張 露, 劉喜蘭

(青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 青海 西寧 810007)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

二階微分方程在應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理領(lǐng)域中有著極為廣泛的應(yīng)用,例如工程學(xué)上均勻桿軸向受力問(wèn)題、由N部分不同密度構(gòu)成的金屬支索絲一致截面的振動(dòng)問(wèn)題等[1].基于其豐富的實(shí)際應(yīng)用背景,二階非線性常微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性問(wèn)題在整個(gè)常微分方程研究領(lǐng)域顯得尤為重要.對(duì)于經(jīng)典的邊值問(wèn)題,已取得深入而系統(tǒng)的結(jié)果,而對(duì)非局部邊值問(wèn)題的研究也日臻成熟,參見(jiàn)文獻(xiàn)[2-15].

Ma[2]率先研究三點(diǎn)邊值問(wèn)題

正解的存在性,提出了研究這類問(wèn)題的關(guān)鍵條件

0<αη<1,

并在非線性項(xiàng)滿足超線性或次線性的前提下,運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理建立了正解的存在性結(jié)果.文獻(xiàn)[3-6]等將上述結(jié)果推廣和發(fā)展到更廣泛的邊界條件及更一般的線性微分算子的情形.

值得注意的是,大多數(shù)研究結(jié)果都是建立在非線性項(xiàng)非負(fù)的前提下,而對(duì)于非線性項(xiàng)允許取負(fù)值的情形,研究相對(duì)較少,見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7].

Yao[6]借助于錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理考慮了半正問(wèn)題

(1)

正解的存在性.Xu[7]運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論對(duì)半正問(wèn)題(1)中λ=1的情形,給出了多個(gè)正解的存在性結(jié)果.

(H1)λ>0為參數(shù),f∈C([0,1]×[0,+∞),R),且對(duì)任意的t∈(0,1),有f(t,0)<0;

(H2) 存在m>0,使得

對(duì)t∈(0,1)一致成立.

令X=C[0,1],則X按范數(shù)

構(gòu)成Banach空間.

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得G:[0,1]×[0,1]→[0,∞)連續(xù)非負(fù)且G(t,s)>0,?t,s∈(0,1)×(0,1).

定義Hilbert空間L2(0,1)中的內(nèi)積為

令

B={u∈C2[0,1]:u(0)=0,u(1)=αu(η)},

顯然B與B*都是L2(0,1)的子空間.對(duì)u∈B,記算子Lu=-u″,對(duì)v∈B*,記算子L*v=-v″,則有引理1.2.

引理1.2對(duì)任意的u∈B,v∈B*,有(Lu,v)=(u,L*v).

證明對(duì)任意的u∈B,v∈B*,

所以,對(duì)任意的u∈B,v∈B*,有(Lu,v)=(u,L*v).

根據(jù)前面的討論可知,問(wèn)題

(2)

為問(wèn)題(1)的共軛問(wèn)題.

稱u是問(wèn)題(2)的解，是指u∈B*且滿足L*u=λf(t,u(t)),即

其中,u1(t)是問(wèn)題

(3)

在C2[0,η]中的解,u2(t)是問(wèn)題

(4)

在C2[η,1]中的解,且滿足

引理1.3設(shè)G*(t,s)為問(wèn)題(2)的Green函數(shù),則G*(t,s)=G(s,t).

若0≤t≤η,則

f(s,u(s))ds,

顯然u(0)=0.

u″(t)=-λf(t,u(t)),

所以u(píng)(t)在[0,η]上二階連續(xù)可導(dǎo),并滿足(3)式.

若η≤t≤1,則

顯然u(1)=0.

u″(t)=-λf(t,u(t)),

定義算子K:X→X為

記K的伴隨算子為

(5)

引理1.4(5)式所定義的K*為線性全連續(xù)算子.令r(K*)表示K*的譜半徑,則r(K*)>0,且存在ψ1∈X滿足?t∈(0,1),ψ1(t)>0,使得K*ψ1=r(K*)ψ1.

(6)

存在主特征值λ1>0,其所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)φ1>0,t∈(0,1),且‖φ1‖=1.

證明因?yàn)棣?滿足(6)式,則有

對(duì)上式兩邊同時(shí)乘ψ1,在0到1上積分得

由引理1.1可知,問(wèn)題(1)等價(jià)于算子方程

u-λKf(t,u)=0,u∈X.

(7)

稱(λ∞,∞)為問(wèn)題(7)從無(wú)窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生的分歧點(diǎn),是指存在(μn,un)∈R×X滿足(7)式,使得μn→λ∞,‖un‖→∞.

2 主要結(jié)果及證明

定理2.1假定條件(H1)和(H2)成立,若存在ε>0使得下列條件之一成立:

(i) 對(duì)任意的t∈(0,1),a(t)>0,且λ∈[λ∞-ε,λ∞);

(ii) 對(duì)任意的t∈(0,1),A(t)<0,且λ∈(λ∞,λ∞+ε],

則問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)正解.

首先,將f(t,·)延拓，使其定義在整個(gè)實(shí)數(shù)集R,即

定義

Φ(λ,u):=u-λKF(u), ?u∈X.

若對(duì)任意的u>0,使得Φ(λ,u)=0成立,則u為方程(1)的解.

為了證明定理1,首先需證明下面3個(gè)引理.

