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(1.中北大學(xué) 機電工程學(xué)院，太原 030051；2.太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系，太原 030001)

1 引 言

航空發(fā)動機中存在氣流導(dǎo)向的靜葉和對外做功的動葉。當動靜葉相對轉(zhuǎn)動時，上游葉片的尾流會使下游葉片的氣動力產(chǎn)生周期性振蕩[1,2]，迫使下游葉片強迫振動，如圖1所示。這是導(dǎo)致航空發(fā)動機葉片疲勞破壞的重要原因。近年來的一些研究發(fā)現(xiàn)，周期變化的尾流甚至可以改變動葉的顫振特性[3-7]。因此，研究上游尾流激勵下葉片的氣動彈性振動對航空發(fā)動機的設(shè)計有十分重要的意義。

圖1 上游尾流激勵的葉片

Fig.1 Blade under incoming wake

計算流體力學(xué)(CFD)和計算結(jié)構(gòu)力學(xué)(CSM)耦合的求解方法是研究葉片氣動彈性振動的主要方法，但其計算效率極低，對計算設(shè)備要求很高，很難在日常工程研究中應(yīng)用[8-11]。建立葉片氣動彈性振動精確高效的研究方法已成為航空發(fā)動機設(shè)計中亟待解決的問題。

氣動力降階模型(aerodynamic ROM)是描述葉片氣動力和擾動之間相互關(guān)系的簡化數(shù)學(xué)模型。其通過模型辨識，從已知的氣動試驗數(shù)據(jù)或仿真數(shù)據(jù)中識別降階模型的主要參數(shù)，建立擾動和氣動力之間的函數(shù)關(guān)系。氣動力降階模型的數(shù)學(xué)形式簡單，在氣動彈性振動時不需要進行整個流場的氣動重分析，所以計算量小、計算速度快，廣泛應(yīng)用于葉片顫振邊界的預(yù)測[8-17]。Silva[8]提出了基于Volterra級數(shù)的非線性氣動力降階模型。張偉偉等[12-14,16]基于Volterra級數(shù)降階模型研究了葉柵的顫振性能。Ekici等[15]用諧波平衡方法研究了葉片顫振，認為該方法的結(jié)果與勢流理論的結(jié)果符合較好。

現(xiàn)有氣動力降階模型的研究主要集中在葉片顫振方面，沒有涉及更為常見的上游尾流激勵的葉片氣動彈性振動問題。本文建立了基于Volterra級數(shù)的尾流激勵的葉片氣動力降階模型，并通過二維葉片的算例驗證該降階模型方法的可行性。

2 尾流激勵的葉片氣動力降階模型

Volterra級數(shù)可以用來描述任意復(fù)雜時變系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系。對于均勻采樣的線性時變系統(tǒng)Ψ，可以用一階離散格式的Volterra級數(shù)表示為[8]

(1)

Volterra級數(shù)模型中的核函數(shù)可以用原系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)加以辨識，辨識方法包括脈沖信號法、階躍信號法以及白噪聲信號法等[8,12-15,16-18]。對核函數(shù)辨識的具體方法可參考系統(tǒng)辨識相關(guān)理論[18]。

葉片氣動力系統(tǒng)是一個弱非線性系統(tǒng)，可以用一個定常的非線性解和若干個非定常線性解的疊加表示。為此，可以用一階Volterra級數(shù)降階模型表示尾流激勵和葉片氣動力之間的相互關(guān)系。

本文建立基于一階Volterra級數(shù)的尾流激勵葉片氣動力降階模型。為方便介紹，以二維葉片為例說明本文方法。尾流激勵的葉片流場系統(tǒng)如圖2所示。上游葉片以速度w沿著y向移動，上游尾流的移動導(dǎo)致下游葉片氣動力的周期性振蕩。在這一氣動力系統(tǒng)中，輸入為時變尾流的進口總壓p和進氣角β，輸出為葉片氣動力，包括升力CL、力矩CM和阻力CD，如圖2所示。為簡化問題，本文只考慮升力和力矩，則該系統(tǒng)可以表示為

{CL(t),CM(t)}=Ψ{p(y,t),β(y,t)}

(2)

(3)

將式(3)按照一階離散格式的Volterra級數(shù)展開，得到尾流激勵的葉片氣動力降階模型為

圖2 尾流激勵的葉片氣動力系統(tǒng)

Fig.2 Blade aerodynamic system under wake excitation

(4)

3 尾流激勵葉片的算例

按照前述方法，建立圖1下游葉片的氣動力降階模型。穩(wěn)態(tài)進口總壓120.5 kPa，穩(wěn)態(tài)進氣角30°，尾流以10 m/s的速度沿著進口y向移動。取下游中間葉片的氣動升力和力矩為輸出，下游進口最下方點的總壓和進氣角為輸入。用流場CFD模型分別計算總壓和進氣角階躍信號下，中間葉片的氣動升力和力矩，用階躍信號法辨識降階模型的核函數(shù)?？倝旱碾A躍信號為1 kPa，進氣角的階躍信號為3°。核函數(shù)的辨識結(jié)果如圖3所示。將辨識得到的核函數(shù)代入式(4)，得到尾流激勵的葉片氣動力降階模型，可以用來預(yù)測任意尾流激勵下葉片氣動力響應(yīng)。

