn)本題源自數(shù)列不動(dòng)點(diǎn)的解題思想，將數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識進(jìn)行交匯，并從中提煉、設(shè)置問題[1].下面筆者展示對該題命題方法的思考過程，并根據(jù)此命題方法命制了兩道相關(guān)新題，這對于高三復(fù)習(xí)是有啟發(fā)意義的.

1 試題展示

題目已知數(shù)列{xn}滿足x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*),證明：當(dāng)n∈N*時(shí),

1) 0

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

2 命題方法探究

本題的題源當(dāng)從一類遞推數(shù)列說起.

即

從而

又x1=1，故

從而

為增強(qiáng)題目的綜合性，體現(xiàn)試題的區(qū)分度，有效考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，命題者引入了函數(shù)、不等式等知識進(jìn)行交匯.因此，需要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使得xn=f(xn+1)，且滿足遞推數(shù)列的不等式關(guān)系，即

從而可確定函數(shù)

f(x)=ln(x+1)+x，

即

xn=xn+1+ln(1+xn+1)，x1=1.

不等式通過適當(dāng)變形即為文首高考試題第2)小題的設(shè)置.

圖1 圖2

2x>ln(x+1)+x，

即

xn=xn+1+ln(1+xn+1)<2xn+1，

從而

亦即

相乘得

為了能夠更全面地考查證明不等式的方法，并使部分中等生得到相應(yīng)分，有效體現(xiàn)區(qū)分度，因此設(shè)置了第1)小題.

經(jīng)過上述步驟，便完成了2017年浙江省數(shù)學(xué)高考壓軸題的命制.

3 命制新題

經(jīng)歷了上述試題的探究過程，我們掌握了試題的一種命題方法[2].應(yīng)用同樣的方法，筆者命制了兩道試題，供讀者賞析.

1) 1

2) 2an+1an<3an-an+1；

g(x)≥g(1)=1.

若存在n0∈N*，且n0≥2，使得an0=1，則

由g(x)的單調(diào)性可知an0-1=1，即

an0=an0-1=…=a1=1，

與已知a1=2矛盾，故對任意n∈N*，an≠1，從而an>1.又

從而f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，由f(1)=0及an>1，得f(an)<0，即an+1-an<0.

綜上可得1

再令F(x)=4x3-3x2-3x-1，其中1

F′(x)=3(4x2-2x-1).

因?yàn)镕′(x)在(1,2]上單調(diào)遞增，所以

F′(x)≥F′(1)=3，

從而F(x)在(1,2]上單調(diào)遞增.又

F(1)=-3<0，F(xiàn)(2)=13>0，

由1

h(an)<0，

即

即

2an+1an<3an-an+1.

3)由第2)小題得

變形得

即

1) 0

2) 2an-4an+1≤anan+1≤2(an-an+1)；

證明1)(數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n=1時(shí)，a1=1>0.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原不等式成立，即ak>0.

若ak+1≤0，則

ln(1+an+1)≤0，

an+1(1+an+1)+ln(1+an+1)≤0，

與假設(shè)矛盾，故ak+1>0，于是當(dāng)n∈N*時(shí)，an>0，因此

即

an>an+1.

綜上可得0

當(dāng)0

從而

于是

變形得

anan+1≥2an-4an+1.

又

得

從而

anan+1<2(an-an+1).

綜上可得2an-4an+1≤anan+1≤2(an-an+1).

3)由第2)小題得

由不等式的右端可得

從而

由不等式的左端可得

即

從而

即

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社,2003.

[2] 楊蒼洲.2015年高考湖北文科卷壓軸試題的命題手法探究[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2017(4)：2-3.