引理2.2對(duì)任意的緊區(qū)間Λ?R+{λ∞},存在r>0,使得對(duì)任意的λ∈Λ,‖u‖≥r,有Φ(λ,u)≠0.進(jìn)一步,

(i) 若a(t)>0,可取Λ=[λ∞,λ],?λ>λ∞;

(ii) 若A(t)<0,可取Λ=[0,λ∞].

證明反設(shè)存在μn→μ≥0,μ≠λ∞,且‖un‖→∞,滿足

un=μnKF(un).

ωn=μn‖un‖-1KF(un).

則由引理1.1及μm|ω|≥0知ω≥0.又因‖ω‖=1,所以μm=λ1,這與μ≠λ∞矛盾.故結(jié)論成立.

下面證明當(dāng)a(t)>0時(shí),Λ=[λ∞,λ],?λ>λ∞.

-ω″(t)=μm|ω(t)|,t∈(0,1),

又因un滿足

(8)

對(duì)(8)式兩邊同時(shí)乘ψ1,在0到1上積分,由引理1.6得

從而

由Fatou引理得

mun(t)]ψ1(t)dt≤0,

這與a>0矛盾.對(duì)A(t)<0的情形類似可證,此處略去.

引理2.3對(duì)λ>λ∞,存在r>0使得對(duì)任意的τ≥0,‖u‖≥r,有Φ(λ,u)≠τφ1.

證明反設(shè)存在τn≥0,‖un‖→∞,滿足Φ(λ,u)=τnφ1,則有

τnφ1(t).

(9)

由條件(H2)知,當(dāng)n充分大時(shí),

f(t,|un|)?m|un|,

則由引理1.1可知un≥0.所以f(t,|un|)=f(t,un).對(duì)(9)式兩邊同時(shí)乘ψ1,在0到1上積分得

所以

(10)

由條件(H2)知,當(dāng)n→∞時(shí)有

對(duì)上式兩端取極限得:λ1≥λm>λ∞m=λ1,矛盾.

Ψ(λ,z)=‖u‖-2Φ(λ,u)=

則由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃缘?/p>

(11)

當(dāng)λ>λ∞時(shí),由引理2.3知,?t∈[0,1],?u∈X,當(dāng)‖u‖≥r時(shí)有Φ(λ,u)≠t‖u‖2φ1,從而

ψ(λ,z)≠tφ1, ?t∈[0,1],

因此

(12)

令

Σ={(λ,u)∈R+×X:u≠0,Φ(λ,u)=0},

由(11)和(12)式得到下面的引理.

引理2.4(λ∞,∞)為(7)式從無(wú)窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生的分歧點(diǎn),即存在從無(wú)窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生的無(wú)界連通分支Σ∞?Σ.進(jìn)一步,若a>0,則Σ∞向左分歧,若A<0,則Σ∞向右分歧.

定理2.1的證明根據(jù)引理2.2～2.4知,存在問(wèn)題(1)的解(μn,un)滿足μn→λ∞,‖un‖→∞,則對(duì)充分大的n及t∈(0,1)有un>0成立.

[1] TIMOSHENKO S, GERE J. Theory of Elastic Stability[M]. New York:McGraw-Hill,1962:35-48.

[2] LIU B. Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value problem[J]. Electronic J Diff Eqns,1999,132(1):11-28.

[3] WEBB J. Positive solutions of some three point boundary value problems via fixed point index theory[J]. Nonlinear Analysis,2001,47(7):4319-4332.

[4] INFANTE G. Eigenvalues of some non-local boundary-value problems[J]. Pro Edinburgh Mathematical Society,2003,46(1):75-86.

[5] LIU B. Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value problem[J]. Comput Math Appl,2002,44(1):201-211.

[6] YAO Q. An existence theorem of positive solution for a superlinear semipositone second-order three-point BVP[J]. Mathematical Study,2002,35(1):33.

[7] XU X. Multiplicity results for positive solutions of some semi-positone three-point boundary value problems[J]. J Math Anal Appl,2004,291(2):673-689.

[8] AMBROSETTI A, ARCOYA D, BUFFONI B. Positive solutions for some semi-positone problems via bifurcation theory[J]. Diff Iniegral Eqns,1994,7(1):655-663.

[9] MA R, WANG H. Positive solutions for a nonlinear three-point boundary value problem[J]. J Math Anal Appl,2003,297(1):1216-1227.

[10] 鄭春華,劉文斌. 一類p-Laplacian方程非局部問(wèn)題解的存在性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,36(6):856-861.

[11] 張露,馬如云. 漸近線性二階半正離散邊值問(wèn)題正解的分歧結(jié)構(gòu)[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2014,49(3):73-83.

[12] 李玉環(huán),余萍,李玲. 一類半線性拋物方程非局部問(wèn)題的整體解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,27(6):579-580.

[13] MA R. Positive solutions of three point nonlinear discrete second order boundary value problems[J]. J Diff Eqns Appl,2004,10(2):129-138.

[14] MERDIVENCI F. Two positive solutions of a boundary value problem for difference equations[J]. J Diff Eqns Appl,1995,1995(1):262-270.

[15] DAI G, MA R. Unilateral global bifurcation phenomena and nodal solutions forp-Laplacian[J]. J Diff Eqns,2012,2012(252):2448-2468.

[16] ZEIDLER E. Nonlinear Functional Analysis and Its Applications:I:Fixed-Point Theorems[M]. New York:Springer-Verlag,1985:15.