唐剛， 李慶中， 楊志啟， 胡雄

(上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院，上海 201306)

0 引 言

起重機(jī)波浪補(bǔ)償裝置的研究是一個(gè)經(jīng)典的課題。國外研究機(jī)構(gòu)在波浪補(bǔ)償系統(tǒng)方面的研究最早是在“二戰(zhàn)”后期開始的，當(dāng)時(shí)還只是停留在理論研究上，后來轉(zhuǎn)入了試驗(yàn)研究,并開發(fā)了一系列具有波浪補(bǔ)償功能的起重機(jī)(例如T-ACS系列起重船[1])。NEUPERT 等[2]提出了一種基于起伏運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)策略和基于反饋策略的升沉補(bǔ)償控制系統(tǒng)，并進(jìn)行了仿真研究。ADAMSON等[3]針對(duì)波浪補(bǔ)償系統(tǒng)中存在的多種問題提出了不同的解決辦法。金棟平等[4]對(duì)起重裝置上的繩索進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，總結(jié)了在對(duì)繩索系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模與控制時(shí)所遇到的問題。方曉旻[5]建立了不同海況下船舶的運(yùn)動(dòng)模型,分析了船舶的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,并分析了波浪補(bǔ)償裝置對(duì)起重機(jī)的影響,最終用可編程邏輯控制器(programmable logic controller, PLC)實(shí)現(xiàn)了對(duì)電氣控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。李震震[6]建立了基于波浪譜激勵(lì)模型的起重機(jī)吊物的精確非線性動(dòng)力學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)了對(duì)物體的主動(dòng)控制。電動(dòng)補(bǔ)償控制系統(tǒng)[7-8]具有很好的快速響應(yīng)性、適應(yīng)性，是波浪補(bǔ)償控制中的熱點(diǎn)和趨勢(shì)。

目前，很多海上工作船都具備動(dòng)力定位系統(tǒng)，這不僅使船舶的縱橫搖晃得到一定的控制，還可以把縱傾、橫傾運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為升沉方向的運(yùn)動(dòng)，因此對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)的補(bǔ)償就主要是升沉補(bǔ)償[9]，但很難對(duì)船舶本身垂直方向上的升沉運(yùn)動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償[10]。針對(duì)兩船之間的相對(duì)上升下降運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)在的海上作業(yè)需要更高精度和可靠性且操作簡單的起重機(jī)波浪補(bǔ)償裝置，其中波浪補(bǔ)償控制系統(tǒng)是最核心的部分，其控制性能的好壞直接影響波浪補(bǔ)償?shù)男Ч?因此設(shè)計(jì)具有快速響應(yīng)性、適應(yīng)性的電動(dòng)補(bǔ)償控制系統(tǒng)具有重要意義。

1 波浪補(bǔ)償平臺(tái)設(shè)計(jì)

1.1 工作原理

在海上起重機(jī)作業(yè)過程中，其吊物起升與降落時(shí)，船舶本身會(huì)產(chǎn)生升沉方向上的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)由于波浪的影響，兩船之間也會(huì)產(chǎn)生升沉方向上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此要對(duì)船舶起重過程中升沉方向上的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制補(bǔ)償。

許多船舶上有起重機(jī)(又稱卷揚(yáng)機(jī)、絞車)，起重機(jī)內(nèi)部裝有一個(gè)差動(dòng)行星齒輪減速器用來帶動(dòng)滾筒從而提升重物，太陽輪和內(nèi)齒輪為輸入端，行星架為輸出端。由行星齒輪傳動(dòng)原理可知，當(dāng)太陽輪與內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)向相同(相反)時(shí)，行星架轉(zhuǎn)速增加(降低)。在太陽輪的輸入控制上，船舶起重機(jī)與普通地面液壓起重機(jī)的不同體現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)控制算法上，船舶起重機(jī)采用波浪補(bǔ)償控制算法。內(nèi)齒輪液壓電機(jī)的輸出功率(轉(zhuǎn)動(dòng)扭矩)小于太陽輪的輸入功率。當(dāng)兩側(cè)電機(jī)同向驅(qū)動(dòng)時(shí)，起重機(jī)轉(zhuǎn)速增加；隨著兩側(cè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)方向的改變，起重機(jī)轉(zhuǎn)速也隨之改變。根據(jù)海上情況及作業(yè)情況，由傳感器的反饋控制電機(jī)的輸出，以此控制減速器。利用這個(gè)原理改變重物的升降速度來實(shí)現(xiàn)波浪補(bǔ)償，減小作業(yè)時(shí)的晃動(dòng)。[11]

