余 麗

(宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院和應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心, 江西 宜春 336000)

近年來,用二階切導(dǎo)數(shù)刻畫集值優(yōu)化問題最優(yōu)性條件取得了突破性的成果[1-4].Aubin等[1]引進(jìn)的二階切集,在建立二階最優(yōu)性條件中起著重要作用.Jahn等[2]引進(jìn)了廣義二階切上圖導(dǎo)數(shù)并建立了二階最優(yōu)性條件.然而,該廣義二階切上圖導(dǎo)數(shù)是借助二階切集定義的,二階切集僅為閉集,通常情況下并不是錐,即使是凸集,它的二階切集也不一定為凸集.因而,與切上圖導(dǎo)數(shù)相比較,廣義二階切上圖導(dǎo)數(shù)不具備一些類似性質(zhì).為克服此問題,Zhu等[4]引進(jìn)了一種新的二階切上圖導(dǎo)數(shù)——二階復(fù)合切上圖導(dǎo)數(shù)(second-order compound contingent epiderivative),并在一定條件下建立了存在性定理,證明了該導(dǎo)數(shù)是嚴(yán)格正齊次和次可加的,同時(shí),借助該導(dǎo)數(shù)得到了集值優(yōu)化問題局部弱有效元的二階必要最優(yōu)性條件.另一方面,有效解是集值優(yōu)化的重要組成部分,對(duì)有效解的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果[5-7].然而,對(duì)有效解的研究大多局限在拓?fù)淇臻g,目前為止,只有少量文獻(xiàn)在線性空間中研究集值優(yōu)化問題有效解的最優(yōu)性條件[8-10].眾所周知,線性空間是比拓?fù)淇臻g更大的空間,為此,在線性空間中研究集值優(yōu)化問題最優(yōu)性條件顯得尤為重要.本文利用二階復(fù)合切上圖導(dǎo)數(shù),在實(shí)序線性空間中建立集值優(yōu)化問題ε-Henig真有效元的二階最優(yōu)性條件.由于逼近解結(jié)構(gòu)中含有ε,為此,定理的結(jié)構(gòu)在形式上與文獻(xiàn)[4]略有不同.與此同時(shí),證明方法上也有很大的差別:除了借助二階復(fù)合切上圖導(dǎo)數(shù)的概念外,還利用了基函數(shù)和均衡吸收凸集的性質(zhì),并結(jié)合反證法得到了相關(guān)結(jié)論.文獻(xiàn)[4]的結(jié)論不包含本文結(jié)論,本文推廣了文獻(xiàn)[2-3]的相關(guān)結(jié)論.

1 基本概念及有關(guān)結(jié)論

設(shè)X、Y為實(shí)序線性空間,?≠K?Y,K的生成錐定義為cone K:={λk:k∈K,λ≥0}.K稱為凸錐當(dāng)且僅當(dāng)λ1k1+λ2k2∈K,?λ1,λ2≥0,?k1,k2∈K.錐K稱為點(diǎn)的當(dāng)且僅當(dāng)K∩(-K)={0}.K稱為非平凡的當(dāng)且僅當(dāng)K≠{0}且K≠Y.用intK和clK表示K的內(nèi)部和閉包.設(shè)C?Y為非平凡的點(diǎn)閉凸錐,且intC≠?.設(shè)F:X→2Y為集值映射,F的域、圖和上圖分別定義為:

domF:={x∈X|F(x)≠?},graphF:={(x,y)∈X×Y|y∈F(x)},epiF:={(x,y)∈X×Y|y∈F(x)+C}.

定義1.1[11]設(shè)B為Y中的非空凸子集,B稱為C的基當(dāng)且僅當(dāng)C=coneB,且存在一均衡吸收的凸集V使得0?B+V.

記Bst:={y*∈Y*:存在t>0,使得y*(b)≥t,?b∈B}.以下假設(shè)B是C的基,設(shè)V?Y是均衡吸收的凸集,滿足0?B+V.記CV(B):=cone(B+V).易知CV(B)是非平凡的點(diǎn)凸錐且0?cor(CV(B)).

定義1.3[12]設(shè)?≠K?Y,K的代數(shù)內(nèi)部定義為

corK:={k∈K|?k′∈Y,?λ′>0,

?λ∈[0,λ′],k+λk′∈K}.

定義1.4[13]設(shè)?≠K?Y,K稱為均衡的當(dāng)且僅當(dāng)?k∈K,?λ∈[-1,1],有λk∈K.K稱為吸收的當(dāng)且僅當(dāng)0∈corK.

注1.1[11]由定義1.3和定義1.4知,非空集合K稱為吸收的當(dāng)且僅當(dāng)?y∈Y,?λ′>0,?λ∈[0,λ′],有λy∈K.

?tn↓0,

或等價(jià)于

?λn→+∞,

2 最優(yōu)性條件

考慮下面的集值優(yōu)化問題：

(P)minF(x)

s.t.x∈S,

其中,?≠S?X,F:S→2Y為集值映射.

?