圖3 總壓和進氣角變化引起葉片氣動力變化的核函數(shù)

Fig.3 Kernels of the aerodynamic forces of the blade due to total pressure and flow direction disturbances

圖4和圖5給出了一組真實尾流數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)減去了穩(wěn)態(tài)值。用所建立的氣動力降階模型計算這組尾流下葉片的氣動力，結(jié)果如圖6和圖7所示，該組數(shù)據(jù)也減去了穩(wěn)態(tài)值。為方便比較，圖中給出了在這組尾流下CFD模型計算得到的葉片氣動力?？梢钥闯?，降階模型計算出的氣動力與CFD模型的結(jié)果基本一致，振幅和頻率完全相同。說明該降階模型的方法能夠預(yù)測尾流對葉片氣動力的影響。需要指出的是，該降階模型的計算時間少于1 s，而CFD模型的計算時間大于24 h。該方法非常適合需要反復(fù)迭代的葉片結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

從圖6和圖7可以看出,降階模型的結(jié)果整體偏離均值，這與降階模型核函數(shù)的精度有關(guān)。雖然流場是弱非線性系統(tǒng)，但穩(wěn)態(tài)值和識別信號的選擇會對降階模型核函數(shù)的精度有一定的影響。圖8 給出了用不同穩(wěn)態(tài)總壓(111.3 kPa,118 kPa和120.5 kPa)和識別信號(1 kPa，2 kPa和3 kPa)的核函數(shù)計算得到的葉片升力?？梢钥闯?，雖然用不同核函數(shù)計算得到的氣動力基本相同，但精度存在差異，需要進一步研究。

圖4 尾流進口總壓隨時間的變化規(guī)律

Fig.4 Time -history of total pressure of a wake

圖5 尾流進氣角隨時間的變化規(guī)律

Fig.5 Time -history of inflow direction of a wake

將本文建立的氣動力降階模型和已有的自振激勵的氣動力降階模型[8-17]耦合，得到尾流和自振激勵的葉片氣動力降階模型，

(5)

圖6 尾流作用下葉片氣動力矩的時間變化規(guī)律

Fig.6 Time -history of blade moment due to wake

圖7 尾流作用下葉片氣動力升力的時間變化規(guī)律

Fig.7 Time -history of blade lift due to wake

圖8 穩(wěn)態(tài)總壓和識別信號對核函數(shù)精度的影響

Fig.8 Influence of the steady total pressure and identification signals on the accuracy of the kernels

將式(5)的氣動力代入葉片結(jié)構(gòu)振動方程，計算葉片振動位移，如圖9所示?？梢钥闯?，葉片的振動頻率與氣動力的頻率一致，說明在尾流的激勵下葉片出現(xiàn)了受迫振動；葉片結(jié)構(gòu)振幅在逐漸收窄，說明初始突加載荷的影響正在逐漸消失，葉片-流場耦合系統(tǒng)穩(wěn)定，不會發(fā)生顫振。

為方便比較，圖9也給出了用CFD模型和結(jié)構(gòu)振動方程耦合求解得到的葉片振動位移。可以看出,該位移與降階模型的結(jié)果基本一致；隨著時間的增大，采用氣動力降階模型計算得到的位移誤差增大。結(jié)合圖6和圖7的結(jié)果可知，這是由于氣動力降階模型存在一定的誤差，而誤差隨著時間的推移正在逐漸積累。因此，應(yīng)當進一步提高氣動力降階模型的精度。

圖9 葉片y向位移的時間變化規(guī)律

Fig.9 Time -history of heave of the blade

4 結(jié) 論

氣動力降階模型是一種高效的氣動彈性振動分析方法，現(xiàn)有的氣動力降階模型的研究主要集中在葉片顫振方面，沒有涉及上游尾流激勵的葉片振動問題。本文基于一階離散格式的多輸入多輸出Volterra級數(shù)，建立了尾流激勵的葉片氣動力降階模型，用于預(yù)測上游尾流引起的葉片氣動力。

用流場進口的總壓和進氣角表示上游尾流，并根據(jù)尾流的時變是由于上下游葉片的相對轉(zhuǎn)動，用行波法將尾流輸入簡化為進口上一個點的總壓和進氣角，并用階躍信號法識別了核函數(shù)。

通過提出的方法建立了一個描述二維葉片氣動力和上游尾流關(guān)系的降階模型，并計算了一組真實尾流下葉片的氣動力。與CFD的結(jié)果對比表明,該降階模型的結(jié)果與CFD的結(jié)果基本一致，振幅和頻率完全相同，說明本文的方法可行。

另外，氣動力降階模型計算時間少于1 s，而采用CFD模型的計算時間大于24 h。所以，本文的尾流激勵的葉片氣動力降階模型非常適用于需要反復(fù)迭代的葉片結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

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