在沒有風(fēng)浪的情況下，內(nèi)齒輪的制動(dòng)器處于閉合狀態(tài), 內(nèi)齒輪不旋轉(zhuǎn)。這時(shí)減速器就是典型的NGW型行星齒輪減速器，與地面起重設(shè)備的工作情況一樣，太陽輪作為輸入端、行星架作為輸出端為起重機(jī)提供動(dòng)力，以完成正常的升降工作。在波浪較大時(shí)，通過反饋調(diào)節(jié)控制內(nèi)齒輪的驅(qū)動(dòng)力矩，形成波浪補(bǔ)償系統(tǒng)。

圖1 起重機(jī)升沉補(bǔ)償示意圖

起重機(jī)升沉補(bǔ)償示意圖見圖1。起重機(jī)工作時(shí)，提供給重物的垂直升降速度為vR=v0+v1-v2，其中v0為起重機(jī)收放速度，v1和v2分別為供貨船A和被供貨船B的搖擺速度在垂直方向上的分量。只要vR與v1-v2無關(guān)，重物就能穩(wěn)定地從供貨船移動(dòng)到被供貨船上。波浪補(bǔ)償就是要實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)。

1.2 坐標(biāo)變換

1.2.1 坐標(biāo)系建立和轉(zhuǎn)化

圖2 船舶慣性坐標(biāo)系和隨流漂移坐標(biāo)系

本文用到的慣性坐標(biāo)系可以是一個(gè)真實(shí)存在的、靜止不動(dòng)的坐標(biāo)系，也可以是一個(gè)慢慢穩(wěn)定移動(dòng)的坐標(biāo)系。它們對(duì)下面的運(yùn)算結(jié)果沒有影響。[12-13]

1.2.2 姿態(tài)矩陣與坐標(biāo)變換

為求得船舶運(yùn)動(dòng)，定義動(dòng)坐標(biāo)系O-xyz和參考坐標(biāo)系O-XYZ。動(dòng)坐標(biāo)系O-xyz與船舶固聯(lián),隨船體一起上下左右搖晃，其坐標(biāo)原點(diǎn)O位于船舶重心，x軸沿船縱向并指向船的航向，y軸沿船橫向并指向船的右側(cè)邊，z軸沿船底板垂向并指向正下方。

參考坐標(biāo)系O-XYZ是隨船舶以船速運(yùn)動(dòng)的，但是不隨船舶一起晃動(dòng)，只作平動(dòng)，始終位于平衡狀態(tài)。它構(gòu)成了表達(dá)船舶晃動(dòng)位移和姿態(tài)的基準(zhǔn)。當(dāng)船舶不晃動(dòng)時(shí)兩坐標(biāo)系重合，當(dāng)船舶晃動(dòng)時(shí)兩坐標(biāo)系分開。參考坐標(biāo)系O-XYZ經(jīng)3次轉(zhuǎn)動(dòng)后可變換為動(dòng)坐標(biāo)系O-xyz：O-XYZ繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度Ψ到O-X1Y1Z，O-X1Y1Z繞Y1軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ到O-xY1Z1，O-xY1Z1繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度φ到動(dòng)坐標(biāo)系O-xyz。這里，Ψ、θ和φ分別為船舶的首搖角、橫搖角和縱搖角。

根據(jù)空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變換關(guān)系，可得到3次轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的變換方程組:

(1)

(2)

(3)

整理得

(XYZ)T=A(xyz)T

(4)

其中參考坐標(biāo)系變換為動(dòng)坐標(biāo)系的變換矩陣

(5)

船舶陀螺儀(角速度傳感器)測(cè)量的數(shù)據(jù)為船體沿三軸向的角加速度ωx、ωy和ωz。為得到變換矩陣A，應(yīng)先求得船舶運(yùn)動(dòng)姿態(tài)角Ψ、θ和φ。

應(yīng)用剛體動(dòng)力學(xué)相關(guān)知識(shí)可以得到，角速度矢量ω在動(dòng)坐標(biāo)系O-xyz上的投影為

(6)

解得

(7)

用典型的四階龍格庫塔法求解微分方程組(7)，可得Ψ、θ和φ，進(jìn)而得到A。利用式(4)，可將動(dòng)坐標(biāo)系下的船舶運(yùn)動(dòng)加速度變換為參考坐標(biāo)系下的船舶運(yùn)動(dòng)加速度，對(duì)加速度進(jìn)行積分即可得到參考坐標(biāo)系下船舶運(yùn)動(dòng)的方位速度，再次積分即可得到參考坐標(biāo)系下船舶運(yùn)動(dòng)的位移。