(1)

即

(3)

于是

由定義1.7有

(4)

因?yàn)?/p>

由(3)和(4)式知

即

?n≥N2.

(7)

于是由(6)和(7)式知,?n≥max(N1,N2),有

-intcone(B+V+ε)-C?

-intcone(B+V+ε).

(8)

并且由(5)式有

結(jié)合(8)式,?n∈N,n≥max(N1,N2),存在K1(n)∈N使得

即

?n≥max(N1,N2), ?k≥K1(n).

(9)

結(jié)合(9)式,有?n≥max(N1,N2),?k≥K1(n),有

?-intcone(B+

V+ε)-C?-intcone(B+V+ε),

于是

(10)

下面證明

先證明0?intcone(-B-V-ε).反證法.若

0∈intcone(-B-V-ε),

則由cone(-B-V-ε)為凸集知

intcone(-B-V-ε)=intclcone(-B-V-ε).

因?yàn)?∈intclcone(-B-V-ε),所以

clcone(-B-V-ε)=Y.

任取b∈B?Y,則存在{tλ(-bλ-vλ-ε):λ∈Λ}使得tλ(-bλ-vλ-ε)→b,其中tλ≥0,bλ∈B,vλ∈V.因?yàn)棣拧蔆,則存在b1∈B,λ1≥0,使得ε=λ1b1,于是

tλ(-bλ-vλ-λ1b1)-b→0.

因?yàn)??B+V,于是存在λ0∈Λ,bλ0∈B,Vλ0∈V使得

tλ(-bλ-vλ-λ1b1-b)=bλ0+vλ0,

于是

-tλvλ-vλ0=bλ0+tλbλ+tλλ1b1+tλb.

兩邊同時(shí)除以2tλ+tλλ1+1得

因?yàn)閂是均衡吸收凸的,有

?V,

所以

由B是C的有界基及文獻(xiàn)[15]中命題2.1知存在t>0使得Bst≠?.設(shè)φ∈Bst,于是有φ(b)≥t,?b∈B.于是

此與(12)式矛盾.于是

0?intcone(-B-V-ε).

(13)

由(10)式知存在

從而

y*∈intcone(-B-V-ε)?cone(-B-V-ε).

由(13)式得y*≠?,于是存在λ2>0,b2∈B,v2∈V,使得

y*=λ2(-b2-v2-ε),

所以

結(jié)合(14)式有

即

因?yàn)?(b2+v2)≠0,于是

-b2-v2∈-(B+V)?-cone(B+V){0},

所以

?,

即

?.

此與(2)式矛盾.故(1)式成立.

[1] AUBIN J P, FRANKOWSKA H. Set-valued Analysis[M]. Boston:Birkhauser,1990.

[2] JAHN J, KHAN A A, ZEILINGER P. Second-order optimality conditions in set optimization[J]. J Optim Theory Appl,2005,125(2):331-347.

[3] LI S J, ZHU S K, TEO K L. New generalized second-order contingent epiderivatives and set-valued optimization problems[J]. J Optim Theory Appl,2012,152(3):587-604.

[4] ZHU S K, LI S J. New second-order contingent epiderivatives and set-valued optimization problems[J]. Acta Math Appl Sin,2016,32(4):983-994.

[5] LI Z F. Benson proper efficiency in the vector optimization of set-valued maps[J]. J Optim Theory Appl,1998,98(3):623-649.

[6] QIU Q S. Henig efficiency in vector optimization with nearly cone-subconvexlike set-valued functions[J]. Acta Math Appl Sin,2007,23(2):319-328.

[7] LI T Y, XU Y H, ZHU C X.ε-Strictly efficient solutions of vector optimization problems with set-valued maps[J]. Asia Pacific J Oper Res,2007,24(6):841-854.

[8] HERNANDEZ E, JIMENEZ B, NOVO V. Weak and proper efficiency in set-valued optimization on real linear spaces[J]. J Convex Anal,2007,14(3):275-296.

[9] HERNANDEZ E, JIMENEZ B, NOVO V. Benson proper efficiency in set-valued optimization on real linear spaces[J]. Lect Notes Econ Math Syst,2006,563(2):45-59.

[10] ZHOU Z A, PENG J W. Scalarization of set-valued optimization problems with generalized cone subconvexlikeness in real ordered linear spaces[J]. J Optim Theory Appl,2012,154(3):830-841.

[11] ZHOU Z A, YANG X M.ε-Henig proper efficiency of set-valued optimization problems in real ordered linear spaces[J]. Optim Lett,2014,8(6):1813-1827.

[12] JAHN J. Vector Optimization:Theory, Methods, and Application to Design Problems in Engineering[M]. 2nd ed. Berlin:Springer-Valerg,2011.

[13] 史樹中. 凸分析[M]. 上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1990.

[14] JAHN J, RAUH R. Contingent epiderivatives and set-valued optimization[J]. Math Meth Oper Res,1997,46(2):193-211.

[15] CHENG Y H, FU W T. Strong efficiency in a locally convex space[J]. Mathematical Methods of Operations Research,1999,50(3):373-384.