2 波浪補(bǔ)償平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 機(jī)械執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型

船舶利用2K-H (NGW) 型行星齒輪減速器作為差動(dòng)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)(簡稱差動(dòng)行星輪系)[14-16]。K代表中心輪，H代表行星架，2K-H即為由2個(gè)中心輪、1個(gè)太陽輪和1個(gè)行星架構(gòu)成的行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。根據(jù)傳動(dòng)比將其分為正號(hào)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)(在傳動(dòng)比小于零和行星架固定不動(dòng)時(shí)，2個(gè)中心輪的旋轉(zhuǎn)方向相同)和負(fù)號(hào)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)(在傳動(dòng)比大于零和行星架固定不動(dòng)時(shí)，2個(gè)中心輪的旋轉(zhuǎn)方向相反)。

2.1.1 差動(dòng)行星輪系調(diào)速特性

由于NGW型行星齒輪減速器的行星架并非定軸傳動(dòng)，不能直接用定軸傳動(dòng)的計(jì)算公式計(jì)算傳動(dòng)比，但可以采用行星架固定法計(jì)算。設(shè)2個(gè)中心輪的轉(zhuǎn)速分別為na和nb，行星架的轉(zhuǎn)速為nH，太陽輪與行星架的旋轉(zhuǎn)方向相同，順時(shí)針方向?yàn)樾行驱X輪旋轉(zhuǎn)的正方向。當(dāng)給差動(dòng)行星輪系整體加一個(gè)轉(zhuǎn)速-nH(與行星架轉(zhuǎn)速大小相同、方向相反)時(shí)，行星架H的轉(zhuǎn)速為

(8)

其中u0為傳動(dòng)比。因此，差動(dòng)行星輪系的最高輸出轉(zhuǎn)速與最低輸出轉(zhuǎn)速之比為

(9)

2.1.2 差動(dòng)行星輪系數(shù)學(xué)模型

采用集中質(zhì)量模型。模型廣義坐標(biāo)分別為：太陽輪的角位移為θs、第i個(gè)中心輪pi的角位移為θpi(i=1, 2)和行星架H的角位移θH。由拉格朗日第二類微分方程可導(dǎo)出差動(dòng)行星輪系動(dòng)力學(xué)微分方程：

(10)

式中：Js、Jpi和JH分別為太陽輪、中心輪和行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rbs為太陽輪齒輪的基圓半徑；rbps為中心輪基圓半徑；rH為行星架半徑；m為質(zhì)量；α為齒輪副嚙合角；TD為輸入轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；D和P分別為齒輪嚙合過程中的黏性嚙合力和彈性嚙合力，下標(biāo)spi表示太陽輪與中心輪的嚙合，下標(biāo)rpi表示行星架與中心輪的嚙合。

2.2 伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型

2.2.1 步進(jìn)電機(jī)速度控制

步進(jìn)電機(jī)的基本特點(diǎn)是將脈沖序列信號(hào)變換成軸向位置的角度增量。[17-18]當(dāng)脈沖數(shù)量一定時(shí),其轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度相應(yīng)確定，它們之間呈線性關(guān)系。因此,可對(duì)步進(jìn)電機(jī)進(jìn)行開環(huán)控制。

繞組電路的基本方程為

(11)

式中：R、V1、I1、L1和μ1分別為繞組電阻、電壓、電流、自感和反電動(dòng)勢(shì)。 用式(11)可以求解A、B兩個(gè)繞組電路。A相繞組的電磁轉(zhuǎn)矩為

(12)

式中：θe為機(jī)械角；kt0和ktc分別為轉(zhuǎn)矩因數(shù)和飽和因數(shù)；h3為電磁轉(zhuǎn)矩的三次諧波相對(duì)幅值。TB與TA的求解公式相同。定位轉(zhuǎn)矩為

Td=Dsin(4θe)

(13)

式中：D為定位轉(zhuǎn)矩的幅值。因此，步進(jìn)電機(jī)的總轉(zhuǎn)矩為

TE=TA+TB+Td

(14)

它與外部負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL間的動(dòng)力學(xué)方程為

(15)

(16)

式中：C為黏滯阻尼系數(shù)；δ為轉(zhuǎn)子位置角；ω為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；J為電機(jī)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.2.2 步進(jìn)電機(jī)傳遞函數(shù)

步進(jìn)電機(jī)的傳遞函數(shù)可以直接表示為

(17)

式中：Tr(s)為波浪補(bǔ)償系統(tǒng)給定力矩。

對(duì)于磁場(chǎng)控制式步進(jìn)電機(jī)，電機(jī)轉(zhuǎn)矩TE與勵(lì)磁電流If的關(guān)系為

TE(s)=KmIf(s)

(18)

式中：Km為電機(jī)常數(shù)。若忽略反電動(dòng)勢(shì)，則可得到磁場(chǎng)電壓與勵(lì)磁電流的關(guān)系為

(19)

轉(zhuǎn)矩時(shí)間常數(shù)τf=Lf/Rf，其中Rf和Lf分別為勵(lì)磁電阻和勵(lì)磁電感。因此，步進(jìn)電機(jī)的傳遞函數(shù)為

(20)

3 基于MATLAB的波浪補(bǔ)償平臺(tái)控制仿真

PID控制就是按照給定的跟蹤軌跡誤差的比例(P)、積分(I)、微分(D)進(jìn)行控制。PID控制系統(tǒng)原理圖見3。PID控制系統(tǒng)的輸入量e(t)為系統(tǒng)誤差，e(t)=r(t)-c(t)，其中c(t)為系統(tǒng)的實(shí)際輸出量，r(t)為系統(tǒng)的給定量。系統(tǒng)偏差u(t)是經(jīng)過PID控制系統(tǒng)計(jì)算后的系統(tǒng)輸出量，直接作用于被控對(duì)象。

圖3 PID控制系統(tǒng)原理圖

PID控制是一種線性控制方法，其輸出量u(t)可表達(dá)為

(21)

式中：ki為積分時(shí)間常數(shù)；kp為比例系數(shù)；kd為微分時(shí)間常數(shù)。

為對(duì)波浪補(bǔ)償系統(tǒng)進(jìn)行PID控制，對(duì)式(21)進(jìn)行離散化處理，得到式(22)。只有采樣周期t0足夠小，準(zhǔn)確度才會(huì)更高。

(22)

PID控制算法有位置式和增量式兩種：位置式PID控制算法以執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置為輸出量；增量式PID控制算法以執(zhí)行機(jī)構(gòu)位置的增量為輸出量。由于本文波浪補(bǔ)償平臺(tái)仿真的執(zhí)行機(jī)構(gòu)是步進(jìn)電機(jī)，需要輸出控制量的增量，所以選用增量式PID控制算法[19-24]。

(23)

式中：Δe(k)=e(k)-e(k-1)。

由式(20)可知,步進(jìn)電機(jī)的傳遞函數(shù)為

(24)

設(shè)采樣時(shí)間為0.01 s，在用MATLAB對(duì)波浪補(bǔ)償平臺(tái)進(jìn)行仿真分析后，得到期望軌跡：

x=1.63-0.5cos(πt/5)

y=1.8+0.5sin(πt/5)

圖4和5給出了該波浪補(bǔ)償系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型在PID控制下的軌跡追蹤效果及其誤差。仿真結(jié)果表明：在使用PID控制算法時(shí)，該波浪補(bǔ)償系統(tǒng)能夠迅速響應(yīng)輸入的變化；使用PID控制算法控制波浪補(bǔ)償系統(tǒng)，有速度快、穩(wěn)定性高和精確度高的優(yōu)點(diǎn)。

圖4 用PID控制的軌跡追蹤效果圖5 用PID控制的軌跡追蹤誤差

4 結(jié) 論

在波浪補(bǔ)償平臺(tái)方案設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，設(shè)立了表現(xiàn)波浪補(bǔ)償平臺(tái)控制性能的動(dòng)力學(xué)模型。選用起重機(jī)模型為該系統(tǒng)的機(jī)械執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型，采用差動(dòng)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)平臺(tái)調(diào)速的控制，利用步進(jìn)電機(jī)模型模擬實(shí)現(xiàn)對(duì)伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輸入的控制，建立伺服、調(diào)速、執(zhí)行的電動(dòng)自動(dòng)補(bǔ)償控制系統(tǒng)。利用PID控制算法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行控制，借助MATLAB進(jìn)行軌跡跟蹤仿真，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，PID控制系統(tǒng)具有良好的快速性和穩(wěn)定性，能夠很好地滿足波浪補(bǔ)償平臺(tái)的要求。

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